《數(shù)學(xué)建?！?5秋模擬試題

1、建模試題05秋模擬試題一、填空題（每題5分，共20分）1. 若銀行的年利率是%，則需要時間 ，存入的錢才可翻番.2. 有人觀察到魚尾每擺動一次，魚所移動的距離幾乎與魚身的長度相等，則魚尾擺動的次數(shù)（次/秒）、魚身的長度和它的速度的關(guān)系式為 .3. 已知行星的質(zhì)量與它的密度和它的半徑的立方成正比.若某行星的直徑是地球直徑的倍，且它的平均密度是地球的倍，則此行星質(zhì)量是地球的 倍. 4. 一個圖能夠一筆畫的充分必要條件是 . 二、分析判斷題（每題10分，共20分）1. 地方公安部門想知道，當(dāng)緊急事故發(fā)生時，人群從一個建筑物中撤離所需要的時間，假設(shè)有足夠的安全通道.若指揮者想盡可能多且快地將人群撤離，

2、應(yīng)制定甚麼樣的疏散計劃.請就這個計劃指出至少三個相關(guān)因素，并使用數(shù)學(xué)符號表示.2. 假設(shè)某個數(shù)學(xué)模型建成為如下形式： 試在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下將這個模型進行簡化. 三、計算題（每題20分，共40分）1. 某鋁合金加工單位要加工一批成套窗料，每套窗料含有和長度的料各兩根，總計要加工套，所用原料的長度均為試建立整數(shù)規(guī)劃模型以給出一個截料方案，使得所用原料最少？2. 求如圖一所示網(wǎng)絡(luò)中到的最短路線及其路長. 圖一 四、綜合應(yīng)用題（本題20分） 一個星級旅館有150個客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐，旅館經(jīng)理得到一些數(shù)據(jù)：若每間客房定價為160元，住房率為55%；每間客房定價為140元，住房率為65%；每間客房定

3、價為120元，住房率為75%；每間客房定價為100元，住房率為85%.欲使每天收入最高，每間客房定價應(yīng)為多少？注：本題要求按照五步建模法給出建模全過程.數(shù)學(xué)建模05秋模擬試題參考解答 一、填空題（每題5分，共20分） 1. ； 2. （k是常數(shù)）； 3. ； 4. 該圖為連通圖且奇點個數(shù)為0或2. 二、分析判斷題（每題10分，共20分） 1. 解：撤離時人員的分布狀態(tài)、人員總數(shù)、撤離速度、人們之間相對擁擠程度、人員所在地與安全地點的距離、人員撤離完畢所需要的總時間等. 注：列出的因素不足三個，每缺一個扣3.5分。 2. 解：當(dāng)較小的時候，可以利用二項展開式將小括號部分簡化為 從而有.若也很小，

4、則可以利用將其進一步化簡為三、計算題（每題20分，共40分） 1. 解：先列出所有可能的截料方案：方案尺寸1232.2米0121.5米310料頭長0.10.90.2由此假設(shè)，按照方案1、2、3分別需原料根，以表示總料頭長，則有由兩個約束條件得一起代入目標(biāo)函數(shù)得 可見應(yīng)令但非整數(shù)，于是可將原問題添加條件構(gòu)成兩個新的整數(shù)規(guī)劃問題： 其中問題（2）無解，而（1）可同上求解得 代入目標(biāo)函數(shù)可知依此再進行分支和求解，最后獲得解為即按照方案1、2、3各自截12、4、18根原料即為最優(yōu)方案. 2. 解：利用雙標(biāo)號法可得圖二： 圖二 故得到的最短路線（兩條）及其路長分別為第一條：第二條： 四、綜合應(yīng)用題（本題

5、20分） 解：（一）問題分析易于看出，定價每降低20元，住房率便增加10%，呈線性增長趨勢；160元的定價是否為最高價應(yīng)給予確定；是否所有客房定價相同需要確定. 模型假設(shè)在無其他信息時，每間客房的最高定價均為160元；所有客房定價相同. （三）模型建立根據(jù)假設(shè)1.，如果設(shè)代表旅館一天的總收入，而 表示與160元相比降低的房價，則可得每降低1錢元的房價，住房率增加為10%/20=0.005.由此便可以得到 （1）注意到又得到于是得到所求的數(shù)學(xué)模型為： ， （四）模型求解這是一個二次函數(shù)的極值問題，利用導(dǎo)數(shù)方法易于得到為唯一駐點，問題又確實存在最大值，故（元）即為價格降低幅度，也即160-25=135（元）應(yīng)為最大收入所對應(yīng)的房價. （五）模型分析1. 將房價定在135元時，相應(yīng)的住房率為最大收入為（元）.表面上住房率沒有達到最高，但是總收入達到最大，這自然是住房率與價格相互制約造成.2. 可以將五種定價的總收入求出以做比較（從略）和檢驗，知我們的結(jié)果是正確的.3. 為了便于管理，將價格定在140