第七章復(fù)習(xí)與提高

1、 PAGE6 / NUMPAGES6第七章 復(fù)習(xí)與提高A組1一位同學(xué)根據(jù)向心力公式Fm EQ F(v2,r) 說，如果人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量不變，當(dāng)軌道半徑增大到2倍時(shí)，人造地球衛(wèi)星需要的向心力減小為原來的 EQ F(1,2) ；另一位同學(xué)根據(jù)衛(wèi)星的向心力是地球?qū)λ囊?，由公式FG EQ F(m1m2,r2) 推斷，當(dāng)軌道半徑增大到2倍時(shí)，人造地球衛(wèi)星需要的向心力減小為原來的 EQ F(1,4) 。哪位同學(xué)的看法對(duì)？說錯(cuò)了的同學(xué)錯(cuò)在哪里？請(qǐng)說明理由。2發(fā)射人造地球衛(wèi)星時(shí)將衛(wèi)星以一定的速度送入預(yù)定軌道。發(fā)射場(chǎng)一般選擇在盡可能靠近赤道的地方。這樣選址有什么優(yōu)點(diǎn)？3你所受太陽(yáng)的引力是多大？和你所受地球

2、的引力比較一下，可得出怎樣的結(jié)論？已知太陽(yáng)的質(zhì)量是1.991030 kg，地球到太陽(yáng)的距離為1.51011 m，設(shè)你的質(zhì)量是60 kg。4地球質(zhì)量大約是月球質(zhì)量的81倍，一個(gè)飛行器在地球與月球之間。當(dāng)?shù)厍驅(qū)λ囊驮虑驅(qū)λ囊Υ笮∠嗟葧r(shí)，該飛行器距地心的距離與距月心的距離之比為多少？5海王星的質(zhì)量是地球的17倍，它的半徑是地球的4倍。繞海王星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的宇宙飛船，其運(yùn)行速度有多大？6在月球上的宇航員，如果他已知引力常量和月球半徑，且手頭有一個(gè)已知質(zhì)量為m的砝碼。（1）他怎樣才能測(cè)出月球的質(zhì)量，寫出月球質(zhì)量的表達(dá)式。（2）他需要選用哪些實(shí)驗(yàn)器材。7某中子星的質(zhì)量大約與太陽(yáng)的質(zhì)量相等，為2

3、1030 kg，但是它的半徑只有10 km。（1）求此中子星表面的自由落體加速度。（2）貼近中子星表面，求沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的小衛(wèi)星的速度。B組1如果你站在月球上，能否用一把刻度尺和一塊秒表估測(cè)月球的質(zhì)量？如果能，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，并說出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)和月球質(zhì)量的計(jì)算式。已知月球的半徑為R。2行星的平均密度是，靠近行星表面運(yùn)行的衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)周期是T，證明：2是一個(gè)常量，即對(duì)任何行星都相同。3有一質(zhì)量為m、半徑為R、密度均勻的球體，在距離球心O為2R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)?，F(xiàn)從m中挖去半徑為 EQ F(1,2) R的球體，如圖7-1所示，則剩余部分對(duì)m的萬有引力F為多少？圖7-1RROROm4利用三顆位置適當(dāng)

4、的地球同步衛(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無線電通信，目前地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為地球半徑的6.6倍。假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實(shí)現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為多少小時(shí)？5海邊會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象，潮來時(shí)，水面升高；潮退時(shí)，水面降低。有人認(rèn)為這是由于太陽(yáng)對(duì)海水的引力變化以及月球?qū)Ｋ囊ψ兓斐傻?。中午，太?yáng)對(duì)海水的引力方向指向海平面上方；半夜，太陽(yáng)對(duì)海水的引力方向指向海平面下方；拂曉和黃昏，太陽(yáng)對(duì)海水的引力方向跟海平面平行。月球?qū)Ｋ囊Ψ较虻淖兓灿蓄愃魄闆r。太陽(yáng)、月球?qū)δ骋粎^(qū)域海水引力的周期性變化，就引起了潮汐現(xiàn)象。已知太陽(yáng)質(zhì)量為2.01030 kg，太陽(yáng)

5、與地球的距離為1.5108 km，月球質(zhì)量為7.31022 kg，月球與地球的距離為3.8105 km，地球質(zhì)量為6.01024 kg，地球半徑取6.4103 km。請(qǐng)你估算一下：對(duì)同一片海水來說，太陽(yáng)對(duì)海水的引力、月球?qū)Ｋ囊?，分別是海水重力的幾分之一？6太陽(yáng)系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)?shù)厍蚯『眠\(yùn)行到某地外行星和太陽(yáng)之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，天文學(xué)稱為“行星沖日”。已知地球及各地外行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑如下表所示。地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑 R/AU1.01.55.29.51930根據(jù)題中信息，試計(jì)算木星相鄰兩次沖日的時(shí)間間隔，哪顆地外行星

6、相鄰兩次沖日的時(shí)間間隔最短？復(fù)習(xí)與提高參考答案與提示A組配置了7道習(xí)題。第1題辨析衛(wèi)星的向心力公式，練習(xí)理想模型的構(gòu)建。第2題通過對(duì)衛(wèi)星發(fā)射場(chǎng)選址的分析，一方面明確了人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行速度是相對(duì)于地心而不是地表，另一方面也為下一章從節(jié)能的角度滲透科學(xué)態(tài)度和責(zé)任方面的要求。第3題比較太陽(yáng)和地球?qū)θ说娜f有引力大小，通過計(jì)算結(jié)果分析太陽(yáng)引力和地球引力對(duì)人的影響。第4題地球和月球之間有一個(gè)平衡點(diǎn)，通過求平衡點(diǎn)的位置，可以適當(dāng)拓展介紹拉格朗日點(diǎn)。第5題求海王星的第一宇宙速度。第6題要求學(xué)生完成在月球上測(cè)月球質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，具有一定的開放性。第7題求中子星表面的自由落體加速度和中子星的第一宇宙速度，研究對(duì)

7、象有衛(wèi)星、行星、恒星、中子星（恒星的不同演化階段），從這些數(shù)據(jù)中認(rèn)識(shí)到恒星質(zhì)量和密度大到一定程度時(shí)發(fā)生的現(xiàn)象，進(jìn)而預(yù)測(cè)和解釋黑洞等問題。B組配置了6道習(xí)題。第1題要求學(xué)生完成在月球上測(cè)月球質(zhì)量的另一種方法。第2題要求學(xué)生證明T2是一個(gè)常量。第3題用割補(bǔ)法計(jì)算萬有引力，是典型模型的轉(zhuǎn)化。第4題求三顆同步衛(wèi)星對(duì)應(yīng)地球的最小自轉(zhuǎn)周期，將衛(wèi)星的周期與地球的自轉(zhuǎn)聯(lián)系起來，找到“最小”這個(gè)臨界條件，并將它轉(zhuǎn)化力衛(wèi)星軌道的表達(dá)。第5題是潮汐現(xiàn)象的一種解釋，理論聯(lián)系實(shí)際。第6題涉及行星沖日現(xiàn)象，從定性到定量逐漸認(rèn)識(shí)行星運(yùn)行速率與軌道半徑的關(guān)系，解釋和預(yù)測(cè)行星沖日現(xiàn)象，達(dá)到學(xué)以致用的目的。A組1第二個(gè)同學(xué)說的對(duì)

8、，第一個(gè)同學(xué)說錯(cuò)了。根據(jù)萬有引力提供向心力可知G EQ F(m地m,r2) m EQ F(v2,r) ，v EQ R(F(Gm地,r) ，即當(dāng)半徑增大到2倍時(shí)，v變?yōu)樵瓉淼?EQ F(1,R(2) 。2在發(fā)射衛(wèi)星時(shí)，相對(duì)于地心的速度越大，越容易發(fā)射出去，相對(duì)于地心的發(fā)射速度等于相對(duì)于地面的發(fā)射速度加上地球自轉(zhuǎn)的線速度。地球上不同地方角速度大小相等，赤道處半徑最大，由vR可得出赤道處自轉(zhuǎn)的線速度最大。故發(fā)射場(chǎng)一般選擇在盡可能靠近赤道的地方。提示：進(jìn)一步明確衛(wèi)星的速度是相對(duì)于地心的速度，而不是相對(duì)于地表的速度，為了節(jié)省能量，可以利用地球的自轉(zhuǎn)，合理選址。引導(dǎo)學(xué)生讀新聞報(bào)道時(shí)關(guān)注衛(wèi)星發(fā)射地所在的緯度

9、。3地球半徑6.4106 m與地球到太陽(yáng)的距離1.51011 m相比，相差近10萬倍，因此人距太陽(yáng)的距離可以認(rèn)為也是1.51011 m，故人受太陽(yáng)的引力FG EQ F(m太m,r2) 6.6710-11 EQ F(1.99103060,(1.51011)2) N0.35 N。人受地球的引力Fmg609.8 N588 N?？梢钥吹?，人受太陽(yáng)的引力遠(yuǎn)小于人受地球的引力。因?yàn)橐Σ粌H僅與物體質(zhì)量有關(guān)，還與物體之間的距離有關(guān)，所以盡管太陽(yáng)質(zhì)量很大，但是距離很遠(yuǎn)，所以對(duì)處于地球上的人的引力很小。491提示：設(shè)月球的質(zhì)量為m0，則地球的質(zhì)量是81m0，假設(shè)飛行器距離地心距離為R，距離月心距離為r，飛行器的

10、質(zhì)量是m，月球的質(zhì)量是m0，那么飛行器和地球間的引力為F1G EQ F(81m0m,R2) ，飛行器和月球間的引力為F2G EQ F(m0m,r2) ，由于F1F2，故Rr91。516.3 km/s提示：宇宙飛船的運(yùn)行半徑等于海王星的半徑R，其線速度v為近地衛(wèi)星的線速度，根據(jù)萬有引力提供向心力可知G EQ F(m海m,R2) m EQ F(v2,R) ，得出v EQ R(F(Gm海,R) 。同理地球的第一宇宙速度v1 EQ R(F(Gm地,R地) ，由此聯(lián)立解得 EQ F(v,v1) EQ R(F(m海R地,m地R海) EQ F(R(17),2) 。即v EQ F(R(17),2) v1 EQ

11、 F(R(17),2) 7.9 km/s16.3 km/s。6方案一：用測(cè)力計(jì)測(cè)出鉤碼重力W鉤，則月球表面重力加速度g EQ F(W鉤,m) ，由萬有引力定律可得g EQ F(Gm月,R2) ，聯(lián)立解得月球的質(zhì)量m月 EQ F(W鉤R2,Gm) 。在此方案中，需要使用的測(cè)量工具是測(cè)力計(jì)。方案二：將鉤碼從空中適當(dāng)高處由靜止釋放，測(cè)出其下落高度h和下落時(shí)間t，則h EQ F(1,2) gt2，由萬有引力定律可得g EQ F(Gm月,R2) ，聯(lián)立解得月球質(zhì)量m月 EQ F(2R2h,Gt2) 。在此方案中，需要使用的測(cè)量工具是刻度尺和停表。提示：測(cè)天體的質(zhì)量，所求天體一定要位于中心天體的位置。已知

12、萬有引力常量G，環(huán)繞天體的軌道半徑、線速度、角速度、周期四個(gè)量中知道任意兩個(gè)就可以求出中心天體的質(zhì)量。本題已知天體半徑R，兩種方案都是圍繞測(cè)出天體表面的重力加速度來進(jìn)行設(shè)計(jì)，即相當(dāng)于已知軌道半徑和加速度，求中心天體的質(zhì)量。7（1）1.31012 m/s2；（2）1.1108 m/s提示：（1）設(shè)中子星表面的自由落體加速度為g，由G EQ F(m中m,R2) mg解得g EQ F(Gm中,R2) 1.31012 m/s2。（2）貼近中子星表面，沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的小衛(wèi)星的速度為v，由萬有引力提供向心力可知G EQ F(m中m,R2) m EQ F(v2,r) ，又因G EQ F(m中m,R2) mg，

13、聯(lián)立解得v EQ R(gR) EQ R(1.31012104) m/s1.1108 m/s。計(jì)算了金星、地球、海王星等行星表面的重力加速度和第一宇宙速度，再計(jì)算中子星表面的重力加速度和第一宇宙速度，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到由于天體密度的不同會(huì)導(dǎo)致一些神奇的現(xiàn)象，如黑洞、光線彎曲，等等。B組1用刻度尺測(cè)出某點(diǎn)距月球表面的高度為h，用停表測(cè)出小球從這點(diǎn)下落高度h時(shí)所用的時(shí)間t，則h EQ F(1,2) gt2，由萬有引力定律可得g EQ F(Gm月,R2) 。聯(lián)立得出月球質(zhì)量m月 EQ F(2R2h,Gt2) 。2將行星看作球體，設(shè)半徑為R，質(zhì)量為m星，則行星的密度為 EQ F(m星,V) EQ F(m星,

14、F(4R3,3) 。衛(wèi)星貼近行星表面運(yùn)行時(shí)，運(yùn)動(dòng)半徑為R，由萬有引力提供向心力可知G EQ F(m星m,R2) m( EQ F(2,T) )2R，即m星 EQ F(42R3,GT2) 。由此可以解得T2 EQ F(3,G) ，式中G為萬有引力恒量，可見T2是一個(gè)對(duì)任何行星都相同的常數(shù)。提示：貼著行星表面飛行，只要有一個(gè)計(jì)時(shí)工具就可以知道行星的密度。3 EQ F(7Gmm,36R2) 提示：根據(jù)萬有引力定律，質(zhì)量為m的球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力F1G EQ F(mm,(2R)2) 。挖去的球體的質(zhì)量m0 EQ F(F(4,3)(F(R,2)3,F(4,3)R3) m EQ F(m,8) ，那么質(zhì)量為

15、m0的球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力F2G EQ F(m0m,(R+F(R,2)2) G EQ F(m0m,18R2) 。剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力FF1F2G EQ F(m0m,4R2) G EQ F(m0m,18R2) EQ F(7Gmm,36R2) 。質(zhì)量分布均勻的球體之間的萬有引力可以等效為質(zhì)量集中在兩球心的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的萬有引力，直接代公式可求。本題采用先填補(bǔ)成完整的球體，再減去補(bǔ)上的小球部分產(chǎn)生的引力。44 h提示：地球自轉(zhuǎn)周期變小，衛(wèi)星要與地球保持同步，則衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期也應(yīng)隨之變小，由G EQ F(m地m,r2) m EQ F(42,T2) r，可得T EQ R(F(42r3,Gm地)

16、，故衛(wèi)星離地球的高度變小。衛(wèi)星的周期由軌道半徑?jīng)Q定。要想僅用三顆同步衛(wèi)星來實(shí)現(xiàn)地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無線電通信的目的，最小的軌道半徑對(duì)應(yīng)的幾何關(guān)系為衛(wèi)星連線正好和地球相切。由此關(guān)系可推出最小半徑，得到最小周期。要實(shí)現(xiàn)三顆衛(wèi)星覆蓋全球的目的，當(dāng)衛(wèi)星的幾何關(guān)系如圖7-4所示時(shí)，衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期最小，地球的自轉(zhuǎn)周期也最小。由幾何關(guān)系可知，衛(wèi)星的軌道半徑r EQ F(R,sin30) 2R，由開普勒第三定律可知 EQ F(r13,T12) EQ F(r23,T22) ，代入題中數(shù)據(jù)得 EQ F(6.6R)3,242) EQ F(r3,T22) ，由此解得T24 h。5對(duì)同一片海水來說，太陽(yáng)對(duì)海水的引

17、力、月球?qū)Ｋ囊?，分別是海水重力的6.110-4倍、3.410-6倍。提示：設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為m太，太陽(yáng)與地球的距離為R1。月球質(zhì)量為m月，月球與地球的距離為R2。地球的質(zhì)量為m地，地球半徑為R，一片海水的質(zhì)量為m。根據(jù)萬有引力定律，太陽(yáng)對(duì)海水的引力為F1G EQ F(m太m,R12) ，月球?qū)Ｋ囊镕2G EQ F(m月m,R22) ；地球?qū)Ｋ囊镕G EQ F(m地m,R2) 。因此， EQ F(F1,F) EQ F(m太,m地) ( EQ F(R,R1) )2 EQ F(2.01030,6.01024) ( EQ F(6.4106,1.51011) )26.110-4， EQ F(F2,F) EQ F(m月,m地) ( EQ F(R,R2) )2 EQ F(7.31022,6.01024) ( EQ F(6.4106,3.8108) )23.410-6。本題簡(jiǎn)要介紹了對(duì)潮汐現(xiàn)象的一種解釋，估算了太陽(yáng)和月球?qū)ν黄Ｋ囊εc重力的比較，讓學(xué)生初步嘗試用萬有引力定律解釋潮汐現(xiàn)象。61.1年，海王星相鄰兩次沖日的時(shí)間間隔最短。提示：行星相鄰兩次沖日的時(shí)間間隔就是地球比該行星多運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間，設(shè)相鄰兩次沖日的時(shí)間間隔為t，有 EQ F(t,T地) EQ F(t,T行) 1，即t EQ F(1, F(t,T地)F(t,T行) EQ F(T地,