第5章衍生金融工具的風險分析(2)歐式期權(quán)ppt課件

1、金融工程與風險管理第5章 衍生金融工具的風險分析2：歐式期權(quán).5.1B-S模型的實際根底 弱式有效市場與馬爾可夫過程 1965年，法瑪Fama提出了著名的效率市場假說EMH，該假說以為:前提：投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬。推論：證券價錢對新的市場信息的反響是迅速而準確的，證券價錢能完全反響全部信息。只需新信息才干引起價錢的變動，而新信息是不可預測的，故價錢的變化不可預測。價錢變化報答不可預測，等價于報答是相互獨立的。.EMH根據(jù)市場對信息集包含的信息進展分類：弱式、半強式和強式弱式有效市場：市場價錢曾經(jīng)包含了歷史上一切的買賣信息價錢和買賣數(shù)量等。EMH與可用馬爾可夫過程Marko

2、v Stochastic Process假設(shè)證券價錢遵照馬爾可夫過程，該過程具有“無后效性，其未來價錢的概率分布與歷史無關(guān)。衍生資產(chǎn)的定價問題的關(guān)鍵：標的資產(chǎn)的動搖的假設(shè)。B-S模型假設(shè)：資產(chǎn)價錢的動搖服從幾何布朗運動，它是一種特殊的馬爾可夫過程。.5.2 維納過程根據(jù)有效市場實際，股價、利率和匯率具有隨機游走性不可預測性，這種特性可以采用Wiener process，它是Markov stochastic process的一種。對于隨機變量w是Wiener process，必需具有兩個條件：在某一小段時間t內(nèi)，它的變動w與時段t滿足.5.12. 在兩個不重疊的時段t和s, wt和ws是獨立的

3、，這個條件也是Markov過程的條件，即增量獨立！5.2有效市場.滿足上述兩個條件的隨機過程，稱為維納過程，其性質(zhì)有當時段的長度放大到T時從如今的0時辰到未來的T時辰隨機變量wT的滿足.證明：.假設(shè)t0，由5.1和5.2得到5.35.4所以， 的分布性質(zhì)為以上得到的隨機過程，稱為維納過程。.程序：維納過程的模擬% 假設(shè)初始點為0，由規(guī)范正態(tài)分布產(chǎn)生隨機數(shù)300個，這樣將1個單位時間等分為300個等分rnd=random(norm,0, 1,300,1);%建立初始的零向量，用來放置計算的結(jié)果w=zeros(1,300);for i=1:299 w(i+1)=w(i)+rnd(i+1)*(1/3

4、00)0.5;endx=1:1:300;wplot(x,w).B-S模型證明思緒ITO引理ITO過程B-S微分方程B-S買權(quán)定價公式.5.3 伊藤引理普通維納過程(Generalized Wiener process)可表示為5.5顯然，普通維納過程的性質(zhì)為.普通維納過程仍缺乏以代表隨機變量復雜的變動特征。漂移率和方差率為常數(shù)不恰當假設(shè)把變量xt的漂移率a和方差率b當作變量x和時間t的函數(shù)，擴展后得到的即為ITO過程.B-S 期權(quán)定價模型是根據(jù)ITO過程的特例幾何布朗運動來代表股價的動搖，無妨令省略下標t，變換后得到幾何布朗運動方程5.6目的：證券的預期報答與其初始價錢無關(guān)。.思索：普通維納過

5、程的缺陷假設(shè)將價錢變化表示為.伊藤引理：假設(shè)某隨機變量x的變動過程可由ITO過程表示為省略下標t令f(x,t)為隨機變量x以及時間t的函數(shù)，即f(x,t)可以代表以標的資產(chǎn)x的衍生證券的價錢那么f(x,t)的變動過程可以表示為5.7.證明：將5.7離散化由5.1知利用泰勒展開，忽略高階項，f(x,t)可以展開為5.8.因此，5.8可以改寫為5.9保管1階項，忽略1階以上的高階項.即x2不呈現(xiàn)隨機動搖！5.10.由5.10可得5.11由5.11得到5.12. 由于x2不呈現(xiàn)隨機動搖，所以，其期望值就收斂為真實值，即當t0時，由5.9可得.命題：設(shè)當前時辰為t，假設(shè)股票價錢服從幾何布朗運動那么T時

6、辰股票價錢滿足對數(shù)正態(tài)分布5.4 幾何布朗運動與對數(shù)正態(tài)分布.令那么這樣由ITO引理得到即.由5.1.那么稱ST服從對數(shù)正態(tài)分布，ST的期望值為所以.5.5 B-S模型的推導Black、Scholes和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權(quán)定價公式，Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟學獎模型根本假設(shè)8個無風險利率知，且為一個常數(shù)，不隨時間變化。標的股票不支付紅利期權(quán)為歐式期權(quán).無買賣費用：股票市場、期權(quán)市場、資金借貸市場投資者可以自在借貸資金，且二者利率相等，均為無風險利率股票買賣無限細分，投資者可以購買恣意數(shù)量的標的股票對賣空沒有任何限制標的資產(chǎn)為股票，其價錢S的變化為幾何布朗

7、運動.5.5.1 B-S微分方程假設(shè)標的資產(chǎn)價錢變動過程滿足這里S為標的資產(chǎn)當前的價錢，令f(s,t)代表衍生證券的價錢，那么f(s,t)的價錢變動過程可由ITO引理近似為.假設(shè)某投資者以1個單位的衍生證券空頭和份的標的資產(chǎn)多頭來構(gòu)造一個組合，且滿足那么該組合的收益為.例： 無套利定價與期權(quán)的風險對沖假設(shè)一種不支付紅利的股票，目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價錢要么是11元，要么是9元。假設(shè)如今的無風險年利率等于10%，問題：求一份3個月期執(zhí)行價錢為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。 .為了找出該期權(quán)的價值， 可構(gòu)建一個由1單位看漲期權(quán)空頭和m單位的標的股票多頭組成的組合。假

8、設(shè)股票價錢11，那么該期權(quán)執(zhí)行，那么組合收益為11m0.5假設(shè)股票價錢9，那么該期權(quán)不執(zhí)行，那么組合收益為9m為了使該組合在期權(quán)到期時無風險，m必需滿足下式： 11m0.59m，即m=0.25組合價值為2.25元.由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場價錢為10元，因此，從無套利出發(fā)，期權(quán)費f期權(quán)的價值必需滿足根據(jù)無套利定價原理，無風險組合只能獲得無風險利率，所以組合的現(xiàn)值為.下面將證明該組合為無風險組合，在t時間區(qū)間內(nèi)收益為.留意到此時不含有隨機項w，這意味著該組合是無風險的，設(shè)無風險收益率為r，且由于t較小不采用延續(xù)復利，那么整理得到.B-S 微分方程的意義

9、衍生證券的價錢f，只與當前的市價S，時間t，證券價錢動搖率和無風險利率r有關(guān)，它們?nèi)际强陀^變量。因此，無論投資者的風險偏好如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。因此，B-S微分方程構(gòu)造了一個風險中性世界。在對衍生證券定價時，可以采用風險中性定價，即一切證券的預期收益率都等于無風險利率r。只需標的資產(chǎn)服從幾何布朗運動，都可以采用B-S微分方程求出價錢f。.釋義：風險中性定價假設(shè)一種不支付紅利的股票，目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價錢要么是11元，要么是9元。假設(shè)如今的無風險年利率等于10%，問題：求一份3個月期執(zhí)行價錢為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。 .了解：在我們這個世界上，

10、一共有3種人，風險躲避者、偏好者和風險中性者，但是證券的價錢只需一個。所以，證券的定價對風險中性者也是適用的，風險中性者也必需以同樣的價錢來購買證券。由于風險中性的投資者不需求額外的風險補償，在由風險中性者構(gòu)成的子世界，一切證券的預期收益率都等于無風險收益率。風險中性者與風險躲避者最大的區(qū)別是：二者對證券價錢變化的概率不同。啟發(fā)：改動各個形狀出現(xiàn)的概率，使風險資產(chǎn)的報答率等于無風險收益率超額收益率為0。.風險中性者與躲避者例如某個證券，風險躲避者是這樣定價的而在風險中性者是這樣定價的留意：證券的上漲概率添加，但同時貼現(xiàn)率也添加，所以定價不變。所以風險中性世界的定價仍可以用于現(xiàn)實的世界！.風險中

11、性定價原理風險中性定價原理：在這個改動了概率的世界里，一切證券的預期收益率都等于無風險利率r，一切現(xiàn)金流量都可以經(jīng)過無風險利率進展貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。風險中性假定僅僅是為了定價方便而作出的人為假定風險中性概率僅僅是為方便定價給出的參數(shù)，它與我們概率論中所講的概率具有本質(zhì)的不同聯(lián)絡(luò)：數(shù)學中的坐標變換、微觀經(jīng)濟學中的成效？.假定存在風險中性世界，股票上升的概率為p，下跌的概率為1-p。雖然有實踐的概率，但可以不論，由于風險中性，那么該股票無超額收益，其報答率只需無風險利率同樣，在風險中性的世界里，可以賦予期權(quán)價值的概率，該期權(quán)同樣只能獲得無風險收益率，那么期權(quán)的現(xiàn)值為風險中性世界，一切證券都只能獲得無風

12、險收益率！.5.5.2 B-S買權(quán)定價公式 對于歐式不支付紅利的股票期權(quán)，其看漲期權(quán)買權(quán)的在定價日t的定價公式為.1設(shè)當前時辰為t，到期時辰T，假設(shè)股票價錢服從幾何布朗運動，假設(shè)曾經(jīng)當前時辰t的股票價錢為st=S,那么T時辰的股票價錢的期望值為B-S買權(quán)定價公式推導5.13.5.14由5.13和5.14得到5.15根據(jù)B-S微分方程可知，定價是在風險中性條件下，那么資產(chǎn)的期望報答為無風險報答，那么這闡明：在風險中性的世界中，任何可買賣的金融資產(chǎn)的報答率均為無風險利率。.2在風險中性的條件下，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為無風險利率r，故買權(quán)期望值的現(xiàn)值為第1項第2項.推導第1項.令 由此得到.被積函數(shù)為：

13、.y的積分下限為y的積分上限為.這樣就完成了第1項的證明。.推導第2項首先進展變量代換，令.那么z的積分下限z的積分上限.將z和dz代入.由兩個部分的推導得到.pr0dN(d)例如:當d1.96時,N(d)95.5%.5.5.3 B-S模型的含義由Z的積分下限可知，N(d2)是在風險中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率。X e-r(T-t)N(d2)是X的風險中性期望值的現(xiàn)值。 StN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風險中性期望值的現(xiàn)值。.S=100，X=95，r=0.10,T=0.25 (quarter)，=0.50，那么d1=ln(100/95)

14、 + (0.10+(05 2/2) / (050.251/2)= 0.43 N(d1)=N (0.43)=0.6664d2=0.43+(050.251/2)=0.18， N(d2)=N(0.18)=0.5714Call Option Example期權(quán)的價值關(guān)于標的資產(chǎn)的價錢及其方差，以及到期時間等5個變量的非線性函數(shù)Ct=f(St,X,r)的函數(shù)。.5.6 歐式看跌期權(quán)的定價利用金融工程技術(shù)來對待期權(quán)平價關(guān)系思索恣意t時辰，如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金組合B：一份有效期和執(zhí)行價錢與上述看漲期權(quán)一樣的歐式看跌期權(quán)，加上一單位標的資產(chǎn).組合A到期時辰T的收益組合B到期時辰T的收益兩個組合在T時辰具有一樣的價錢，且由于歐式期權(quán)不能提早執(zhí)行，那么在t時辰兩個組合價值也必然相等無套利原理即此為看漲看跌期權(quán)平價公式。.從幾何圖性上看，二者對影