離散傅里葉變換pptPPT通用課件

1、第三章 DFT離散傅里葉變換一.DFT是重要的變換 1.分析有限長(zhǎng)序列的有用工具。 2.在信號(hào)處理的理論上有重要意義。 3.在運(yùn)算方法上起核心作用，譜分析、 卷積、相關(guān)都可以通DFT在計(jì)算機(jī)上 實(shí)現(xiàn)。引言 傅氏變換的幾種可能形式一.連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換0t0時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)連續(xù)的非周期的非周期的連續(xù)的對(duì)稱性: 時(shí)域連續(xù)，則頻域非周期。 反之亦然。二.連續(xù)時(shí)間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級(jí)數(shù)0t-0時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)連續(xù)的周期的非周期的離散的*時(shí)域周期為T(mén)p, 頻域譜線間隔為2/Tp三.離散時(shí)間、連續(xù)頻率的傅氏變換 -序列的傅氏變換x(nT)T-T0T2Tt0-時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)離散

2、的非周期的周期的連續(xù)的四.離散時(shí)間、離散頻率的傅氏變換-DFTx(nT)=x(n)t0T2T1 2 N n0 0 1 2 3kNT 由上述分析可知，要想在時(shí)域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)離散的周期的周期的離散的 3-1 周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入對(duì)上式進(jìn)行抽樣，得： 導(dǎo)出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號(hào)的復(fù)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)開(kāi)始的： 因 是離散的，所以 應(yīng)是周期的。，代入而且，其周期為 ，因此 應(yīng)是N點(diǎn)的周期序列。 又由于 所以求和可以在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行，即 這就是說(shuō)，當(dāng)在k=0,1,., N-1求和與在k=N,.,2N-1求和所得的結(jié)果是一致的。二.

3、 的k次諧波系數(shù) 的求法 1.預(yù)備知識(shí) 同樣，當(dāng) 時(shí)，p也為任意整數(shù)，則所以亦即 的表達(dá)式 將式 的兩端乘 ，然后從 n=0到N-1求和，則：的DFS 通常將定標(biāo)因子1/N移到 表示式中。即：3.離散傅氏級(jí)數(shù)的習(xí)慣表示法 通常用符號(hào) 代入，則：正變換：反變換：4. 的周期性與用Z變換的求法周期性： 的一個(gè)周期內(nèi)序列記作 ,而且 =, 0n N-10 , 其他n對(duì) 作Z變換，用Z變換求 ： 可見(jiàn)， 是Z變換 在單位圓上抽樣，抽樣點(diǎn)在單位圓上的N個(gè)等分點(diǎn)上，且第一個(gè)抽樣點(diǎn)為k=0。如果 ，則有1234567(N-1)k=0其中，a,b為任意常數(shù)。 3-1-2DFS的性質(zhì)一.線性如果則有二.序列的移

4、位 則有：如果證明：令i=m+n,則 n=i-m。n=0 時(shí)，i=m; n=N-1時(shí)，i=N-1+m所以 * 和 都是以N為周期的周期函數(shù)。三.調(diào)制特性 如果 則有 證明： 時(shí)域乘以虛指數(shù)( )的m次冪，頻域搬移m,調(diào)制特性。四.周期卷積和 1.如果 則：證明從略。 2.兩個(gè)周期序列的周期卷積過(guò)程 （1）畫(huà)出 和 的圖形； （2）將 翻摺,得到 可計(jì)算出：m計(jì)算區(qū)mm 0 1 2 3 （3）將 右移一位、得到可計(jì)算出：m計(jì)算區(qū)mm 0 1 2 3 m（4）將 再右移一位、得到 可計(jì)算出：（5）以此類推， n1344計(jì)算區(qū)313.頻域卷積定理 如果 ，則證明從略。 3-2 DFT-有限長(zhǎng)序列的離

5、散頻域表示一.預(yù)備知識(shí) 1.余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式 如果 ， m為整數(shù)；則有： 此運(yùn)算符表示n被N除，商為mN，余數(shù) 。 例如： (1) (2) 先取模值，后進(jìn)行函數(shù)運(yùn)算;而 視作將周期延拓。2.二.有限長(zhǎng)序列x(n)和周期序列 的關(guān)系 =, 0nN-10 , 其他n 周期序列 是有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓。有限長(zhǎng)序列x(n)是周期序列 的主值序列。如：N-1nx(n)0.n0N-1定義從n=0 到（N-1）的第一個(gè)周期為主值序列或區(qū)間。三.周期序列 與有限長(zhǎng)序列X(k)的關(guān)系 同樣， 周期序列 是有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓。 而有限長(zhǎng)序列X(k)是周期序列 的主值序列。四.從DFS到DFT 從上

6、式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間 進(jìn)行。 因此可得到新的定義，即有限序列的離散傅氏變換(DFT)的定義:, 0kN-1, 0nN-1或者：練習(xí)題參考答案 實(shí)際選擇 解 3-2-2 DFT的性質(zhì)一.線性性1.兩序列都是N點(diǎn)時(shí) 如果 則有：2. 和 的長(zhǎng)度N1和N2不等時(shí)， 選擇 為變換長(zhǎng)度,短者進(jìn)進(jìn)行補(bǔ)零達(dá)到N點(diǎn)。二.序列的圓周移位1.定義一個(gè)有限長(zhǎng)序列 的圓周移位定義為這里包括三層意思：先將 進(jìn)行周期延拓再進(jìn)行移位最后取主值序列：n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-12.圓周位移的含義 由于我們?nèi)≈髦敌蛄校粗挥^察n=0到N-1這一

7、主值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時(shí)，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來(lái)。如果把 排列一個(gè)N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于 在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾圈時(shí)，看到就是周期序列 : 。12345n=0N=6四.圓周卷積和1.時(shí)域卷積定理 設(shè) 和 均為長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，且 ，如果 ，則NN證明： 相當(dāng)于將 作周期卷積和后，再取主值序列。將 周期延拓：則有：在主值區(qū)間 ，所以：N同樣可證：N2.時(shí)域圓周卷積過(guò)程N(yùn)-10nN-10n0m0m0m0m0233211N-1nN最后結(jié)果：五.有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積1.線性卷積 的長(zhǎng)度為 的長(zhǎng)度為 它們線性卷積為 的非零區(qū)間

8、為 的非零區(qū)間為 兩不等式相加得 也就是 不為零的區(qū)間. 例如:1012n1012n3m-1-2-3mm1012mmn2103145233211012m2.用圓周卷積計(jì)算線性卷積 圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列. 的長(zhǎng)度為 , 的長(zhǎng)度為 ,先構(gòu)造長(zhǎng)度均為L(zhǎng)長(zhǎng)的序列, 即將 補(bǔ)零點(diǎn);然后再對(duì)它們進(jìn)行周期延拓 ，即 所以得到周期卷積： 可見(jiàn),周期卷積為線性卷積的周期延拓,其周期為L(zhǎng)。由于 長(zhǎng)度 ,所以周期L必須滿足: 又由于圓周卷積是周期卷積的主值序列,所以圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列,即計(jì)算題有限長(zhǎng)為 N 的兩序列求: 3.4 頻域抽樣理論一.如何從頻域抽樣恢復(fù)原序列1

9、.兩種抽樣 時(shí)域抽樣: 對(duì)一個(gè)頻帶有限的信號(hào),根據(jù)抽樣定理對(duì)其進(jìn)行抽樣,所得抽樣信號(hào)的頻譜是原帶限信號(hào)頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)。 頻域抽樣: 對(duì)一有限序列(時(shí)間有限序列)進(jìn)行DFT所得X(k)就是序列傅氏變換的采樣。所以DFT就是頻域抽樣。2.由頻域抽樣恢復(fù)序列 一個(gè)絕對(duì)可和的非周期序列x(n)的Z變換為 由于x(n)絕對(duì)可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),也即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣,對(duì)X(z)在單位圓上N等份抽樣,就得到對(duì) 進(jìn)行反變換,并令其為 ,則 可見(jiàn),由 得到的周期序列 是非周期序列x(n)的周期延拓。 也就是說(shuō),頻域抽樣造成時(shí)域周期延拓。1 , m=n+r

10、N , 0 , 其他m3.頻域抽樣不失真的條件 當(dāng)x(n)不是有限長(zhǎng)時(shí)，無(wú)法周期延拓； 當(dāng)x(n)為長(zhǎng)度M,只有NM時(shí),才能不失真的恢復(fù)信號(hào),即1.由X(k)恢復(fù)X(z) 序列x(n),（0nN-1）的Z變換為由于 ，所以二.由X(k)表達(dá) X(z)與 的問(wèn)題內(nèi)插公式上式就是由X(k)恢復(fù)X(z)的內(nèi)插公式,其中稱作內(nèi)插函數(shù)。2.內(nèi)插函數(shù)的特性 將內(nèi)插函數(shù)寫(xiě)成如下式:。 令分子為零, 得 所以有N個(gè)零點(diǎn)。令分母為零,得 為 一階極點(diǎn), Z=0為(N-1)階極點(diǎn)。但是極點(diǎn) 與一零點(diǎn)相消。這樣只有(N-1)個(gè)零點(diǎn),抽樣點(diǎn) 稱作本抽樣點(diǎn)。因此說(shuō),內(nèi)插函數(shù)僅在本抽樣點(diǎn)處不 為零,其他(N-1)個(gè)抽樣點(diǎn)

11、均為零。3.頻率響應(yīng) 單位圓上的Z變換即為頻響, 代入4.內(nèi)插函數(shù)的頻率特性 可見(jiàn), 既是 的函數(shù)又是k的函數(shù),其可表示為 時(shí), 時(shí), ，所以 當(dāng)N=5時(shí), 的幅度特性 和相位特性 如下圖：其中，N=5 由于i與k均為整數(shù),所以i k 時(shí) 這就是說(shuō),內(nèi)插函數(shù)在本抽樣點(diǎn) 上 , 而在其他抽樣點(diǎn)上 5. 與X(k)的關(guān)系 由于 的特性可知,在每個(gè)抽 樣點(diǎn)上其值為1, 故 就精確等于X(k)。即 而在抽樣點(diǎn)之間, 等于加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)值疊加而得。 利用DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的逼近一.用DFT計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅氏變換可能造成的誤差 1.混疊現(xiàn)象 為避免混疊,由抽樣定理可知，須滿足 其中, 為抽樣頻率;

12、為信號(hào)的最高頻率分量； 或者 其中,T為抽樣間隔。 2.頻譜泄漏 在實(shí)際應(yīng)用中，通常將所觀測(cè)的信號(hào) 限制在一定的時(shí)間間隔內(nèi),也就是說(shuō)，在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行截?cái)嗖僮?或 稱作加時(shí)間窗,亦即用時(shí)間窗函數(shù)乘以信號(hào),由卷積定理可知，時(shí)域相乘,頻域?yàn)榫矸e,這就造成拖尾現(xiàn)象,稱之為頻譜泄漏.0n0nn3.柵欄效應(yīng) 用DFT計(jì)算頻譜時(shí)，只是知道為頻率 的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個(gè)譜線之間 的情況就不知道,這相當(dāng)通過(guò)一個(gè)柵欄觀察 景象一樣，故稱作柵欄效應(yīng)。 補(bǔ)零點(diǎn)加大周期 ，可使F變小來(lái)提高 辨力，以減少柵欄效應(yīng)。二、DFT與連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅氏變換間相對(duì)數(shù)值的確定 1.連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)傅氏變換對(duì)2. 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)傅氏