材料力學II課件：12第十三章 能量法（一）

1、Page1第 13 章 能量法（一） 13-1 外力功與應變能的一般表達式13-2 互等定理13-3 卡氏定理13-4 變形體虛功原理13-5 單位載荷法13-6 圖乘法Page2 本章主要介紹能量法的基本原理與分析方法，包括： 外力功與應變能 功與位移互等定理 克羅第-恩格塞定理與卡氏定理 變形體虛功原理與單位載荷法 研究對象：直桿、曲桿、桁架與剛架，涉及線性與非線性問題Page3 引言求節(jié)點A的鉛垂位移 的兩條研究途徑方法一方法二（壓）（拉）Page4問題： （1）用什么方法求節(jié)點A的位移BC桿的轉角？能量法可以有效研究更復雜的一般問題Page513-1 外力功與應變能的一般表達式一、計算

2、外力功的基本公式 非線性彈簧 剛體 線性彈簧k：彈簧常數(shù)為什么線彈性體外力功表達式有常系數(shù)1/2？Page6 一般彈性體相應位移 d : 0 D 線性彈性體載荷 f : 0 F思考：常數(shù)k怎樣確定？fdfdF對比：彈性體與彈簧Page7 廣義力與廣義位移相應位移：載荷F作用點沿載荷作用方向的位移分量D。外力功： 載荷在相應位移上所作之功。廣義力： 力，力偶，一對大小相等、方向相反的力或轉向相反的力偶等。廣義位移： 線位移，角位移，相對線位移，相對角位移等。：與力F相應的廣義位移Page8二、克拉比隆定理：線彈性體上作用有多個廣義力，比例加載，根據(jù)疊加原理，各廣義力與相應廣義位移成正比。Fi廣義

3、載荷D i相應廣義位移外力功：由于外力功與加載次序無關，本定理也適用于非比例加載。但只適用于線彈性體克拉比隆定理是否說明可由疊加法計算多個力的功？不能，因為Page9例：已知 ，求 與 關系。幾何非線性問題與外力功計算載荷-位移關系外力功計算構成線性彈性結構的條件 材料符合胡克定律（物理線性） 小變形 可按原始幾何關系分析內力與變形（幾何線性）Page10三、應變能的一般表達式1.單位體積內應變能應變能密度拉壓應變能密度純剪應變能密度Page112. 基本變形的應變能拉壓FN(x)dx對于桁架應變能密度拉壓桿應變能Page12 扭轉T(x)dxd應變能密度圓軸扭轉應變能非圓截面軸扭轉應變能Pa

4、ge13 彎曲M(x)dxd應變能密度拉壓桿應變能非對稱彎曲沿兩主軸分解計算應變能yCzF注：忽略了彎曲剪力的應變能Page14T(x)dxdM(x)dxd 利用功能原理計算應變能FN(x)dx拉壓扭轉彎曲Page153. 組合變形的應變能T(x)dxdM(x)dxdFN(x)dxFN(x)M(x)Fs(x)T(x)dx思考：組合變形的總應變能能否由各基本變形的應變能疊加，為什么？答：能夠。因為各基本變形的應變能不耦合。換句話說，一種基本變形的對應內力在其他基本變形上作的功為零。Page16組合變形的應變能公式FN(x)M(x)Fs(x)T(x)dx 圓截面桿或桿系 非圓截面桿或桿系（y ,

5、z軸主形心軸）Page17解:（1）計算梁的應變能(x軸從A向左)例：懸臂梁承受集中力與集中力偶作用，計算梁的應變能與外力所做之總功。彎曲剛度為EI。FMAx解:(2) 計算外力所作之總功?Page18結論：梁的應變能等于外力所做總功FMA 撓度 轉角 外力功 多個外力引起的應變能不能利用疊加原理進行計算Page19BlCx2x1M0FAl例: 試計算圖示水平面內直角剛架的應變能。剛架截面為圓形，直徑為 d，材料彈性模量和剪切模量分別為E和G。解：對于圖示剛架，彎矩和扭矩方程分別為：AB段：BC段：分析：總應變能等于各段、各基本變形的應變能疊加。Page20BlCx2x1M0FAlPage21

6、僅作用力F，剛架應變能為（）如果僅作用力偶，剛架應變能為（）（1）檢驗：（1）（2）單獨計算各載荷對應的應變能。Page2213-2 互等定理 如何解下述問題？ 1. 測量線彈性梁（圖a, 等截面或任意形狀變截面）A、B兩點撓度，但僅端點C適合裝千分表。2. （P74，題136）等直桿寬b，拉壓剛度EA，泊松比 求(1)Page23 考察同一彈性體的兩種受力狀態(tài)引起位移的載荷發(fā)生位移的點ADF2212221ADF1211211Page24先加 F1，后加 F2：先加 F2，后加 F1： 線彈性體的兩種加載次序與功總功與加載次序無關 W1=W2ADF222221F1111ADF222211F11

7、21兩表達式的交叉項相等 Page25ADF222221F1111ADF222211F1121對于線性彈性體，F(xiàn)1在F2引起的位移D12上所作的功，等于F2 在F1引起的位移 D21上所作的功功的互等定理（簡單情形）Page26功的互等定理（簡單情形）功的互等定理（一般情形）對于線性彈性體，第一組外力 F1 (i) (i=1,2,m)在第二組外力引起的位移 D12(i) 上所作的功，等于第二組外力 F2(j)(j=1,2,n)在第一組外力引起的位移 D21(j)上所作的功。ADF2M2q2ADF1M1q1其中力和位移均指廣義力和廣義位移。Page27若F1=F2位移互等定理ADF2212221

8、ADF1211211當F1與F2的數(shù)值相等時， F2在點1沿F1方位引起的位移D12，等于F1在點2沿F2方位引起的位移D21Page28例： 測量線彈性梁（圖a, 等截面或任意形狀變截面）A、B兩點撓度，但僅端點C適合裝千分表。解： 設圖a在A點的撓度為如圖b加載和裝千分表，測得C點的撓度為則根據(jù)位移互等定理Page29由功的互等定理例： 如圖a支座A因裝配應力破壞，A、B點分別下降 和 , 在新的無初應力位置修復（圖b），求B點作用F 時支座A的約束反力。 解： 在破壞前和破壞又修復后，結構受力狀態(tài)如圖a,b。 (b)(a)Page30例：（P74，題136）等直桿寬b，拉壓剛度EA，泊松

9、比 求解: 設第二種受力狀態(tài)為 軸向拉力F對于任意截面形狀的等直桿，解答是否成立?(1)(2)如何設第二種受力狀態(tài)？Page31如何設第二種受力狀態(tài)？由功的互等定理FFABd例： 已知E， ，h ，求均質薄板面積改變量DAq解： 考慮薄板受均布載荷qPage32思考題1 板內開任意一孔， 是否變化？思考題2 內孔受一對圖示方向的力， 是正還是負？Page33AB單獨作用下的外力功，在單獨作用下的外力功，其中和為沿相應載荷方向的位移，設在和共同作用下的一定有 。例：線彈性結構在外力功D上述三個答案都不正確CPage34Page35例：試確定圖a均布載荷q 對應的廣義位移，圖b鉸鏈兩側橫截面相對轉角 對應的廣義力。ABC(b)(a)AB相應廣義位移：面積對應廣義力：一對力偶Page36例 13-3 試計算彈簧的軸向變形l解：影響彈簧變形的主要內力是扭矩彈簧絲長n圈數(shù)Page371. 組合