2013年數(shù)學(xué)全真模擬試卷1（教師版）

1、PAGE PAGE 9啟東市2013年數(shù)學(xué)全真模擬試卷一一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.1 已知集合，則 易得，則；2 若（其中表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)），則復(fù)數(shù)z的模為 3 ；3 已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值是 2 易得，則，即；4 根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局發(fā)布的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(yàn)(GB195222004)中規(guī)定車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量：“飲酒駕車”的臨界值為20mg/100ml；血液酒精含量（單位：mg/100ml）02020404060608080100人數(shù)18011522“醉酒駕車”的臨界值為80mg/100

2、ml某地區(qū)交通執(zhí)法部門(mén)統(tǒng)計(jì)了5月份的執(zhí)法記錄數(shù)據(jù)：根據(jù)此數(shù)據(jù)，可估計(jì)該地區(qū)5月份“飲酒駕車” 發(fā)生的頻率等于 0.09 “飲酒駕車” 發(fā)生的頻率等于；5 要得到函數(shù)的函數(shù)圖象，可將函數(shù)的圖象向右至少平移 個(gè)單位 將向右至少平移個(gè)單位得；開(kāi)始結(jié)束（第7題）6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，“直線，與曲線相切”的充要條件是“ ” 易得，且，即；7 如圖，表示第i個(gè)學(xué)生的學(xué)號(hào)，表示第i個(gè)學(xué)生的成績(jī)，已知學(xué)號(hào)在110的學(xué)生的成績(jī)依次為401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，則打印出的第5組數(shù)據(jù)是 打印出的第5組數(shù)據(jù)是學(xué)號(hào)為8號(hào)，且成績(jī)?yōu)?61，故結(jié)果是；8 在ABC

3、中，若，則 設(shè)，則，且，利用可求得，所以；9 已知是上的奇函數(shù)，且時(shí)，則不等 式的解集為 易得，故所求解集為；10設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，則其體積的最大值為 法1 設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，則體積，記， ，利用導(dǎo)數(shù)可求得當(dāng)時(shí)，此時(shí)；法2 設(shè)正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角為，則， ，記，利用導(dǎo)數(shù)可求得當(dāng)時(shí)，此時(shí)；（第11題圖）已知平面向量，滿足，的夾角等于，且，則的取值范圍是 如圖，設(shè)ABC中，由余弦定理得，由知，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，且，故；在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)、分別作x軸的垂線與拋物線分別交于點(diǎn)，直線與 x軸交于點(diǎn)，這樣就稱確定了同樣，可由確定，若，則 設(shè)、，則割線的方程為：， 令得，

4、即，不難得到； 13定義：x，y為實(shí)數(shù)x，y中較小的數(shù)已知，其中a，b 均為正實(shí)數(shù)，則h的最大值是 易得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；14在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，其中為直角頂點(diǎn)若該三角形的面積的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為 3 設(shè)AB的方程為：，則AC的方程為：，由得 ，解得用“”替換“”得 故 所以， 令，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），由得解得或（舍去），所以二、解答題：15已知函數(shù) （1）求的最小正周期和值域；（2）若為的一個(gè)零點(diǎn)，求的值 命題立意：本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、兩角和與差的正、余弦公式，考查運(yùn)算求解能力（1）易得 ， 所以周期，值域?yàn)?；?

5、）由得， 又由得 所以故， 此時(shí)， （第16題）DABC 16（本題滿分14分） 如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，將正三角形BCD沿BD向上折起，折起后的點(diǎn)C記為，且（）（1）若，求二面角CBD的大小；（2）當(dāng)變化時(shí)，線段上是否總存在一點(diǎn)E，使得A/平面BED？請(qǐng)說(shuō)明理由 命題立意：本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象、推理論證能力（第16題圖）DABCOE解：（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)， 菱形ABCD中， 因三角形BCD沿BD折起，所以， 故為二面角CBD的平面角， 易得，而， 所以，二面角CBD的大小為； （2）當(dāng)變化時(shí)，線段的中點(diǎn)E總滿足A/平面BED，下證之： 因

6、為E，O分別為線段，AC的中點(diǎn)， 所以， 又平面BED，平面BED， 所以A/平面BED. 17在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)（1）求直線AB與CD的方程；（2）判斷A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？若共圓，請(qǐng)求出圓的方程；若不共圓，請(qǐng)說(shuō)明理由命題立意：本題主要考查求雙曲線、直線、圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解與探究能力解：（1）設(shè)A，則， 代入雙曲線得 解得或 即的坐標(biāo)為、， 所以：，：； （2）A、B、C、D四點(diǎn)共圓，下證之： 證明：由與聯(lián)立方程組可得的坐標(biāo)為、 ，由三點(diǎn)A、B、C可先確定一個(gè)圓， 經(jīng)檢驗(yàn)適合式，所以A、B

7、、C、D四點(diǎn)共圓 （注：本題亦可以利用圓的幾何性質(zhì)判斷四點(diǎn)共圓）18某省高考數(shù)學(xué)閱卷點(diǎn)共有400名閱卷老師，為了高效地完成文、理科數(shù)學(xué)卷的閱卷任務(wù)，需將400名閱卷老師分成兩組同時(shí)展開(kāi)閱卷工作，一組完成269捆文科卷，另一組完成475捆理科卷根據(jù)歷年閱卷經(jīng)驗(yàn)，文科每捆卷需要一位閱卷老師工作3天完成，理科每捆卷需要一位閱卷老師工作4天完成（假定每位閱卷老師工作一天的閱卷量相同，每捆卷的份數(shù)也相同）（1）如何安排文、理科閱卷老師的人數(shù)，使得全省數(shù)學(xué)閱卷時(shí)間最??？（2）由于今年理科閱卷任務(wù)較重，理科實(shí)際每捆卷需要一位閱卷老師工作4.5天完成，在按（1）分配的人數(shù)閱卷4天后，閱卷領(lǐng)導(dǎo)小組決定從文科組抽

8、調(diào)20名閱卷老師去閱理科卷，試問(wèn)完成全省數(shù)學(xué)閱卷任務(wù)至少需要多少天？（天數(shù)精確到小數(shù)點(diǎn)后第3位） （參考數(shù)據(jù)：，） 命題立意：本題主要考查數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，考查運(yùn)算求解能力 解：（1）設(shè)文科閱卷人數(shù)為，且， 則閱卷時(shí)間為（5分） 而故， 答：當(dāng)文、理科閱卷人數(shù)分別是119,281時(shí)，全省閱卷時(shí)間最?。唬?分） （2）文科閱卷時(shí)間為：，（11分） 理科閱卷時(shí)間為：，（14分） 答：全省閱卷時(shí)間最短為天（15分）19 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，且的兩根為若的極大值與極小值 之和為0， （1）求函數(shù)的解析式； （2）若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上存在最大值與最小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍（3）設(shè)函數(shù)，正實(shí)

9、數(shù)a，b，c滿足，證明：19命題立意：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形 結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行運(yùn)算求解、推理論證的綜合能力（第19題圖） 解：（1）設(shè)， 則可設(shè)，其中為常數(shù). 因?yàn)榈臉O大值與極小值之和為0， 所以，即， 由得， 所以；（5分） （2）由（1）得，且0+0極小值極大值 列表： 由題意得，三次函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上存在的最大值與最小值必為極值（如圖），（7分） 又，故， 所以，且， 解得；（10分） （3）題設(shè)等價(jià)與，且a，b，c0，所以a，b，c均小于 假設(shè)在a，b，c中有兩個(gè)不等，不妨設(shè)ab，則ab或ab 若ab，則由得即， 又由得ca于是ab

10、ca，出現(xiàn)矛盾 同理，若ab，也必出現(xiàn)出矛盾故假設(shè)不成立，所以（16分）20設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中為常數(shù). （1）求的值；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）證明：“數(shù)列，成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“， 且”命題立意：本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用基本量進(jìn)行探索求解、推理分析能力解：（1）n 1時(shí)，由得p 0或2，（2分） 若p 0時(shí)，當(dāng)時(shí)，解得或， 而，所以p 0不符合題意，故p 2；（5分） （2）當(dāng)p 2時(shí)， ，則， 并化簡(jiǎn)得 ，則 ， 得（），又易得， 所以數(shù)列an是等比數(shù)列，且；（10

11、分） （3）充分性：若x 1，y 2，由知，依次為， 滿足，即an，2xan1，2yan2成等差數(shù)列；（12分） 必要性：假設(shè)，成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)，又， 所以， 化簡(jiǎn)得 顯然，設(shè)， 因?yàn)閤、y均為整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，或，故當(dāng)，且當(dāng)，且時(shí)上式成立，即證 （16分） 21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若 多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟B（矩陣與變換）已知矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量為，求實(shí)數(shù)、的值 命題立意：本題主要考查二階矩陣的特征值與特征向量，考查運(yùn)算求解能力解：由二階矩陣的特征值與特征向量的概念知

12、=，（5分） 所以解得.（10分）C（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)在曲線（為參數(shù)，為正常數(shù)），求的值 C命題立意：本題主要考查參數(shù)方程，考查運(yùn)算求解能力解：由（為參數(shù)，為正常數(shù)），消去參數(shù)得，（8分） 將點(diǎn)代入得.（10分）【必做題】第22、23題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文 字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22已知函數(shù)，求的最大值. 命題立意：本題主要考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)等知識(shí)，考查運(yùn)算求解、推理論證能力證明：由得，（2分）令，則，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，在上為減函數(shù)，所以在x=0處取得極大值，且，（6分）故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以函數(shù)為上