2012年湖北省黃岡市數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練卷(二)

1、 數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練卷（一）一、選擇題1若實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足a+1=b2=c+3=d4，則a、b、c、d這四個(gè)實(shí)數(shù)中最大的是（）AaBbCcDd2（2009綦江縣）如圖1，在直角梯形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC，CD運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D停止設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，ABP的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則BCD的面積是（）A3B4C5D63如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，已知正方體相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)相同，且不相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)值不相同，則“”面上的數(shù)為（）A1B1或2C2D2或34關(guān)于x滿足，且|x3|x+2|的最大值為p，最小值為q，則pq的值是（）A6B5C5D15（2006寧波）如圖，直

2、角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=3，BC=5，將腰DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90至DE，連接AE，則ADE的面積是（）A1B2C3D4二、填空題6已知=_7已知關(guān)于x的一元二次方程x24x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且該方程與x2+mx1=0有一個(gè)相同的根當(dāng)k為符合條件的最大整數(shù)時(shí)，m的值為 _8在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，黑板上畫著如圖所示的圖形，活動(dòng)前老師在準(zhǔn)備的四張紙片上分別寫有如下四個(gè)等式中的一個(gè)等式：AB=DC；ABE=DCE；AE=DE；A=D；小明同學(xué)閉上眼睛從四張紙片中隨機(jī)抽取一張，再?gòu)氖Ｏ碌募埰须S機(jī)抽取另一張，則以已經(jīng)抽取的兩張紙片上的等式為條件，使BEC不能構(gòu)成等腰三角

3、形的情況有_種9如圖，“L”形紙片由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，過(guò)A點(diǎn)切一刀，刀痕是線段EF，若陰影部分的面積是紙片面積的一半，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)10規(guī)定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）和（c，d）：當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d時(shí)，（a，b）=（c，d）定義運(yùn)算“”：（a，b（c，d）=（acbd，ad+bc）若（1，2）（p，q）=（5，0），則p+q=_三、解答題11利用圖形面積可以解釋代數(shù)恒等式的正確性，也可以解釋不等式的正確性（1）根據(jù)下列所示圖形寫出一個(gè)代數(shù)恒等式；（2）已知正數(shù)a，b，c和m，n，l，滿足a+m=b+n=c+l=k試構(gòu)造邊長(zhǎng)為k的正方形，利用圖形面積來(lái)說(shuō)明al+bm+cnk212如圖

4、，ABC是等邊三角形，BDC是頂角BDC=120的等腰三角形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且MDN=60試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明13一隊(duì)旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的旅客人數(shù)相等起初每輛汽車乘了22人，結(jié)果剩下1人未上車；如果有一輛汽車空著開(kāi)走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各車上已知每輛汽車最多只能容納32人，求起初有多少輛汽車？有多少名旅客？14如圖，PQ=10，以PQ為直徑的圓與一個(gè)以20為半徑的O內(nèi)切于點(diǎn)P，與正方形ABCD切于點(diǎn)Q，其中A、B兩點(diǎn)在O上若AB=，其中m、n是整數(shù)，求m+n的值15在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的兩頂點(diǎn)

5、A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖1）（1）求邊AB在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；（2）設(shè)MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（3）設(shè)MN=m，當(dāng)m為何值時(shí)OMN的面積最小，最小值是多少？并直接寫出此時(shí)BMN內(nèi)切圓的半徑 數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練卷（一）參考答案與試題解析一、選擇題1若實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足a+1=b2=c+3=d4，則a、b、c、d這四個(gè)實(shí)數(shù)中最大的是（）AaBbCcDd解答解：a+1=b2，b=a+3，

6、即ba，b2=c+3，b=c+5，即bc，c+3=d4，d=c+7，即dc，b2=d4，d=b+2，即db，據(jù)上可得：d最大故答案為：D考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象。1681276專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：正確理解函數(shù)圖象橫縱坐標(biāo)表示的意義解答：解：動(dòng)點(diǎn)P從直角梯形ABCD的直角頂點(diǎn)B出發(fā)，沿BC，CD的順序運(yùn)動(dòng)，則ABP面積y在AB段隨x的增大而增大；在CD段，ABP的底邊不變，高不變，因而面積y不變化由圖2可以得到：BC=2，CD=3，BCD的面積是=3故選A點(diǎn)評(píng)：理解問(wèn)題的過(guò)程，能夠通過(guò)圖象得到函數(shù)是隨自變量的增大，知道函數(shù)值是增大還是減小3如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，已知正方體相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)

7、相同，且不相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)值不相同，則“”面上的數(shù)為（）A1B1或2C2D2或3考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法；專題：正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字。1681276分析：利用正方體及其表面展開(kāi)圖的特點(diǎn)可得：面“x2”與面“3x2”相對(duì)，面“”與面“x+1”相對(duì)；再由題意可列方程求x的值，從而求解解答：解：這是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，共有六個(gè)面，其中面“x2”與面“3x2”相對(duì)，面“”與面“x+1”相對(duì)因?yàn)橄鄬?duì)兩個(gè)面上的數(shù)相同，所以x2=3x2，解得x=1或x=2，又因?yàn)椴幌鄬?duì)兩個(gè)面上的數(shù)值不相同，當(dāng)x=2時(shí)，x+2=3x2=4，所以x只能為1，即=x+1=2故選C點(diǎn)評(píng)：注意正方體的空間圖形，從相對(duì)

8、面入手，分析及解答問(wèn)題4關(guān)于x滿足，且|x3|x+2|的最大值為p，最小值為q，則pq的值是（）A6B5C5D1考點(diǎn)：解一元一次不等式；絕對(duì)值。1681276分析：先解不等式確定x的取值范圍，再計(jì)算出|x3|x+2|的最大值與最小值為，最后求最大值與最小值的積即可解答：解：原不等式兩邊兩乘6得：3（3x1）146x2（5+2x），去括號(hào)得：9x3146x104x，解得：x1當(dāng)x3時(shí)，|x3|x+2|=x3x2=5；當(dāng)1x3時(shí)，|x3|x+2|=3xx2=12x，當(dāng)x=1時(shí)，取得最大值為1故|x3|x+2|的最大值為p=1，最小值為q=5，則pq=（1）（5）=5故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元一次不

9、等式的解法及絕對(duì)值非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，這是考試中經(jīng)常出現(xiàn)的題目類型5（2006寧波）如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=3，BC=5，將腰DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90至DE，連接AE，則ADE的面積是（）A1B2C3D4考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定；直角梯形。1681276分析：求ADE的面積，已知底AD=3，過(guò)E作EF垂直于AD交AD的延長(zhǎng)線于F，EF就是高，然后再找和高相等的等量關(guān)系，三角形EDF全等于三角形CDG，EF=CG=2，則ADE的面積就能求出來(lái)解答：解：過(guò)點(diǎn)D作DG垂直于BC于G，過(guò)E作EF垂直于AD交AD的延長(zhǎng)線于F，EDF+CDF=90，C

10、DF+CDG=90，EDF=CDG，又EFD=CGD=90，DE=DC，EDFCDG（AAS），EF=CG，CG=BCBG=53=2，EF=2，SADE=ADEF=32=3故選C點(diǎn)評(píng)：本題需要把旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的面積公式結(jié)合求解考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力注意旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)角相等二、填空題6已知=考點(diǎn)：完全平方公式。1681276專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)，兩邊平方可取消根號(hào)，得，解此一元二次方程，可得a=分別將a=與代入式子，與比較，舍去，所以a=轉(zhuǎn)化代入求值即可解答：解：a27a+1=0，解得a=，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=，=0與矛盾，故舍去所以，當(dāng)a=，則=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查完全平方式

11、解決本題的關(guān)鍵是利用完全平方式求出a的值，并驗(yàn)證，得到a的最終結(jié)果7已知關(guān)于x的一元二次方程x24x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且該方程與x2+mx1=0有一個(gè)相同的根當(dāng)k為符合條件的最大整數(shù)時(shí)，m的值為 0或考點(diǎn)：根的判別式。1681276專題：計(jì)算題；方程思想。分析：先根據(jù)一元二次方程x24x+k=0的根的判別式確定k的值，然后求的該方程的兩個(gè)根，然后將兩個(gè)根分別代入方程x2+mx1=0，并解得m的值解答：解：關(guān)于x的一元二次方程x24x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，=164k0，解得k4，k的最大整數(shù)值是3，即k=3；x24x+3=0，即（x1）（x3）=0，解得，x=1或x=3；當(dāng)與

12、x2+mx1=0相同的根是x=1時(shí)，1+m1=0，解得m=0；當(dāng)與x2+mx1=0相同的根是x=3時(shí)，9+3m1=0，解得m=；綜合知，符合條件的m的值為0或故答案為：0或點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式解答此題時(shí)需要注意要分類討論：當(dāng)與x2+mx1=0相同的根是x=1時(shí)m的值；當(dāng)與x2+mx1=0相同的根是x=3時(shí)m的值8在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，黑板上畫著如圖所示的圖形，活動(dòng)前老師在準(zhǔn)備的四張紙片上分別寫有如下四個(gè)等式中的一個(gè)等式：AB=DC；ABE=DCE；AE=DE；A=D；小明同學(xué)閉上眼睛從四張紙片中隨機(jī)抽取一張，再?gòu)氖Ｏ碌募埰须S機(jī)抽取另一張，則以已經(jīng)抽取的兩張紙片上的等式為條件，使BEC不能構(gòu)

13、成等腰三角形的情況有2種考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定。1681276專題：應(yīng)用題。分析：將題中條件兩兩結(jié)合，進(jìn)而求解三角形全等即可，若不能得出全等，則條件不成立，最后總結(jié)即可得出結(jié)論解答：解：若使BEC為等腰三角形，即求解BE=CE即可若抽取的兩張為，則可得出ABEDCE，BE=EC；若是，AE=DE，AB=CD，并不能得出ABEDCE，這種情況不成立；若是，則可得出ABEDCE，BE=EC；若是，同樣可得ABEDCE，BE=EC；若是，三個(gè)角相等，但邊長(zhǎng)并不一定相等，則不成立，若是，同樣可得BE=EC，所以不符合條件的情況共有2種故答案為：2點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的

14、判定及性質(zhì)以及等腰三角形的判定問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握9如圖，“L”形紙片由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，過(guò)A點(diǎn)切一刀，刀痕是線段EF，若陰影部分的面積是紙片面積的一半，則EF的長(zhǎng)為2考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。1681276分析：設(shè)BE=xBF=y，由面積關(guān)系列方程，再由ACFB得CE：BE=AC：FB，即=，同理可得=，兩式變形，得出x+y=6，最后用勾股定理，解得EF為2解答：解：設(shè)BE=x，BF=y“L”形面積為6，S陰影=6BEBF=3，xy=6，再由ACFB得ACEFBE，CE：BE=AC：FB，即=，整理，得xyxy=0，即x+y=6，EF2=BE2+BF2=x2+y2=（

15、x+y）22xy=24，EF=2點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用10規(guī)定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）和（c，d）：當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d時(shí)，（a，b）=（c，d）定義運(yùn)算“”：（a，b）（c，d）=（acbd，ad+bc）若（1，2）（p，q）=（5，0），則p+q=1考點(diǎn)：解二元一次方程組；實(shí)數(shù)的運(yùn)算。1681276專題：新定義。分析：首先根據(jù)運(yùn)算“”：（a，b）（c，d）=（acbd，ad+bc），可知（1，2）（p，q）=（p2q，q+2p），再由規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d時(shí)，（a，b）=（c，d），得出p2q=5，q+2p=0，解關(guān)于p、q的二元一次方程組，

16、求出p、q的值，再代入p+q，即可得出結(jié)果解答：解：根據(jù)題意可知（1，2）（p，q）=（p2q，q+2p）=（5，0），p2q=5，q+2p=0，解得p=1，q=2，p+q=12=1故答案為1點(diǎn)評(píng)：本題立意新穎，借助新運(yùn)算，實(shí)際考查二元一次方程組的解法及實(shí)數(shù)的運(yùn)算解題關(guān)鍵是正確理解新定義，從而將已知條件轉(zhuǎn)化為二元一次方程組三、解答題11利用圖形面積可以解釋代數(shù)恒等式的正確性，也可以解釋不等式的正確性（1）根據(jù)下列所示圖形寫出一個(gè)代數(shù)恒等式；（2）已知正數(shù)a，b，c和m，n，l，滿足a+m=b+n=c+l=k試構(gòu)造邊長(zhǎng)為k的正方形，利用圖形面積來(lái)說(shuō)明al+bm+cnk2考點(diǎn)：完全平方公式的幾何背

17、景。1681276專題：開(kāi)放型。分析：（1）利用面積分割法，可求陰影部分面積，各部分用代數(shù)式表示即可；（2）利用面積分割法，可構(gòu)造正方形，使其邊長(zhǎng)等于a+m=b+n=c+l=k（注意abc，mnl），并且正方形里有邊長(zhǎng)是a、l；b、m；c、n的長(zhǎng)方形，通過(guò)畫成的圖可發(fā)現(xiàn)，al+bm+cnk2解答：解：（1）比如：（a+b）2（ab）2=4ab，或（a+b）2=（ab）2+4ab，或（a+b）24ab等（2分）（2）比如構(gòu)造如圖所示正方形：（若畫成a=b=c，m=n=l等特殊情況扣1分）（5分）因?yàn)閍+m=b+n=c+l=k，顯然有al+bm+cnk2（6分）點(diǎn)評(píng)：通過(guò)面積分割法可構(gòu)造圖形，利用

18、圖形的面積可得出恒等式12如圖，ABC是等邊三角形，BDC是頂角BDC=120的等腰三角形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且MDN=60試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。1681276專題：證明題；探究型。分析：先求證MBDECD可得MD=DE，MDB=EDC，進(jìn)而求證MNDEND，即可得MN=NE，即可證明CN=NE+CE=MN+BM，即可解題解答：解：CN=MN+BM證明：在CN上截取點(diǎn)E，使CE=BM，連接DE，ABC為等邊三角形，ACB=ABC=60，又BDC為等腰三角形，且BDC=120，BD=DC，DBC=

19、BCD=30，ABD=ABC+DBC=ACB+BCD=ECD=90，在MBD和ECD中，MBDECD（SAS），MD=DE，MDB=EDC，又MDN=60，BDC=120，EDN=BDC（BDN+EDC）=BDC（BDN+MDB）=BDCMDN=12060=60，MDN=EDN，在MND與END中，MNDEND（SAS），MN=NE，CN=NE+CE=MN+BM點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的證明，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了等邊三角形各邊長(zhǎng)、各內(nèi)角為60的性質(zhì)，本題中求證MN=NE是解題的關(guān)鍵13一隊(duì)旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的旅客人數(shù)相等起初每輛汽車乘了22人，結(jié)果剩下1人

20、未上車；如果有一輛汽車空著開(kāi)走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各車上已知每輛汽車最多只能容納32人，求起初有多少輛汽車？有多少名旅客？考點(diǎn)：二元一次方程的應(yīng)用。1681276專題：應(yīng)用題。分析：設(shè)起初有汽車m輛，開(kāi)走一輛空車后，平均每輛車所乘旅客為n人由于m2，n32，依題意有22m+1=n（m1）解答：解：設(shè)起初有汽車m輛，開(kāi)走一輛空車后，平均每輛車所乘旅客為n人由于m2，n32，依題意有22m+1=n（m1）所以n=22+因?yàn)閚為自然數(shù)，所以23/m1為整數(shù)，因此m1=1，或m1=23，即m=2或m=24當(dāng)m=2時(shí)，n=45（不合題意，舍去）；當(dāng)m=24時(shí)，n=23（符合題意）所以旅客人

21、數(shù)為：n（m1）=23（241）=529（人）答：起初有汽車24輛，有乘客529人點(diǎn)評(píng)：本題考查理解題意能力，并且注意解方程后所得結(jié)果必須代入原題檢驗(yàn)根的合理性，并根據(jù)情況做具體討論14如圖，PQ=10，以PQ為直徑的圓與一個(gè)以20為半徑的O內(nèi)切于點(diǎn)P，與正方形ABCD切于點(diǎn)Q，其中A、B兩點(diǎn)在O上若AB=，其中m、n是整數(shù)，求m+n的值考點(diǎn)：相切兩圓的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理。1681276專題：探究型。分析：連接OA，根據(jù)兩圓內(nèi)切可得出P、Q、O共線，設(shè)過(guò)P、Q、O的直線交AB于R，AB=x，根據(jù)圖示數(shù)量關(guān)系得到RO=RQOQ=x10，利用垂徑定理和勾股定理求出x的值，進(jìn)而求出m、n的值解

22、答：解：連接OA，兩圓內(nèi)切，P、Q、O共線，設(shè)過(guò)P、Q、O的直線交AB于R，AB=x，則OQ=OPPQ=10，RO=RQOQ=x10，（2分）CD與小圓切于點(diǎn)Q，QRCD，QRAB，根據(jù)垂徑定理知AR=AB=x，（4分）在RtOAR中，OA2=OR2+AR2，即，（6分）解得：x=8，（8分）而AB=m+，m、n為整數(shù)，m=8，n=304，m+n=312（10分）故答案為：312點(diǎn)評(píng)：此題不僅考查了相切兩圓的性質(zhì)，還涉及勾股定理和垂徑定理，從圖中得到RO=RQOQ是解題的關(guān)鍵，要善于觀察圖形的特點(diǎn)15在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖1）（1）求邊AB在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；（2）設(shè)MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（3）設(shè)MN=m，當(dāng)m為何值時(shí)OMN的面積最小，最小值是多少？并直接寫出此時(shí)BMN內(nèi)切圓的半徑考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；扇形面積的計(jì)算。1681276專題：綜合題。分析：（1