中南大學(xué)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法第9章查找課后作業(yè)答案解析

1、 PAGE19 / NUMPAGES19 第9章查找習(xí)題練習(xí)答案1.對含有n個互不相同元素的集合，同時找最大元和最小元至少需進(jìn)行多少次比較?答：設(shè)變量max和min用于存放最大元和最小元(的位置)，第一次取兩個元素進(jìn)行比較，大的放入max，小的放入min。從第2次開始，每次取一個元素先和max比較，如果大于max則以它替換max，并結(jié)束本次比較；若小于max則再與min相比較，在最好的情況下，一路比較下去都不用和min相比較，所以這種情況下，至少要進(jìn)行n-1次比較就能找到最大元和最小元。2.若對具有n個元素的有序的順序表和無序的順序表分別進(jìn)行順序查找，試在下述兩種情況下分別討論兩者在等概率時的

2、平均查找長度：(1)查找不成功，即表中無關(guān)鍵字等于給定值K的記錄；(2)查找成功，即表中有關(guān)鍵字等于給定值K的記錄。答：查找不成功時，需進(jìn)行n+1次比較才能確定查找失敗。因此平均查找長度為n+1，這時有序表和無序表是一樣的。查找成功時，平均查找長度為(n+1)/2,有序表和無序表也是一樣的。因為順序查找與表的初始序列狀態(tài)無關(guān)。3.畫出對長度為18的有序的順序表進(jìn)行二分查找的判定樹，并指出在等概率時查找成功的平均查找長度，以及查找失敗時所需的最多的關(guān)鍵字比較次數(shù)。答： 等概率情況下，查找成功的平均查找長度為：ASL=(1+2*2+3*4+4*8+5*3)/18=3.556查找失敗時，最多的關(guān)鍵字

3、比較次樹不超過判定樹的深度，此處為5.4.為什么有序的單鏈表不能進(jìn)行折半查找?答：因為鏈表無法進(jìn)行隨機(jī)訪問，如果要訪問鏈表的中間結(jié)點，就必須先從頭結(jié)點開始進(jìn)行依次訪問，這就要浪費(fèi)很多時間，還不如進(jìn)行順序查找，而且，用鏈存儲結(jié)構(gòu)將無法判定二分的過程是否結(jié)束，因此無法用鏈表實現(xiàn)二分查找。5.設(shè)有序表為(a,b,c,e,f,g,i,j,k,p,q),請分別畫出對給定值b,g和n進(jìn)行折半查找的過程。解：(1)查找b的過程如下(其中方括號表示當(dāng)前查找區(qū)間，圓括號表示當(dāng)前比較的關(guān)鍵字)下標(biāo)： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13第一次比較： a b c d e f (g) h i j

4、 k p q第二次比較： a b (c) d e f g h i j k p q第三次比較： a (b)c d e f g h i j k p q經(jīng)過三次比較，查找成功。 (2)g的查找過程如下： a b c d e f (g) h i j k p q 一次比較成功。 (3)n的查找過程如下： 下標(biāo)： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 第一次比較： a b c d e f (g) h i j k p q 第二次比較： a b c d e f g h i (j) k p q 第三次比較： a b c d e f g h i j k (p) q 第四次比較： a b c

5、d e f g h i j k p q 經(jīng)過四次比較，查找失敗。6.將(for, case, while, class, protected, virtual, public, private, do, template, const ,if, int)中的關(guān)鍵字依次插入初態(tài)為空的二叉排序樹中，請畫出所得到的樹T。然后畫出刪去for之后的二叉排序樹T,若再將for 插入T中得到的二叉排序樹T是否與T相同?最后給出T的先序、中序和后序序列。答：二叉排序樹T如下圖：刪去for后的二叉排序樹如下圖：再插入結(jié)點for后的二叉排序樹T： 二叉排序樹T與T不同 T的先序序列是：do case class

6、const while protected private if for int virtual public templateT的中序序列是：case class const do for if int private protected public template virtual whileT的后序序列是：const class case for int if private template public virtual protected while do7.對給定的關(guān)鍵字集合，以不同的次序插入初始為空的樹中，是否有可能得到同一棵二叉排序樹?答： 有可能。如有兩個序列：3，1，2，

7、4 和 3，4，1，2，它們插入空樹所得的二叉排序樹是相同的。8.將二叉排序樹T的先序序列中的關(guān)鍵字依次插入一空樹中，所得和二叉排序樹T與T否相同?為什么?答： 這兩棵二叉樹完全相同。9.設(shè)二叉排序樹中關(guān)鍵字由1至1000的整數(shù)構(gòu)成，現(xiàn)要查找關(guān)鍵字為363的結(jié)點，下述關(guān)鍵字序列哪一個不可能是在二叉排序樹上查找到的序列?(a) 2，252，401，398，330, 344，397，363；(b) 924, 220, 911, 244, 898, 258, 362, 363;(c) 925, 202, 911, 240, 912, 245, 363;(d) 2, 399, 387, 219, 26

8、6, 382, 381, 278, 363.答：(c)是不可能查找到的序列。把這四個序列各插入到一個初始為空的二叉排序樹中，結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，(c)序列所形成的不是一條路徑，而是有分支的，可見它是不可能在查找過程中訪問到的序列。10.設(shè)二叉排序樹中關(guān)鍵字互不相同，則其中最小元必?zé)o左孩子，最大元必?zé)o右孩子。此命題是否正確?最小元和最大元一定是葉子嗎?一個新結(jié)點總是插在二叉排序樹的某葉子上嗎?答：此命題正確。假設(shè)最小元有左孩子，則根據(jù)二叉排序樹性質(zhì)，此左孩子應(yīng)比最小元更小，如此一來就產(chǎn)生矛盾了，因此最小元不可能有左孩子，對于最大元也是這個道理。 但最大元和最小元不一定是葉子，它也可以是根、內(nèi)部結(jié)點(分

9、支結(jié)點)等，這得根據(jù)插入結(jié)點時的次序而定。新結(jié)點總是作為葉子插入在二叉排序樹中的。11.在一棵m階的B-樹中，當(dāng)將一關(guān)鍵字插入某結(jié)點而引起該結(jié)點的分裂時，此結(jié)點原有多少個關(guān)鍵字?若刪去某結(jié)點中的一個關(guān)鍵字，而導(dǎo)致結(jié)點合并時，該結(jié)點中原有幾個關(guān)鍵字?答：在一棵m階的B-樹中，若由于一關(guān)鍵字的插入某結(jié)點而引起該結(jié)點的分裂時，則該結(jié)點原有m-1個關(guān)鍵字。若刪去某結(jié)點中一個關(guān)鍵字而導(dǎo)致結(jié)點合并時，該結(jié)點中原有m/2-1個關(guān)鍵字。12.在一棵B-樹中，空指針數(shù)總是比關(guān)鍵字?jǐn)?shù)多一個，此說法是否正確?請問包含8個關(guān)鍵字的3階B-樹(即2-3樹)最多有幾個結(jié)點?最少有幾個結(jié)點?畫出這兩種情況的B-樹。答：這個

10、說法是正確的。包含8個關(guān)鍵字的3階B-樹最多有7個結(jié)點，最少有4個結(jié)點。13.從空樹開始，依次輸入20，30，50，52，60，68，70，畫出建立2-3樹的過程。并畫出刪除50和68后的B-樹狀態(tài)。答：過程如下：(1) 插入20，30： (2) 插入50：(3) 插入52：(4) 插入60：(5) 插入68：(6) 插入70：(7)刪去50：(8) 刪去6814.畫出依次插入z,v,o,p,w,y到圖9.12(h)所示的5階B-樹的過程。解： (1)插入z后：(2)插入v,o后 (3)插入p,w,y后 16.為什么在內(nèi)存中使用的B-樹通常是3階的，而不使用更高階的B-樹?答： 因為查找等操作

11、的cpu時間在B-樹上是O(lgn(m/lgt),而m/lgt1,所以m較大時它所費(fèi)時間比平衡的二叉排序樹上相應(yīng)操作時間大得多，因此，僅在內(nèi)存中使用的B-樹通常取最小值317.為什么二叉排序樹長高時，新結(jié)點總是一個葉子，而B-樹長高時，新結(jié)點總是根?哪一種長高能保證樹平衡?答： 因為在二叉排序樹中，關(guān)鍵字總是作為一個葉子結(jié)點插入以原來的樹中，所以當(dāng)樹增高時，新結(jié)點總是一個葉子；而B-樹中關(guān)鍵字插入總是插入到葉子結(jié)點內(nèi)部，在葉結(jié)點中的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)目尚未超過它能夠容納的數(shù)目之前是不會增加結(jié)點的，當(dāng)關(guān)鍵字?jǐn)?shù)超過結(jié)點可容納的數(shù)目時，葉結(jié)點就會發(fā)生分裂，產(chǎn)生一個新結(jié)點(但不一定引起樹增高)，并且將其中的中間

12、結(jié)點傳至上一層，只有當(dāng)這種分裂操作傳遞至根結(jié)點并引起根結(jié)點的分裂時，才能引起樹高增加，此時產(chǎn)生一個新的根結(jié)點。所以說B樹長高時，新結(jié)點總是根。 顯然，后一種長高總能保證樹的平衡。19.對于一組給定的、固定不變的關(guān)鍵字序列，有可能設(shè)計出無沖突的散列函數(shù)H，此時稱H為完備的散列函數(shù)(perfect hashing function)，若H能無沖突地將關(guān)鍵字完全填滿散列表，則稱H是最小完備(minimal perfect)的散列函數(shù)。通常找完備的散列函數(shù)非常困難，找最小完備的散列函數(shù)就更困難。請問： (1)若h是已知關(guān)鍵字集合K的完備的散列函數(shù)，若要增加一個新的關(guān)鍵字到集合K，一般情況下H還是完備的

13、嗎?(2)已知關(guān)鍵字集合為(81，129，301，38，434，216，412，487，234)，散列函數(shù)為H(x)=(x+18)/63,請問H是完備的嗎?它是最小完備的嗎?(3)考慮由字符串構(gòu)成的關(guān)鍵字集合(Bret,Jane,Shirley,Bryce,Michelle,Heather)，試為散列表0.6設(shè)計一個完備的散列函數(shù)。(提示：考慮每個字符串的第3個字符，即s2)答：(1) 一般情況下H不是完備的，如果說插入一個新的關(guān)鍵字它還是完備的，那么再插入一個呢?它豈不是永遠(yuǎn)是完備的散列函數(shù)了? 所以一般情況下它不能總是完備的，只有一些很少的情況下它還可能是完備的。(2)這個H是完備的，其函

14、數(shù)值依次為：1，2，5，0，7，3，6，8，4。如果散列表長m=9時，它就是最小完備的。(3) 這個函數(shù)如下：int Hash (char key) return key2%7;20.設(shè)散列函數(shù)為h(key)=key%101,解決沖突的方法為線性探查，表中用-1表示空單元。若刪去散列表HT中的304(即令HT1=-1)之后，在表HT中查找707將會發(fā)生什么?若將刪去的表項標(biāo)記為-2,查找時探查到-2繼續(xù)向前搜索，探查到-1時終止搜索。請問用這種方法刪304后能否正確地查找到707?0 1 2 3 100HT202 304 507 707 答： 查找707時，首先根據(jù)散列函數(shù)計算得出該元素應(yīng)在散

15、列表中的0單元，但是在0單元沒有找到，因此將向下一單元探查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)該單元是-1(為空單元)，所以結(jié)束查找，這將導(dǎo)致707無法找到。 如果改用-2作為刪除標(biāo)記，則可以正確找到707所在的結(jié)點。21.設(shè)散列表長度為11，散列函數(shù)h(x)=x%11,給定的關(guān)鍵字序列為：1，13，13，34，38，33，27，22.試畫出分別用拉鏈法和線性探查法解決沖突時所構(gòu)造的散列表，并求出在等概率情況下，這兩種方法查找成功和失敗時的平均查找長度。請問裝填因子的值是什么?答：(1)拉鏈法如下圖： T0.10 0 33 22 1 1 12 34 2 13 3 4 5 38 27 6 7 8 9 10 (2)線性探查

16、法如下圖： 下標(biāo) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T0.10331 131234382722 探查次數(shù) 1 1 1 3 4 1 7 8 用拉鏈法的查找成功平均查找長度為： ASLsucc=(1*4+2*3+3*1)/8=1.625 查找失敗時平均查找長度為： ASLunsucc=(2+3+1+0+0+0+2+0+0+0+0)/11=0.73 用線性探查法查找成功時平均查找長度為： ASLsucc=(1+1+1+3+4+1+7+8)/8=3.25 查找失敗時平均查找長度為： ASLunsucc=(9+8+7+6+5+4+3+2+1+1+1)/11=4.3 裝填因子拉鏈=4/11=0

17、.36 線性探查=8/11=0.7322.假定有k個關(guān)鍵字互為同義詞，若用線性探查法把這些同義詞存入散列表中，至少要進(jìn)行多少次探查?答： 至少要進(jìn)行1+2+3.+k-1+k次探查。 也就是說，在散列表的一連串連續(xù)空間內(nèi)，第一個關(guān)鍵字只需探查一次，第二個就要探查2次，如此這般，第k個關(guān)鍵字就要探查k次才能找到位置存放。所以至少要把它們?nèi)悠饋聿艍颉?3.為什么說當(dāng)裝填因子非常接近1時，線性探查類似于順序查找?為什么說當(dāng)裝填因子比較小(比如=0.7左右)時，散列查找的平均查找時間為O(1)?答： 當(dāng)非常接近1時，整個散列表幾乎被裝滿。由于線性探查法在關(guān)鍵字同義時解決沖突的辦法是線性地向后查找，當(dāng)整

18、個表幾乎裝滿時，它就很類似于順序查找了。 當(dāng)比較小時，關(guān)鍵字碰撞的幾率比較小，一般情況下只要按照散列函數(shù)計算出的結(jié)果能夠1次性就找到相應(yīng)結(jié)點，因此它的平均查找時間接近于1.24.設(shè)順序表中關(guān)鍵字是遞增有序的，試寫一順序查找算法，將哨兵設(shè)在表的高下標(biāo)端。然后求出等概率情況下查找成功與失敗時的ASL.答: typedef structKeyType key；InfoType otherinfo； /此類型依賴于應(yīng)用NodeType；typedef NodeType SeqListn+1； /n號單元用作哨兵int SeqSearch(Seqlist R，KeyType K) /在關(guān)鍵字遞增有序的順

19、序表R0.n-1中順序查找關(guān)鍵字為K的結(jié)點，/成功時返回找到的結(jié)點位置，失敗時返回-1int i；Rn.key=K； /設(shè)置哨兵for(i=0；Ri.key=K;i-)； /從表前往后找if (in&Ri.key=K) return i; /Ri是要找的結(jié)點else return -1 /SeqSearch等概率情況下查找成功ASL=(1+2+3+n)/n等概率情況下查找失敗時的ASL=(1+2+3+n+n+1)/(n+1)25試寫出二分查找的遞歸算法。解： int BinSearch(SeqList R，KeyType K，int low，int high) /在有序表Rlow.high中進(jìn)

20、行二分查找，成功時返回結(jié)點的位置，失敗時返回零int mid； /置當(dāng)前查找區(qū)間上、下界的初值if (lowK)return BinSearch( R，K,low，mid-1)/在Rlow.mid-1中查找elsereturn BinSearch( R，K,mid+1，high)； /在Rmid+1.high中查找return 0； /當(dāng)lowhigh時表示查找區(qū)間為空，查找失敗 /BinSeareh26試寫一算法判別給定的二叉樹是否為二叉排序樹，設(shè)此二叉樹以二叉鏈表為存儲結(jié)構(gòu)，且樹中結(jié)點的關(guān)鍵字均不相同。解：由二叉排序樹的定義可得：二叉排序樹中左子樹的所有結(jié)點的值都小于根結(jié)點的值，所有右子樹

21、中結(jié)點的值都大于根結(jié)點的值。那么只要對待判定的二叉樹中的結(jié)點按層遍歷并判斷即可。在該算法中要用到隊列保存已遍歷的結(jié)點指針。typedef BinTNode *DataType;/循環(huán)隊列中元素為二叉樹結(jié)點指針int BinSortStree(BinTree T)CirQueue Q;BinTNode *p;if (!T) return 1;/空樹為二叉排序樹InitQueue(&Q);EnQueue(&Q,T);while(!QueueEmpty(&Q)p=DeQueue(&Q);if (p-lchild)if (p-datalchild-data) return -1;/不是二叉排序樹els

22、e EnQueue(&Q,p-lchild);if (p-rchild)if (p-datap-rchild-data) return -1;/不是二叉排序樹else EnQueue(&Q,p-rchild);return 1;/是二叉排序樹27.試寫一遞歸算法，從大到小輸出二叉排序樹中所有其值不小于x的關(guān)鍵字。要求算法的時間為O(lgn+m)，n為樹中結(jié)點數(shù)，m為輸出關(guān)鍵字個數(shù)(提示：先遍歷右子樹，后遍歷左子樹)。答：typedef int KeyType； /假定關(guān)鍵字類型為整數(shù)typedef struct node /結(jié)點類型KeyType key； /關(guān)鍵字項InfoType othe

23、rinfo； /其它數(shù)據(jù)域，InfoType視應(yīng)用情況而定，下面不處理它struct node *lchild，*rchild； /左右孩子指針 BSTNode；typedef BSTNode *BSTree；void OUTPUTNODE(BSTree T,KeyType x)/從大到小輸出二叉排序樹中所有其值不小于x的關(guān)鍵字if (T)OUTPUTNODE( T-rchild,x);if (T-key=x) printf(%d,T-key);OUTPUTNODE( T-Lchild,x);28.寫一個遍歷B-樹的算法，使輸出的關(guān)鍵字序列遞增有序。算法中的讀盤操作可假定為DiskRead。答

24、：#define Max l000 /結(jié)點中關(guān)鍵字的最大數(shù)目：Max=m-1，m是B-樹的階#define Min 500 /非根結(jié)點中關(guān)鍵字的最小數(shù)目：Min=m/2(-1typedef int KeyType； /KeyType應(yīng)由用戶定義typedef struct node /結(jié)點定義中省略了指向關(guān)鍵字代表的記錄的指針int keynum； /結(jié)點中當(dāng)前擁有的關(guān)鍵字的個數(shù)，keynum=MaxKeyType keyMax+1； /關(guān)鍵字向量為key1.keynum，key0不用。struct node *parent； /指向雙親結(jié)點struct node *sonMax+1；/孩子指

25、針向量為son0.keynumBTreeNode；typedef BTreeNode *BTree；void travelBtree(BTree T)/按關(guān)鍵字遞增序輸出B-樹序列int i;if (T)for(i=0;ikeynum;i+)/T-keynum個關(guān)鍵字的結(jié)點有T-keynum+1棵子樹if (T-soni)DiskRead(T-soni);/讀入根結(jié)點的第i棵子樹travelBtree(T-soni);/遍歷第i棵子樹if (ikeynmu)/若剛遍歷的子樹不是最后一棵子樹printf(%d,T-keyi+1; 29若采用除余法作為散列函數(shù)，線性探查解決沖突，則9.4.4節(jié)中通

26、用的散列表查找算法可改寫為對線性探查專用的查找算法：int HashSearch(HashTable T,KeyType K,int *pos)int i=0;/記錄探查次數(shù)*pos=K%m; /散列函數(shù)值作為第一個散列地址while(i+m) /最多探查m次if(T*pos.key=K) return 1;/查找成功返回if(T*pos.key=NIL) return 0;/查找失敗返回*pos=(*pos+1)%m;/用線性探查法求下一個探查地址return -1;/查找失敗，且表滿/HashSearch假設(shè)散列表上的刪除操作已將結(jié)點的關(guān)鍵字標(biāo)記為DELETED(例如，不妨設(shè)DELETED

27、為-2)。請修改上述散列表上的查找算法及插入算法HashInsert，使之能正確地查找和插入。解：(1)查找算法#define DELETED -2#define NIL -1 /空結(jié)點標(biāo)記依賴于關(guān)鍵字類型，本節(jié)假定關(guān)鍵字均為非負(fù)整數(shù)#define M 997 /表長度依賴于應(yīng)用，但一般應(yīng)根據(jù)。確定m為一素數(shù)typedef struct /散列表結(jié)點類型KeyType key；InfoType otherinfo； /此類依賴于應(yīng)用NodeType；typedef NodeType HashTablem； /散列表類型int HashSearch(HashTable T,KeyType K,int *pos)int i=0;/記錄探查次數(shù)*pos=K%m; /散列函數(shù)值作為第一個散列地址while(i+m) /最多探查m次if(T*pos.key=K) return 1;/查找成功返回if(T*pos.key=NIL) return 0;/查找失敗返回*pos=(*po