專題一 圓的基本性質(zhì)

1、專題一 圓的基本性質(zhì)考點梳理考點一、圓的相關(guān)概念 （3分） 1、圓的定義在一個個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。2、圓的幾何表示以點O為圓心的圓記作“O”，讀作“圓O”考點二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義 （3分） （1）弦連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的AB）（2）直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）直徑等于半徑的2倍。（3）半圓圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（4）弧、優(yōu)弧、劣弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧?；∮梅枴啊北硎?，以A，B為端點的弧記作“”，

2、讀作“圓弧AB”或“弧AB”。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧（多用三個字母表示）；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€字母表示）考點三、垂徑定理及其推論 （3分）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為： 過圓心 垂直于弦直徑 平分弦 知二推三 平分弦所對的優(yōu)弧 平分弦所對的劣弧考點四、圓的對稱性 （3分）1、圓的軸對稱性圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓

3、心的每一條直線都是它的對稱軸。 2、圓的中心對稱性 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。考點五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理 （3分） 1、圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距從圓心到弦的距離叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等?？键c六、圓周角定理及其推論 （38分） 1、圓周角頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對

4、的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。題型舉例1. （2011四川樂山）如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點A的坐標(biāo)為（2，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（ ）A. （1，2）B. （1，1）C. （1，1）D. （2，1）ACB2. （2011黑龍江哈爾濱）如圖，AB是O的弦，半徑OA=2，則弦AB的長是_.3. （2011陜西西安）如圖，點A、B、P在O上，

5、且APB=50若點M是O上的動點，要使ABM為等腰三角形，則所有符合條件的點M有_個4. （2011湖北襄樊）已知O的半徑為13cm，弦AB/CD，AB=24cm，CD=10cm，則AB、CD之間的距離為_cm.5. （2011 四川綿陽）如圖，等腰梯形ABCD內(nèi)接于半圓D，且AB = 1，BC = 2，則OA =（ ）A B C DCBAOD6（2011湖北荊門）如圖，MN是半徑為1的O的直徑，點A在O上，AMN=30，B為AN弧的中點，點P是直徑MN上一個動點，則PA+PB的最小值為_.7（2010湖北荊門）在O中直徑為4，弦AB=2，點C是圓上不同于A、B的點，那么ACB的度數(shù)為_ 8（

6、2011浙江金華）如圖，AB是O的直徑，C是的中點，CEAB于 E，BD交CE于點FACBDEFO12（1）求證：CFBF；（2）若CD 6， AC 8，則O的半徑為_，CE的長是 9（2010福建福州）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點E，點P在O上，1C（1）求證：CBPD；（2）若BC3，sinPeq f(3,5)，求O的直徑【答案】解：（1）證明： ， CP第19題圖 又 1C， 1P CBPD （2）連接AC AB為0D的直徑， ACB=90 又 CDAB， AP， sinAsinP在RtABC中， sinAeq f(BC,AB)， sinPeq f(3,5)， eq f(BC,A

7、B)eq f(3,5)又 BC3， AB5即O的直徑為510（2010 四川成都）已知：如圖，內(nèi)接于O，為直徑，弦于，是AD的中點，連結(jié)并延長交的延長線于點，連結(jié)，分別交、于點、 （1）求證：是的外心； （2）若,求的長； （3）求證：【答案】（1）證明：C是AD的中點，AC=CD，CAD=ABCAB是O的直徑，ACB=90。CAD+AQC=90又CEAB，ABC+PCQ=90AQC=PCQ在PCQ中，PC=PQ，CE直徑AB，AC=AEAE=CDCAD=ACE。在APC中，有PA=PC，PA=PC=PQP是ACQ的外心。（2）解：CE直徑AB于F，在RtBCF中，由tanABC=，CF=8，

8、得。由勾股定理，得AB是O的直徑，在RtACB中，由tanABC=，得。易知RtACBRtQCA，。（3）證明：AB是O的直徑，ACB=90DAB+ABD=90又CFAB，ABG+G=90DAB=G；RtAFPRtGFB，即易知RtACFRtCBF，由（1），知PC=PQ，F(xiàn)P+PQ=FP+PC=FC。11. （2011浙江金華，21，8分）如圖，射線PG平分EPF，O為射線PG上一點，以O(shè)為圓心，10為半徑作O，分別與EPF兩邊相交于A、B和C、D，連結(jié)OA，此時有OAPE.（1）求證：APAO；（2）若弦AB12，求tanOPB的值；（3）若以圖中已標(biāo)明的點（即P、A、B、C、D、O）構(gòu)造

9、四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點為 ，能構(gòu)成等腰梯形的四個點為 或 或 .證明：（1）PG平分EPF，DPO=BPO ， OA/PE，DPO=POA ， BPO=POA，PA=OA； 2分解：（2）過點O作OHAB于點H，則AH=HB=AB，1分 tanOPB=，PH=2OH， 1分設(shè)OH=，則PH=2，由（1）可知PA=OA= 10 ，AH=PHPA=210， ， 1分解得（不合題意，舍去），AH=6， AB=2AH=12； 1分（3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B.2分(寫對1個、2個、3個得1分，寫對4個得2分)HPABCODEFG三、強(qiáng)化練習(xí)1（201

10、1上海，6，4分）矩形ABCD中，AB8，點P在邊AB上，且BP3AP，如果圓P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（ ）(A) 點B、C均在圓P外； (B) 點B在圓P外、點C在圓P內(nèi)；(C) 點B在圓P內(nèi)、點C在圓P外； (D) 點B、C均在圓P內(nèi)【答案】C2. （2011山東煙臺，16,4分）如圖，ABC的外心坐標(biāo)是_.OxyBCA【答案】（2，1）3. （2011浙江溫州，14，5分）如圖，AB是O的直徑，點C，D都在O上，連結(jié)CA，CB，DC，DB已知D=30，BC3，則AB的長是 【答案】64. （2011湖北黃石，14，3分），ABC內(nèi)接于圓O，若B300.AC，

11、則O的直徑為 ?！敬鸢浮?5. （2011浙江紹興，6，4分）一條排水管的截面如圖所示.已知排水管的截面圓半徑，截面圓圓心到水面的距離是6，則水面寬是（ ） A.16 B.10 C.8 D.6(第6題圖) 6. （2011湖南永州，8，3分）如圖，在O中，直徑CD垂直弦AB于點E，連接OB,CB，已知O的半徑為2，AB=,則BCD=_度（第8題）7. （2011浙江省舟山，15，4分）如圖，AB是半圓直徑，半徑OCAB于點O，AD平分CAB交弧BC于點D，連結(jié)CD、OD，給出以下四個結(jié)論：ACOD；ODEADO；其中正確結(jié)論的序號是 （第16題）8. （2011浙江金華，21，8分）如圖，射線

12、PG平分EPF，O為射線PG上一點，以O(shè)為圓心，10為半徑作O，分別與EPF兩邊相交于A、B和C、D，連結(jié)OA，此時有OAPE.（1）求證：APAO；（2）若弦AB12，求tanOPB的值；（3）若以圖中已標(biāo)明的點（即P、A、B、C、D、O）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點為 ，能構(gòu)成等腰梯形的四個點為 或 或 .證明：（1）PG平分EPF， DPO=BPO ， OA/PE， DPO=POA ， BPO=POA，PA=OA； 2分解：（2）過點O作OHAB于點H，則AH=HB=AB，1分 tanOPB=，PH=2OH， 1分設(shè)OH=，則PH=2，由（1）可知PA=OA= 10 ，AH=PHPA

13、=210， ， 1分解得（不合題意，舍去），AH=6， AB=2AH=12； 1分（3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B.2分HPABCODEFG9.（2012河北省5,2分）5、如圖2，CD是O的直徑，AB是弦（不是直徑），ABCD于點E，則下列結(jié)論正確的是 （ ）AEBE AD=BC D=AEC ADECBE【解析】根據(jù)垂徑定理可知，A、B是錯誤的，進(jìn)而判斷C也是錯誤的。故選D?！敬鸢浮緿【點評】解選擇題不一定非得用正規(guī)方法，利用排除法解決比較簡單，這也是學(xué)生的能力，在教學(xué)中，多注意培養(yǎng)。本題考查的知識點是和圓有關(guān)的知識，和相似三角形的有關(guān)知識，屬于中等

14、題型。10.（2012河南，8，3分）如圖，已知為的直徑，切于點A, 則下列結(jié)論不一定正確的是 A B C D 8.解析：根據(jù)切線的性質(zhì)，BADA，故A對；根據(jù)所給的一對等弧，EAC=CAB，又ACO=CAB；EAC=ACO；OCAE，故B對；由同弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半，可知C對；OD不一定垂直AC.解答：D點評：本題以圓為背景考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及平行線垂線的一些知識，熟練掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11.（2012湖北黃岡，6，3）如圖，AB 為O 的直徑，弦CDAB 于E，已知CD=12， EB=2，則O的直徑為（ ）A. 8 B. 10 C.16 D.20【解析

15、】連接OC，由垂徑定理得CE=CD=12=6，設(shè)O的半徑為r，在RtOCE中，OE=OB-EB=r-2， r2=62+（r-2）2，解得：r=10，O的直徑=2r=20.應(yīng)選D.【答案】D【點評】這是一道綜合運用垂徑定理和勾股定理的常規(guī)題，但需要利用方程思想來解決問題.難度中等.12.(2012山東日照，17，4分)如圖，過A、C 、D三點的圓的圓心為E，過B、F、E三點的圓的圓心為D，如果A=63，那么B= 來源解析：連接EC,ED,則在E中，ACE=A=63，所以AEC=180-632=54,又ECD=EDC=2B,所以AEC=ECD+B=3B=54，B=18解答：填18點評：本題主要考查

16、圓的半徑處處相等的知識和三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，找到相關(guān)的等腰三角形.13.（2012，黔東南州，4）如圖，若ABO的直徑，CD是O的弦，ABD=55，則BCD的度數(shù)為（ ）A、35 B、45 C、55 D、75 解析：如右圖所示，連接AD，則是直角三角形， ,則, 根據(jù)同弧所對的圓周角相等， .答案：A點評：本題考查了圓周角的性質(zhì)，在做題過程中要注意作輔助線，難度較小.14.（2012深圳市 9 ，3分）如圖2，C過原點，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點A，點B，點A的坐標(biāo)為（0，3），M是第三象限內(nèi)上一點，則C的半徑為（ ）A. 6 B. 5 C 3 D. 圖2【解

17、析】：考查圓的基本定義和性質(zhì)，圓心角與圓周角的關(guān)系，直徑和圓周角的關(guān)系，直解三角形的邊角關(guān)系等?！窘獯稹浚阂字狝B為圓的直徑，連接OC，易求，可知，易求，則半徑為3。故選擇C【點評】：掌握圓心角與圓周角的關(guān)系，求出是解題的關(guān)鍵。易錯點是誤選了A15.（2012山東省青島市，11，3）如圖，點A、B、C在O上，AOC=60，則ABC的度數(shù)是 .【解析】作弧ABC所對的圓周角D， QUOTE 根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得，D=30，而ABC與D是圓內(nèi)接四邊形對角，所以ABC=180-D=150.【答案】150 .【點評】本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，要求對定理和性質(zhì)熟練掌握并

18、靈活運用16.（2012江蘇省淮安市，4，3分）如圖，AB是O的直徑，點C在O上，若A=40 ，則B的度數(shù)為（ ） A80 B60 C50 D40 【解析】根據(jù)直徑所對的圓周角為90，可得C的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算AB為O的直徑，C=90，A=40，B=180-90-40=50【答案】C 【點評】此題主要考查了圓周角定理和三角形內(nèi)角和定理，題目比較簡單17.（2012四川達(dá)州，3，3分）如圖，O是ABC的外接圓，連結(jié)OB、OC，若OB=BC，則BAC等于A、60 B、45 C、30 D、20解析：由OB=BC=OC，則OBC是等邊三角形，因此O=60，故BAC=30。答案：C點評

19、：本題將等邊三角形的判定及性質(zhì)融合于中，考查了圓心角與圓周角之間的關(guān)系，題目涉及了5個知識點，是個好題。18.（2012浙江省嘉興市，15，5分）如圖,在O中,直徑AB弦CD于點M,AM=18,BM=8,則CD的長為_. 【解析】如圖（第15題-1）, 連接AC、BC. AB是O的直徑，ACB90.直徑AB弦CD于點M,CMDM,AMCCMB90.AMCCMB, ,即.AM=18,BM=8,CM12, CD24. 應(yīng)填24.【答案】24【點評】本題是證明題，屬中檔題.主要考查圓的基本性質(zhì)，垂徑定理及相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用. 連接AC、BC，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.19.（2012貴州

20、遵義，14,4分）如圖，AB是O的弦，AB長為8，P是O上一個動點（不與A、B重合），過點O作OCAP于點C，ODPB于點D，則CD的長為解析：根據(jù)垂徑定理得出AC=PC，PD=BD，根據(jù)三角形的中位線推出CD=AB，代入求出即可解：OCAP，ODPB，由垂徑定理得：AC=PC，PD=BD，CD是APB的中位線，CD=AB=8=4，故答案為：4答案：4點評：本題考查了三角形的中位線和垂徑定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較典型，難度適中20. （2011上海，21，10分）如圖，點C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上，且OA3，AC2，CD平行于AB，并與弧AB相交于點M、

21、N（1）求線段OD的長；（2）若，求弦MN的長【答案】（1）CDAB， OAB=C，OBA=DOA=OB，OAB=OBAC=DOC=ODOA=3，AC=2，OC=5OD=5（2）過點O作OECD，E為垂足，連接OM在RtOCE中，OC=5，設(shè)OE=x，則CE=2x由勾股定理得，解得x1=，x2=（舍去）OE=在RtOME中，OM=OA=3，ME=2。MN=2ME=410.（2011浙江金華，24，12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上的一動點，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點D，使DBAB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連結(jié)CF.（1）當(dāng)AOB30時，求弧AB的長；（2）當(dāng)DE8時，求線段EF的長；（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與AOB相似，若存在，請求出此時點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（1）連結(jié)BC,A（10，0）, O