復變函數(shù)課件：第五章 留數(shù)

1、第五章 留數(shù)1 孤立奇點 函數(shù)不解析的點為奇點.如果函數(shù) f (z)雖在z0不解析, 但在z0的某一個去心鄰域0|z-z0|d內處處解析, 則z0稱為f (z)的孤立奇點. 將函數(shù) f (z)在它的孤立奇點z0的去心鄰域0|z-z0|d 內展開成洛朗級數(shù). 根據(jù)展開式的不同情況對孤立奇點作分類.可去奇點 如果在洛朗級數(shù)中不含z-z0的負冪項, 則孤立奇點z0稱為 f (z)的可去奇點. f (z)= c0 + c1(z-z0) +.+ cn(z-z0)n +. 0|z-z0|d ,從而 f (z)在z0解析.所以z0稱為可去奇點. 則在圓域 |z-z0| d 內就有 f (z)= c0 + c

2、1(z-z0)+.+cn(z-z0)n +.,由于 求 在 的去心鄰域內的洛朗級數(shù)，有 解 如果約定 在 點的值為 1， 則 在 點 就解析了， 因此稱 為 的可去奇點。 2. 極點 如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個z-z0的負冪項, 且其中關于(z-z0)-1的最高冪為 (z-z0)-m, 即 f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0 +c1(z-z0)+. (m1, c-m0),則孤立奇點z0稱為函數(shù) f (z)的m級極點. 上式也可寫成 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +. , 在 |z

3、-z0|d 內是解析的函數(shù), 且 g (z0) 0 . 反過來, 當任何一個函數(shù) f (z) 能表示為的 且g (z0) 0 時, 則z0是 f (z)的m級極點.如果z0為 f (z)的極點, 由(*)式, 就有3. 本性奇點 如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為 f (z)的本性奇點.綜上所述: 我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型.4.函數(shù)的零點與極點的關系則稱 為 的零點； (1) 若 所謂函數(shù) 的零點就是方程 的根。 定義 設函數(shù) 在 處解析， (2) 若 在 處解析且 則稱 為 的 m 階零點。 對于不恒為零的解析函數(shù)，其零點是孤立的。 結論

4、 即在零點的一個小鄰域內，函數(shù)無其它零點。 (1) 為 的 m 階零點。 (2) 其中， (3) 在 內的泰勒展開式為 定理1 設函數(shù) 在 處解析，則下列條件是等價的： 收斂且解析 定理2 如果 z0 是 f (z)的m級零點, 則z0就是1/f (z)的 m級極點, 反過來也成立. 解 函數(shù)1/sin z的奇點顯然是使sin z=0的點. 這些奇點是z=k (k=0,1,2,). 由于(sin z)|z=k = cos z|z=k =(-1)k 0, 所以z=k 一級極點亦稱簡單極點例 2 對 討論函數(shù) 在 處的性態(tài)。例 35. 函數(shù)在無窮遠點的性態(tài) 如果函數(shù) f (z)在無窮遠點 z= 的

5、去心鄰域 R|z|內解析, 稱點為 f (z)的孤立奇點.作變換 把擴充z平面上的去心鄰域 R|z|+ 映射成擴充w平面上原點的去心鄰域： f (z)在無窮遠點 z= 的奇點類型,等價于j (w)在w=0的奇點類型。例題1例題2例題3 即z=是 f (z)的可去奇點, 極點或本性奇點, 完全看極限 是否存在(有限值), 為無窮大或即不存在又不是無窮大來決定.2 留數(shù)留數(shù)的定義及留數(shù)定理 如果函數(shù) f (z)在z0的鄰域D內 解析,那末根據(jù)柯西積分定理 但是, 如果z0為 f (z)的一個孤立奇點, 則沿在z0的某個去心鄰域 0|z-z0|R 內包含z0的任意一條正向簡單閉曲線C的積分 一般就不

6、等于零.因此 f (z) = . +c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+. 0|z-z0|R 兩端沿C逐項積分:稱 C-1為 f (z)在 z0 的留數(shù), 記作 Res f (z), z0, 即定理一(留數(shù)定理) 設函數(shù) f (z)在區(qū)域D內除有限個孤立奇點 z1, z2, ., zn 外處處解析. C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線, 則Dz1z2z3znC1C2C3CnC證 把在C內的孤立奇點zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正 向簡單閉曲線Ck圍繞起來, 則根據(jù)復合閉路定理有注意定理中的條件要滿足。例如不能應用留數(shù)

7、定理。 求函數(shù)在孤立奇點z0處的留數(shù)即求它在洛朗級數(shù)中 (z-z0)-1 項的系數(shù) c-1 即可. 但如果知道奇點的類型, 對 求留數(shù)可能更有利. 如果 z0是 f (z)的可去奇點, 則 Resf(z),z0=0 . 如果 z0 是本性奇點, 則只好將其按洛朗級數(shù)展開. 如果 z0 是極點, 則有一些對求 c-1有用的規(guī)則.2. 留數(shù)的計算規(guī)則規(guī)則2 如果 z0為 f (z)的m級極點, 則事實上, 由于f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,規(guī)則1 如果z0為 f (z)的一級極點, 則(z-z0)m f (z)=

8、c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+., 令兩端 zz0, 同除(m-1)!即得規(guī)則2, 當 m=1時就是規(guī)則1。即得 規(guī)則3。由規(guī)則1, 得我們也可以用規(guī)則3來求留數(shù):這比用規(guī)則1要簡單些.例 5 解：所以 原式=例 4 解：z = 0為一級極點。3.在無窮遠點的留數(shù) 設函數(shù) f (z)在圓環(huán)域 R|z|內解析, C為圓環(huán)域內繞原點的任何一條簡單閉曲線, 則積分的值與C無關, 稱其為f (z)在點的留數(shù), 記作f (z)在圓環(huán)域 R|z|內解析： 理解為圓環(huán)域內繞 的任何一條簡單閉曲線。 這就是說, f (z)在點的留數(shù)等于它在點的去心鄰域R|z|+內洛朗展開式中 z-1 的系數(shù)變號.定理二 如果 f (z)在擴充復平面內只有有限個孤立奇點,那末 f (z)在所有各奇點(包括點)的留數(shù)總和必等于零.證：除點外, 設f (z)的有限個奇點為zk(k=1,2,.,n). 且C為一條繞原點的并將zk(k=1,2,.,n)包含在它內部的正向簡單閉曲線, 則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠點的留數(shù)定義, 有z1z2z3znC1C2C3CnC 事實上, 在無窮遠點的留數(shù)定義中