模糊集理論及其應(yīng)用_第二章

1、模糊集理論及其應(yīng)用第二章 模糊映射與模糊數(shù)1第二章 模糊映射與模糊數(shù)2.1 一元模糊映射及其性質(zhì)( P311)2.2 多元模糊映射及其性質(zhì)( P1217)2.3 模糊數(shù)及其運(yùn)算( P1829)3121822.1 一元模糊映射及其性質(zhì)2.1.1 一元經(jīng)典擴(kuò)展原理 定義2.1.1 設(shè)U, V 為兩個(gè)論域,則由映射 f :UV 可誘導(dǎo)出如下兩個(gè)集值映射 (i) f :P(U) P(V) A f(A)= f(u)u A.用特征值表示,有 f(A) (v) = f(u) = v A (u) , v V . (2-1-1) (ii) f -1 :P(V) P(U) B f -1 (B)= uUf(u)B

2、.用特征函數(shù)表示 ,有 f -1 (B) (u) = B (f(u) ) , u U . (2-1-2)我們稱由(2-1-1)確定的集值映射 f 和由(2-1-2)確定的集值映射 f -1 為普通映射 f :UV 的經(jīng)典誘導(dǎo)映射;而稱式(2-1-1) 和式(2-1-2)為一元經(jīng)典擴(kuò)展原理;稱 f(A) 為A在 f 下的像,而 f -1 (B) 稱為 B 在 f 下的原像, 如下圖所示 目 錄34 例2.1.1 設(shè)U=V =(,),映射 f : UV u f(u)= sin u .A=-1,1 P(U) , B = 0,1 P(V) , 則由式(2-1-1) 得 f (A) = f ( -1,1

3、 )= - sin 1, sin 1 而由式 (2-1-2) f -1 (B)= f -1 ( 0,1 )= 2n, (2n+1/2) , ( n = 0, 1, 2, )目 錄52.1.2 一元模糊擴(kuò)展原理 定義2.1.2 設(shè)U, V 為兩個(gè)論域, f :UV 為普通映射，則由 f 可誘導(dǎo)出如下兩個(gè)模糊映射： (i) f :F(U) F(V) A f(A)其中 v V ，有 目 錄6 通常稱由式(2-1-3)和式(2-1-4)所確定的模糊映射為Zadeh型函數(shù). f(A)稱為U 上的模糊集A 在 f 下的像,而稱f -1 (B)為V上的模糊集B在f 下的原像.如下圖所示 7 例2.1.2 設(shè)

4、U =u1,u2, u3,u4, u5,V = a, b, c,d, 映射 f : UV 定義為 (1) 當(dāng) u u1, u3時(shí), f(u)= a ; (2) 當(dāng) u u2, u4, u5時(shí), f(u)= c;又設(shè) A=(0.9, 0.3, 0.8, 0.6, 0.7) F(U) , 試求B= f (A) , f -1 (B).目 錄8 解: 因?yàn)閒 -1 (a)= u1, u3, f -1 (c) =u2, u4, u5, f -1 (b) = f -1 (d) =, 所以由式(2-1-3)得 f (A)(a) = u f -1 (a) A(u)= A(u1)A(u3)= 0.90.8=0.

5、9 . f (A)(b) = 0, f (A)(d) = 0, f (A)(c) =u f -1 (c) A(u)= A(u2)A(u4)A(u5) = 0.30.6 0.7 = 0.7 .從而得 B = f(A)=(0.9, 0, 0.7, 0). 而由式(2-1-4)得 f -1 (B)(u1)= B(f(u1)= B(a)=0.9 f -1 (B)(u2)= B(f(u2)= B(c)=0.7 f -1 (B)(u3)= B(f(u3)= B(a)=0.9 f -1 (B)(u4)= B(f(u4)= B(c)=0.7 f -1 (B)(u5)= B(f(u5)= B(c)=0.79所以

6、 f -1 (B)= (0.9, 0.7, 0.9, 0.7, 0.7). 由此可見(jiàn), A f -1 (f (A). 此結(jié)論對(duì)于任一模糊映射都成立,即 定理2.1.1 設(shè)f :F(U) F(V) 為模糊映射,則 (1) A f -1 (f (A),且 f 為單射時(shí),等號(hào)成立; (2) f (f -1 (B)B ,且 f 為滿射時(shí),等號(hào)成立.目 錄10 下面我們利用分解定理給出模糊擴(kuò)展原理的幾種其它形式. 定理2.1.2 (擴(kuò)展原理) 設(shè)U, V 為兩個(gè)論域, f 和 f -1 為由f :UV誘導(dǎo)的模糊映射, AF(U), BF(V), 則 (1) f (A) = 0,1 f (A); (2)

7、f -1(B) = 0,1 f -1(B);11 定理2.1.3 (擴(kuò)展原理) 設(shè)U, V為兩個(gè)論域, f 和 f -1 為由f :UV誘導(dǎo)的模糊映射, AF(U), BF(V),則 (1) f (A) = 0,1 f (As); (2) f -1(B) = 0,1 f -1( Bs).目 錄12 定理2.1.4 (擴(kuò)展原理 )設(shè)U, V為兩個(gè)論域, f 和 f -1 為由f :UV誘導(dǎo)的模糊映射, AF(U), BF(V),則 (1) f (A) = 0,1 f (HA() , 其中 HA()滿足 As HA() A , 0,1 ; (2) f -1(B) = 0,1 f -1(HB(),

8、其中 HB()滿足 Bs HB() B , 0,1 .132.1.3 模糊映射的基本性質(zhì) 定理2.1.5 設(shè)f :F(U)F(V) 為模糊映射 ,At | tT F(U), 則 (1) f (tT At ) = tT f (At ) ; (2) 若A, B F(U)且A B, 則 f (A) f (B) ; (3) f ( ) = ; (4) f (tT At ) tT f (At ) .目 錄14 證明: (1) vV, 若f -1(v) = , 由定義2.1.2知 f (tT At )(v) = 0, 且 tT , f (At )(v) =0, 從而( tT f (At )(v) = tT

9、 f (At )(v)=0 . 于是等式成立. 若f -1(v) , 則由式(2-1-3)知 f ( tT At )(v) = f(u)=v ( tT At )(u) = f(u)=v tT At (u) = tT f(u)=v At (u) = tT f (At )(v) = (tT f (At )(v)從而有f ( tT At ) = tT f (At ) .15 定理2.1.6 設(shè)f :F(U)F(V)為模糊映射, AF(U), 0,1 , 則 (1) f (As)=f (A)s ; (2) f (A)=f (A)當(dāng)且僅當(dāng)vV , u0U, s.t. f (A)(v)= A(u0). 證

10、明: (1) vV, 有 v f (A)s iff f(A)(v) iff uf -1 (v) A(u) iff u0U ,s.t. f (u0)= v 且 A(u0) iff u0U ,s.t. f (u0)= v 且 u0 As iff vf (As). f (As)=f (A)s 目 錄16 注2.1.1: 一般說(shuō)來(lái), f (A)=f (A)不成立. 例2.1.3 設(shè)U=V=0,1, f :UV定義為取AF(U),使A(u)=1u (uU ),則vV, 由定義2.1.2知取 =1,則f (A) =0,1,但f (A1)=f (0)=0,故 f (A)1 f (A1).17 定理2.1.7

11、 設(shè)f -1 :F(V) F(U) 為由f :UV誘導(dǎo)的模糊映射, Bt | tT F(V), 則 (1) ?？招? f -1( ) = ; (2) 保序性: 若B , G F(V)且B G , 則 f -1(B) f -1(G) ; (3) 保并性: f -1( tT Bt ) = tT f -1(Bt ) ; (4) 保交性: f -1( tT Bt ) = tT f -1(Bt ) ; (5) 保逆合性: 若BF(V) , (f -1(B)= f -1(B) .目 錄18 定理2.1.8 設(shè)f -1 :F(V)F(U) 為由f :UV誘導(dǎo)的模糊映射 , BF(V),則 (1) f -1(

12、B) = f -1(B) ; (2) f -1(B)s = f -1(Bs) ; 證明: uU,有 u f -1(B) f -1(B)(u) B(f (u) f (u)B u f -1(B ) f -1(B) = f -1(B ) 即(1)成立. 同理可證(2)也成立.192.2 多元模糊映射及其性質(zhì)2.2.1 二元擴(kuò)展原理 定義2.2.1 設(shè)AiF(Ui) (i=1,2,n), 則A1, A2 , An的Descartes乘積,記作目 錄20定義2.2.2 設(shè)U1, U2, V為三個(gè)論域 , f :U1U V為二元普通映射,則由 f 誘導(dǎo)的二元模糊映射f : F(U1)F(U2)F(V) (

13、A1, A2) f (A1, A2) 的隸屬函數(shù)為 v V21定理2.2.1 (二元擴(kuò)展原理) 設(shè) f : F(U1)F(U2)F(V)為二元模糊映射, 則 (A, B) F(U1)F(U2), 有f (A, B)= 0,1 f (A, B);22定理2.2.2 (二元擴(kuò)展原理)設(shè) f : F(U1)F(U2)F(V)為二元模糊映射, 則 (A, B) F(U1)F(U2),有f (A, B)= 0,1 f (AS, BS);目 錄23定理2.2.3 (二元擴(kuò)展原理)設(shè) f : F(U1)F(U2) F(V)為二元模糊映射, 則(A, B) F(U1)F(U2), 有f (A, B)= 0,1

14、 f (H1(), H2()其中Hi()(i=1,2)滿足條件AS H1() A , BS H2()B24定理2.2.4 設(shè)f : F(U1)F(U2)F(V)為由f :U1U2V誘導(dǎo)的模糊映射, 0,1 則 (1) f (A, B )S = f (AS, BS); (2) f (A, B) = f (A, B), 當(dāng)且僅當(dāng)vV , (u1, u2 ) f -1(v) , s.t. f (A, B)(v)= A(u1) B(u2).252.2.2 實(shí)數(shù)論域上模糊集的二元運(yùn)算 下面我們利用二元擴(kuò)展原理構(gòu)成實(shí)數(shù)論域上模糊集合的加,減,乘,除,取大和取小六種二元運(yùn)算.為此,設(shè)L=, 為算子集, 為

15、L的任一算符,則 可視為二元映射 : RR R (x, y) x y 根據(jù)二元擴(kuò)展原理,可將算符 擴(kuò)展到 F(R ) 中去,即定義2.2.3 設(shè) : F(R )F(R )F(R )為由 : RR R誘導(dǎo)的二元模糊運(yùn)算, A, BF(R ),則A B = 0,1 (A B)其中A B= x y xA , y B,特別地目 錄26AB = 0,1 (AB),其隸屬函數(shù)為z R ,A-B = 0,1 (A-B),其隸屬函數(shù)為z R ,27(3) AB = 0,1 (AB),其隸屬函數(shù)為z R ,(4) AB = 0,1 (AB),其隸屬函數(shù)為z R ,(其中BF(/R)-0)目 錄28(5) AB

16、= 0,1 (AB),其隸屬函數(shù)為z R ,(6) AB = 0,1 (AB),其隸屬函數(shù)為z R ,目 錄29例 2.2.1 設(shè)U=0,1,4, A, BF(U),且A=(0.4, 0.2, 1, 0, 0), B=(0, 0.3, 0.5, 0.7, 0),求(A+B)(2), (A-B)(2), (AB)(2), (AB)(2), (AB)(2),(AB)(2).解: (A+B)(2)= x+y=2(A(x)B(y) = (A(0)B(2)(A(1)B(1)(A(2)B(0) = (0.40.5)(0.20.3)(10) = 0.40.20=0.4 (A-B)(2)= x-y=2(A(x

17、)B(y) = (A(2)B(0)(A(3)B(1)(A(4)B(2) = (10)(00.3)(00.5)=0 (AB)(2)= xy=2(A(x)B(y) = (A(1)B(2)(A(2)B(1) = (0.20.5)(10.3)= 0.20.3=0.330 (AB)(2)= xy=2(A(x)B(y) = (A(2)B(1)(A(4)B(2) = (10.2)(00.5)=0.2 (AB)(2)= xy=2(A(x)B(y) = (A(0)B(2)(A(1)B(2)(A(2)B(2) (A(2)B(1) (A(2)B(0) = (0.40.5)(0.20.5)(10.5)(10.3)(1

18、0) = 0.40.20.50.30=0.5 (AB)(2)= xy=2(A(x)B(y) = (A(2)B(2)(A(2)B(3)(A(2)B(4)(A(3)B(2) (A(4)B(2) = (10.5)(10.7)(10)(00.5)(00.5) =0.7可以計(jì)算出 (A+B)=(0, 0.3, 0.4, 0.4, 0.5). 注: 一般說(shuō)來(lái), A-A=不一定成立, A+A=2A也不一定成立.由此可見(jiàn),模糊集合的四則運(yùn)算與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算有著本質(zhì)的區(qū)別(參見(jiàn)書(shū)中P37例2.2.2).目 錄312.3 模糊數(shù)及其運(yùn)算2.3.1 凸模糊集及其性質(zhì) 定義2.3.1 設(shè)R為實(shí)數(shù)集, AF(R), 如

19、果對(duì)R中滿足xyz的任意實(shí)數(shù)x, y和z都有A(y)min( A(x), A(z)則稱A為R上的凸模糊集 .目 錄32 例如: 正態(tài)模糊集AF(R), 是R上的凸模糊集,其隸屬函數(shù)曲線如圖2.3.1所示,而由圖2.3.2所確定的模糊集是非凸的.33 性質(zhì)2.3.1 AF (R)為凸模糊集當(dāng)且僅當(dāng) 0,1 , A為區(qū)間. 證明:必要性:設(shè)A為凸模糊集, 0,1 , x, z A且xz,則y x, z ,有A(y)min( A(x), A(z) ,故yA. 這說(shuō)明若兩點(diǎn)在A中,則以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的整個(gè)區(qū)間包含在A中. 因此, A是一個(gè)區(qū)間. 充分性: 設(shè) 0,1 , A為區(qū)間, 對(duì)任意實(shí)數(shù)xyz,取

20、= min( A(x), A(z), 則xA且zA. 因?yàn)锳為區(qū)間,故yA, 即A(y)= min( A(x), A(z)于是,由定義2.3.1 知為凸模糊集. 34 性質(zhì)2.3.2 若A, BF(R )均為凸模糊集,則AB也是凸模糊集. 證明: 由定理1.4.2(2)知, 0,1 , (AB)= AB. 因?yàn)锳, B均為凸模糊集, 所以由性質(zhì)2.3.1知A和B均為區(qū)間. 而區(qū)間的交仍為區(qū)間, 故(AB)為區(qū)間. 于是由性質(zhì)2.3.1知AB為凸模糊集. 目 錄352.3.2 凸模糊集表現(xiàn)定理 定義2.3.2 若映射I:0, 1 P(R)滿足 (i) 01 2 1 I(2 )I(1 ); (ii

21、) 0,1 , I()為R的子區(qū)間;.則稱I為R的區(qū)間套. 記I(R)為R的全體區(qū)間套之集. 顯然, 區(qū)間套必為集合套, 故I(R) u(R).目 錄36 定理2.3.1(凸模糊集表現(xiàn)定理) 設(shè)II(R) ,= 0, 1 I() , 則 (1) A = 0,1 I()為凸模糊集; (2) xR , A(x) = 0, x I().372.3.3 模糊數(shù)及其性質(zhì) 定義2.3.3 設(shè)AF(R),若( 0,1 , A為R中有限閉區(qū)間,則稱A為R上的一個(gè)模糊數(shù); 若A為模糊數(shù),且A1=kerA=a,則稱A是關(guān)于a的嚴(yán)格模糊數(shù). 記R- 為R上的全體有限閉區(qū)間(稱為區(qū)間數(shù))所成之集,而記R為R上的全體模

22、糊數(shù)所成之集. 顯然, 如果我們把實(shí)數(shù)a與單點(diǎn)集a等同看待, 則實(shí)數(shù) 區(qū)間數(shù) 模糊數(shù) 凸模糊集即RR-Rc(R)(這里c(R)表示R上的全體凸模糊集所成之集). 目 錄38 下面給出兩個(gè)判別凸模糊集成為模糊數(shù)的充分必要條件.定理2.3.2 AF(R )為模糊數(shù) iff 存在a,b ,使得 (1) 在a,b上, A(x)1; (2) 在(-, a)中, A(x)為右連續(xù)的增函數(shù), 且 0 A(x) 1; (3) 在(b, +)中, A(x)為左連續(xù)的減函數(shù),且 0 A(x) 0, d0) (5) a, b c, d = a c, b d (6) a, b c, d = a c, b d 43例2

23、.3.1 設(shè) a, b =2,2 , c, d = 1,4 , 則 2,2 + 1, 4= 2+1, 2+4 =1, 6, 2,2 1,4 = 24, 21 =6, 1, 2,2 1,4= 8, 8 ,其中 p=min2, 8, 2, 8, q =max 2, 8, 2, 8, 2,2 1,4= 2/4, 2/1 =1/2, 2, 2,2 1,4= 21, 24 =1, 4, 2,2 1,4= 21, 2 4 =2, 2.44 注意: 對(duì)于區(qū)間數(shù)的除法運(yùn)算,若0 c, d ,則 a, b c, d 不一定是一個(gè)區(qū)間數(shù), 如 -1, 1 -1, 1 = -1, 1-1, 0 -1, 10, 1

24、= (-, -1-1, + ) = (-, + )不是有限閉區(qū)間, 故不是區(qū)間數(shù).目 錄45(ii) 模糊數(shù)的運(yùn)算法則 定義2.3.5 設(shè) p, qR, L=, 則根據(jù)分解定理可定義模糊數(shù)的運(yùn)算為 (1) p q = 0,1 (p q)其隸屬函數(shù)為(p q)(z) = xy=z p(x) q(y)其中x, y, zR (2) 設(shè) k為非負(fù)實(shí)數(shù),則r R, k與r的乘積為k r = 0,1 (k r)其隸屬函數(shù)為(k r)(x) = k y =x r(y) x, yR46 例2.3.2 設(shè)近似等于2的模糊數(shù)為目 錄47 例2.3.2 設(shè) T(a,), T(a1,1),和T(a2,2) 均為 三角

25、模糊數(shù), k 0 ,求T(a1,1)+T(a2,2) , kT(a,). 目 錄48 解: 因?yàn)?0,1 ,有 T( a,)=a (1), a+ (1).所以由定義2.3.5知 (1) T(a1,1)+T(a2,2) = 0,1 T(a1,1) +T(a2,2) = 0,1 a11 (1), a1+ 1 (1)+ a2 2 (1), a2+ 2 (1) = 0,1 a1+a2(1+2 )(1), a1+a2 +(1+2 )(1) = T(a1+a2,1+2). (2) kT(a,) = 0,1 k a (1), a+ (1) = 0,1 kak (1), ka+k (1) = T(ka, k)

26、 49 定理2.3.5 設(shè)k0, p, q,rR,則L=, , , p*q R, k*r R. 這說(shuō)明模糊數(shù)關(guān)于“, ” 這六種運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算都是封閉的. 證明: 因?yàn)? 0,1 , p, q和r都是區(qū)間數(shù),故有區(qū)間數(shù)的運(yùn)算知 p* q R- , k*r R-, 從而由模糊數(shù)的表現(xiàn)定理知, p*q R, k*r R .502.3.6 模糊數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (i) 模糊數(shù)的截集運(yùn)算性質(zhì) 首先介紹一些將在證明模糊數(shù)的截集運(yùn)算性質(zhì)需用到的概念 定義2.3.6 設(shè)AF(U ),記 則稱 和 分別為模糊集A的 高 和 底 . (1) 若u, vU ,s.t. A(u)=1 , A(v)=0 則稱A為正則模糊集 ; (2) 若 ,則稱A為擬正則模糊集 ; (3) 若u0U ,s.t. A(u0)= ,則稱