九年級(jí)數(shù)學(xué)中位線、畫相似圖形、圖形與坐標(biāo)華東師大版知識(shí)精講[文檔]

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)中位線、畫相似圖形、圖形與坐標(biāo)華東師大版【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容： 24.6 中位線、畫相似圖形、圖形與坐標(biāo)二. 學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）理解三角形、梯形的中位線定義與性質(zhì)，會(huì)應(yīng)用三角形、梯形中位線解決實(shí)際問(wèn)題；（2）了解位似圖形及其有關(guān)概念，能利用位似的方法將一個(gè)圖形放大或縮??；（3）會(huì)用平面直角坐標(biāo)系來(lái)確定地理位置，體會(huì)直角坐標(biāo)系的作用；（4）理解點(diǎn)或圖形的變化引起的坐標(biāo)的變化規(guī)律，以及圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)的某種變化引起的圖形變換，并應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中。三. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)：（1）三角形、梯形中位線定理；（2）能夠利用作位似圖形等方法將一個(gè)圖形放大或縮??；（3）掌握利用直角坐標(biāo)

2、系確定地理位置；（4）圖形坐標(biāo)變化與圖形變換之間的關(guān)系。 2. 難點(diǎn)：（1）三角形中位線定理的形成和應(yīng)用；（2）怎樣利用位似方法畫相似圖形；（3）怎樣應(yīng)用直角坐標(biāo)系來(lái)確定地理位置也就是如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（4）圖形坐標(biāo)變化與圖形變換規(guī)律的探究。四. 知識(shí)梳理： 1. 三角形、梯形中位線（1）三角形的中位線定義連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形；要注意三角形的中線與中位線的區(qū)別。中線是從頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)的連線；中位線是兩邊中點(diǎn)的連線。（2）三角形的中位線的性質(zhì)三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。利用三角形的中位線性質(zhì)可以說(shuō)

3、明兩條直線平行；也可以說(shuō)明線段的倍分關(guān)系。（3）梯形的中位線的定義連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線，值得注意的是梯形的中位線只有一條；連結(jié)兩底中點(diǎn)的線段不是梯形的中位線。（4）梯形中位線的應(yīng)用：可以說(shuō)明線段平行；可以說(shuō)明線段的等量關(guān)系；梯形的面積等于中位線與高的積。三角形、梯形中位線定理第一部分講位置關(guān)系；第二部分講數(shù)量關(guān)系。中位線的應(yīng)用極其廣泛，如用在證明線段平行，角的和、差、倍、分等問(wèn)題上。在實(shí)際問(wèn)題中常過(guò)一邊的中點(diǎn)作另一邊的平行線從而運(yùn)用中位線定理解決問(wèn)題。 2. 位似圖形的有關(guān)概念（1）如果兩個(gè)多邊形相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，這樣的相似叫位似，這一點(diǎn)叫位似中心。位似變換

4、是相似變換的特例，位似形一定是相似形，但相似形不一定是位似形，利用位似的方法，可以把一個(gè)多邊形放大或縮小。位似圖形的所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線交于一點(diǎn)(位似中心)，該點(diǎn)可在兩個(gè)圖形的兩側(cè)，或兩個(gè)圖形之間，或圖形內(nèi)，或邊上，也可以是頂點(diǎn)。如圖：由位似圖形的定義不難得出位似圖形的一條性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中點(diǎn)的距離之比等于位似比。（2）作位似圖形的方法：先確定位似中心，再過(guò)位似中心和每個(gè)頂點(diǎn)作直線，在直線的另一側(cè)取原多邊形的各頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，連結(jié)各點(diǎn)，即得到放大或縮小的圖形(注意“放大”與“放大到”等說(shuō)法的區(qū)別)。 位似是新課標(biāo)中新增添的內(nèi)容，要求掌握用多種方法將一個(gè)圖形放大或縮小。

5、 3. 圖形與坐標(biāo)（1）確定物體位置的方法以點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置；用一個(gè)角度和一個(gè)距離表示點(diǎn)的位置，如：點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東60方向上，且距點(diǎn)A 30m。用經(jīng)度及緯度確定點(diǎn)的位置；其他方式，如國(guó)際象棋豎條用字母，橫條用數(shù)字表示，中國(guó)象棋用一、二、三和1、2、3以及平、進(jìn)、退來(lái)表示點(diǎn)的位置，等等。有了平面直角坐標(biāo)系，我們可以毫不費(fèi)力地在平面上確定一個(gè)點(diǎn)的位置。例如：用經(jīng)度和緯度來(lái)表示一個(gè)地點(diǎn)在地球上的位置，電影院的座位用幾排幾座來(lái)表示。同時(shí)，我們還可用一個(gè)角度和距離來(lái)表示一個(gè)點(diǎn)的位置。這種方式在軍事和地理中較為常用。（2）圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、放大或縮小等變化中點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律到目前為止，我們

6、已經(jīng)學(xué)過(guò)了平移、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、相似等變換，圖形經(jīng)過(guò)這些變換后，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)也會(huì)隨之變化，有的橫坐標(biāo)變化，而縱坐標(biāo)不變，也有的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變化。平移：水平方向平移，圖形各頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，沿鉛直方向平移，圖形各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變；旋轉(zhuǎn)：先找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)的角度，再觀察旋轉(zhuǎn)后與旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)的變化情況；對(duì)稱：關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形橫坐標(biāo)不變，關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形縱坐標(biāo)不變，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形，圖形的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。位似變換：將已知圖形放大或縮小，應(yīng)運(yùn)用網(wǎng)格法求點(diǎn)的變化坐標(biāo)，或運(yùn)用相似三角形的方法求變化后的圖形坐標(biāo)。學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，應(yīng)注意把“形”與“數(shù)”緊密地聯(lián)系在一起?！镜湫屠}】例1.

7、 如圖，ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB14，BC16，AC26，P為A的平分線AD上一點(diǎn)，且BPAD，M為BC的中點(diǎn)，求PM的長(zhǎng)。分析：角平分線與垂直結(jié)合，這是一個(gè)基本圖形，注意構(gòu)造等腰三角形。解答：A的平分線與BP邊上的垂線互相重合，通過(guò)作輔助線延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)Q，由ABPAQP知ABAQ14，又知M是BC的中點(diǎn)，所以PM是BQC的中位線，于是本題得以解決。PM6 例2. 已知第一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為a，它的三條中位線組成第二個(gè)三角形；第二個(gè)三角形的三條中位線又組成第三個(gè)三角形，依此類推，第二七個(gè)三角形的周長(zhǎng)是多少？分析：先探究第二個(gè)三角形的周長(zhǎng)與第一個(gè)三角形周長(zhǎng)的關(guān)系，再探究第三個(gè)三角形的周長(zhǎng)與第

8、一個(gè)三角形周長(zhǎng)的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)尋找規(guī)律。解：第二個(gè)三角形的每邊長(zhǎng)為第一個(gè)三角形每邊長(zhǎng)的一半，第二個(gè)三角形的周長(zhǎng)為第一個(gè)三角形周長(zhǎng)的一半，第三個(gè)三角形的周長(zhǎng)為第二個(gè)三角形周長(zhǎng)的一半，即是第一個(gè)三角形周長(zhǎng)的。依此類推，第n個(gè)三角形的周長(zhǎng)為第一個(gè)三角形周長(zhǎng)的，故第二七個(gè)三角形的周長(zhǎng)為a。 例3. 如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA、的中點(diǎn)，四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？分析：請(qǐng)任畫一個(gè)四邊形，順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)。猜想探索得到的四邊形的形狀，由E、F分別是中點(diǎn)，你能聯(lián)想到什么？你應(yīng)該如何做？解答：連結(jié)AC，由已知條件可得EF與HG分別是ABC與ACD的中

9、位線，根據(jù)三角形中位線定理，可得EFAC，EF=AC，同理：HGAC，HG=AC所以EF平行且等于HG，所以四邊形EFGH是平行四邊形。 例4. 如下圖：E、F為凸四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)，若EF，問(wèn)：ABCD為什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：如圖，利用三角形和梯形的中位線定理，連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)G，連EG、FG，則EGCD，F(xiàn)GAB，EGFG，即EGFGEF，則G點(diǎn)在EF上，EFCD，EFAB，故ABCD。（1）若ADBC，則凸四邊形ABCD為平行四邊形；（2）若AD不平行于BC，則凸四邊形ABCD為梯形。點(diǎn)撥：利用中位線構(gòu)造出CD、AB，其關(guān)鍵是連AC，并取其中點(diǎn)G。 例

10、5. 如圖所示，梯形ABCD中，AD/BC，BD為對(duì)角線，中位線EF交BD于O點(diǎn)，若FOEO=3，則BCAD等于( ) A、4 B、6 C、8 D、10解析：EF是梯形ABCD的中位線， EO/AD，可得BOEBDA，相似比為，O是BD的中點(diǎn)，EO是BAD的中位線，同理可得：OF是BDC的中位線，EO=AD，OF=BC，又FOEO=3BCAD=3，即BCAD=6，故選B 例6. 如圖，請(qǐng)用位似的方法把下面的圖形放大一倍。分析：根據(jù)位似的概念，先確定位似中心，再依據(jù)相似形的性質(zhì)，把對(duì)應(yīng)線段放大一倍。解：如圖1、任取一點(diǎn)O；2、以點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OA、OB、OC、OD；3、分別在射線OA、OB、O

11、C、OD上，取點(diǎn)，使；4、連結(jié)，得到所要畫的多邊形。 例7. 如圖，已知O是四邊形ABCD的一邊AB上的任意一點(diǎn)，EHAD，HGDC，GFBC。試說(shuō)明四邊形EFGH與四邊形ABCD是否相似，并說(shuō)明你的理由。分析：通過(guò)觀察，我們可以猜想出四邊形EFGH四邊形ABCD，關(guān)鍵是如何說(shuō)明兩者是相似的。三角形相似只要有兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等或?qū)?yīng)邊成比例，而要說(shuō)明多邊形相似，則要同時(shí)滿足兩個(gè)條件：既要所有的對(duì)應(yīng)角相等，又要所有的對(duì)應(yīng)邊成比例，二者缺一不可。從EHAD、HGDC、GFBC可得三對(duì)相似三角形，再找出角的關(guān)系，則能證明猜想。解答：四邊形EFGH四邊形ABCD。理由：因?yàn)镋HAD，所以O(shè)EHOAD，所以

12、1=A，2=3，又因?yàn)镠GCD，所以O(shè)HGODC，所以45，67，所以2+43+5，即EHGADC。因?yàn)镚FBC，所以O(shè)FGOBC，所以89，10B，所以6+87+9，即HGFDCB，所以，所以O(shè)EkOA，OF=KOB ，所以所以1A，EHGADC，HGFDCB，10B，。所以四邊形EFGH四邊形ABCD。 例8. 下圖是某市旅游景點(diǎn)的示意圖。試建立直角坐標(biāo)系， 用坐標(biāo)表示各個(gè)景點(diǎn)的位置。 解析：直角坐標(biāo)系位置不同，各景點(diǎn)的坐標(biāo)也不相同。如以中心廣場(chǎng)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，答案如下：以中心廣場(chǎng)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖，則各景點(diǎn)坐標(biāo)依次為：雁塔(2，4)；鐘樓(4，2)，大成殿(3，1)；科技大學(xué)(5，

13、4)；碑林(4，4)；映月湖(4，3)。 例9. 下圖中，矩形ABCD沿y軸向上平移3個(gè)單位后，得到矩形。四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)有什么變化呢?若矩形再沿x軸方向向右平移6個(gè)單位后，得到矩形，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)又有什么變化呢?分析：關(guān)鍵是搞清平移的方向。若沿x軸平移，則橫坐標(biāo)變化而縱坐標(biāo)不變；若沿y軸平移，則縱坐標(biāo)變化而橫坐標(biāo)不變。解：矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是A(2，0)，B(2，2)，C(2，2)，D(2，0)沿y軸平移后的矩形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，沿x軸平移后的矩形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是點(diǎn)撥：沿x軸正方向平移a個(gè)單位，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)均加上a，縱坐標(biāo)不變；向負(fù)方向平移a個(gè)單位，則橫坐標(biāo)均減去a，即加上

14、a，縱坐標(biāo)不變。沿y軸正方向平移b個(gè)單位，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)加上b，反之向反方向平移，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)均加上b。 例10. 如圖，ABC以點(diǎn)G為位似中心縮小為原來(lái)的0.5倍，得到，寫出變化前后兩個(gè)三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：先確定ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后依據(jù)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的一半。點(diǎn)的縱坐標(biāo)為點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的一半。解：如圖，A(0，0)，B(5，2)，C(0，4)，(1，0)，(1.5，1)，(1，2) 【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一、填空題 1. 通過(guò)平移把點(diǎn)A（5，3）移到A（3，1），按同樣的平移方式把B（2，3）移到B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_。 2. 若ABC的

15、三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)都乘以1，縱坐標(biāo)不變，則所得到的圖形與原圖形的關(guān)系是_。 3. 若兩個(gè)位似多邊形的位似比是3：2，則這兩個(gè)多邊形的面積比為_。 4. 如圖，表示ABC和它縮小后得到的COD，它們的相似比為_。 5. 在比例尺是1：10 000的圖紙上，A，B兩地的距離為，那么這兩地的實(shí)際距離為_。 二、解答題 6. 如圖，A代表學(xué)校，B是公安局，C是醫(yī)院，D是市政府，E是少年宮。 （1）在圖中建立直角坐標(biāo)系，并表示各部門所在位置（每小格為單位1）。 （2）學(xué)校在市政府的哪個(gè)方位？距離是多少？ 7. 在下面網(wǎng)格中畫一鈍角三角形，把它擴(kuò)大2倍，并繞其中一頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，請(qǐng)合理設(shè)計(jì)，把每一步得到的三

16、角形標(biāo)出來(lái)。 8. 在直角坐標(biāo)系中，已知A（4，0），B（4，3），畫出與OAB形狀、大小完全相同的三角形，且這兩個(gè)三角形有兩個(gè)公共點(diǎn)，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。 9. 如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，1），B（1，1），C（1，3），D（1，3）。 （1）若將正方形向右平移a個(gè)單位，使正方形完全落在第一象限，求a的取值范圍。（2）若使正方形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，而正方形的位置不發(fā)生變化，應(yīng)把正方形ABCD作怎樣的變換？請(qǐng)說(shuō)明作法。 10. 某城市A地和B地之間經(jīng)常有來(lái)往車輛，C地和D地之間也經(jīng)常有來(lái)往車輛，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，四地的坐標(biāo)分別為A（5，3），B（1，1），C（3，2），D

17、（1，4），現(xiàn)要建一加油站，建在哪里對(duì)來(lái)往的車輛會(huì)比較方便？試求加油站的具體位置。 11. 我們給中國(guó)象棋棋盤建立平面直角坐標(biāo)系。若A表示象所在的位置。請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出象下一步可以走的位置。 12. 在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），B（2，4），C（4，3），D（2，1）。 （1）求圖中四邊形ABCD的面積。 （2）將四邊形沿AC所在直線翻折，求四邊形各頂點(diǎn)坐標(biāo)。 （3）改變四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，使四邊形ABCD變成菱形，說(shuō)出兩種不同的改法。 試題答案 1. （4，5） 2. 以y為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形 3. （9：4） 4. 2：1 5. 0. 55km 點(diǎn)撥：?jiǎn)挝蛔兓⒁狻?6. 答案不唯一，圖略 例如：以BD所在直線為y軸，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)所在位置可表示為A（2，2），B（0，3），C（2，1），D（0，0），E（2，2）。 （2）學(xué)校在市政府的東北方向，距離為2。 7. 如圖所示 8. C1（0，3），C2（0，3），C3（4，3），C4（8，0），C5（8，3），C6（） 9. （1）a1 （2）應(yīng)把正方形ABCD向下平移2個(gè)單位。 1