第一章Fourier變換 復變函數與積分變換 教學課件

1、工程數學之積分變換第四版東南大學數學系 張元林編高等教育出版社引言在自然科學和工程技術中，為了把較復雜的運算簡單化，人們常常采用所謂的變換的方法來到達目的。如十七世紀，航海和天文學積累了大批觀察數據，需要對它們進行大量的乘除運算。在當時，這是非常繁重的工作，為了克服這個困難，1614年納皮爾Napier)創(chuàng)造了對數，它將乘除運算轉化為加減運算，通過兩次查表，便完成了這一艱巨的任務。十八世紀，微積分學中，人們通過微分、積分運算求解物體的運動方程。到了十九世紀，英國著名的無線電工程師海維賽德Heaviside為了求解電工學、物理學領域中的線性微分方程，逐步形成了一種所謂的符號法，后來就演變成了今天

2、的積分變換法。即通過積分運算把一個函數變成另一個函數。同時，將函數的微積分運算轉化為代數運算，把復雜、耗時的運算簡單、快速完成。積分變換的理論和方法不僅在數學的學多分支中，而且在其它自然科學和各種工程技術鄰域中都有著廣泛的應用。第一章 Fourier變換1.1 Fourier積分1.1.1 傅立葉級數的復指數形式設 是以 為周期的周期函數，如果它在區(qū)間 上滿足狄利克雷條件：1 在 上連續(xù)或者只有有限個第一類間斷點；2 在 上只有有限個極值點。那么， 在 上就可以展開成傅氏級數，在 的連續(xù)點處，級數的三角形式為： (1.1)其中，假設令 ，那么(1.1)式可寫成或這就是傅立葉級數的復指數形式。1

3、.1.2 傅立葉積分定理假設 在 上滿足以下條件：1 在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件；2 在無限區(qū)間 上絕對可積即積分 收斂，那么有 (1.2)成立，而左端的 在它的間斷點處，應以 來代替。這個公式稱為傅立葉積分公式。假設 為奇函數，那么有假設 為偶函數，那么有它們分別稱為傅立葉正弦積分公式和傅立葉余弦積分公式。例1 求函數 的傅立葉積分表達式。解：根據Fourier積分公式的復數形式，有當 時， 應以代替。練習： 求矩形單脈沖函數 的傅里葉積分公式。解：1.2 Fourier變換1.2.1 Fourier變換的概念在(1.2)式中，設 (1.3)那么 (1.4)(1.3)式稱為 的傅立葉變

4、換式，可記為 叫做 的象函數，(1.4)式稱為 的傅立葉逆變換，可記為 叫做 的象原函數。當 為奇函數時，叫做 的傅立葉正弦變換，而叫做 的傅立葉正弦逆變換。當 為偶函數時，叫做 的傅立葉余弦變換，而叫做 的傅立葉余弦逆變換。注：假設 僅在 上有定義，且滿足Fourier積分存在定理的條件，也可采用奇延拓或偶延拓的方法，得到 相應的Fourier正弦積分展開式或余弦積分展開式。例1 求函數 的傅立葉變換及其積分表達式，其中 ，這個 叫做指數衰減函數，是工程技術中常碰到的一個函數。解：傅立葉變換為故所求積分表達式為例2 求函數 的正弦變換和余弦變換。解： 的正弦變換為 的余弦變換為1.2.2 非

5、周期函數的頻譜Fourier變換和頻譜概念有著密切的聯(lián)系，隨著無線電技術、聲學、振動學的蓬勃開展，頻譜理論也相應地得到了開展。在頻譜分析中，傅氏變換 又稱為 的頻譜函數，而模 稱為 的振幅頻譜，簡稱頻譜，它是 的偶函數，即 。1.3 Fourier變換的性質1、線性性質設 ， ， 是常數，那么 2、對稱性質假設 ，那么有 ， 3、位移性質 例1 求矩形單脈沖 的頻譜函數。解一：由定義，有解二：因的頻譜函數為故4、微分性質如果 在 上連續(xù)或只有有限個可去間斷點，且當 時， ，那么 推論：假設 在 上連續(xù)或只有有限個可去間斷點，且 那么有 象函數的導數公式例2 函數 ，試求 及 。解：由中例1可知

6、，的傅里葉變換為利用象函數的求導公式，有5、積分性質假設 時，那么 運用傅立葉變換的線性性質、微分性質以及積分性質，可以將線性常系數微分方程包括積分方程和微積分方程轉化為代數方程，通過解代數方程與求傅立葉逆變換，就可以得到相應的原方程的解。1.4 卷積與相關函數1. 卷積的概念假設給定兩個函數 和 ，那么由積分確定的 的函數稱為 和 的卷積，記作 ，即卷積滿足交換律和對加法的分配律：例1 假設 求 與 的卷積。由 ，可知當 時，的區(qū)間為 ，故2.卷積定理假設 都滿足Fourier積分定理中的條件，且 ， ，那么1或 2 例2 求單位階躍函數和指數衰減函數的傅立葉變換的卷積 。解：1.5 Fourier變換的應用例1 求積分方程的解，其中解：該積分方程可以改寫為故 可看作 的傅立葉逆變換，從而有例2 求解積分方程其中 為函數，且和 的傅立葉變換都存在。解：設 ， ，和，由卷積定理知，積分方程右端第二項等于 ，因此上述積分方程兩端取傅立葉變換，由卷積定理可得所以由傅立葉逆變換，可求得積分方程的解例3 求常系數非齊次線性微分方程的解，其中 為函數。解：設 ， ，利用傅立葉變換的線性性質和微