2009年全國入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三真題及答案

1、2009 年入學(xué)數(shù)學(xué)三試題速查：一、選擇題二、填空題三、解答題11e（15）極小值 f (0, ) eC)（16）（17） 83（18）略1（19） 2 y 3x 0y 1 2 1 0 1 k 1 0 1 0 （20）（） k，其中 k 為任意常數(shù)； ，其中 k 為21 2 132 2 1 0 0 任意常數(shù)（）略（21）（） 1 a, 2 a 2, 3 a 1 ；（） a 2第 1 頁共 16 頁（9）（10）（11）（12）（13）（14）3 e22 ln 2 11e80002np2（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）CAADBADB 1 y x其它( y | x) xe 2；（

2、II） P X 1| Y 1 （22）（） f0y|xe 1（23）（） P( X 1 Z 0) 4 ；9量 X ,Y 概率分布為（）二維隨一、選擇題：18 小題，每小題 4 分，共 32 分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).x x3sin xf x （1）函數(shù)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）（A）1.（B）2.（C）3.（D）無窮多個(gè).【】（C）【考點(diǎn)】可去間斷點(diǎn)【難易度】【詳解】x x3sin xf x f x 均無意義.,則當(dāng) x 取任何整數(shù)時(shí),：由于f x 的間斷點(diǎn)有無窮多個(gè),但可去間斷點(diǎn)為極限存在的點(diǎn),故應(yīng)是 x x3 0 的解故x1,2,

3、3 0, 1 .212) ， lim，lim2x1 sin xx1 cos x22，limx1 sin xx1 cos xx x3sin xf x 有三個(gè)可去間斷點(diǎn)，應(yīng)選 C.故函數(shù)f x x sin ax 與 g x x2 ln 1 bx 等價(jià)無窮小，則（2）當(dāng) x 0 時(shí)，）第 2 頁共 16 頁XY01201/41/61/3611/31/9021/900（A） a 1,b 1 .6（C） a 1,b 16（B） a 1,b 1 .6（D） a 1,b 16】（A）【考點(diǎn)】等價(jià)無窮小、【難易度】【詳解】法則： x 0 時(shí)， f (x) x sin ax, g(x) x 2 ln(1 bx)

4、 為等價(jià)無窮小x sin axx sin ax 1 （ x 0 時(shí)， ln(1 bx) bx ）lim 1 即limx0 x2 ln(1 bx)x2 (bx)x0lim 1 a cos ax 1 lim(1 acos ax) 0 a 13bx2x0 x0于是lim 1 a cos a 1 b 110 6bx6b6所以本題選 A.sin ttxdt ln x 成立的x（3）使不等式的范圍是（）1（C） (, )（D） ( , )（A） (0,1)（B） (1,) 22【】（A）【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判別，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)【難易度】【詳解】sin tx：令 F (x) dt ln x ，可知F

5、 (x) 在(0, ) 可導(dǎo)，t1in xF (當(dāng) x 2k (k 0,1, 2,) 時(shí)， F (x) 0 ；2當(dāng) x 0 且 x 2k 時(shí)， F (x) 0 .2故 F (x) 在(0, ) 嚴(yán)格單調(diào)減少.當(dāng) x (0,1) 時(shí)， F (x) F (1) 0 ；當(dāng) x (1, ) 時(shí)， F (x) F (1) 0 .故應(yīng)選 A.f x 在區(qū)間1, 3 上的圖形為：（4）設(shè)函數(shù) y f (x)x則函數(shù) F x 0t dt 的圖形為（f）O第 3 頁共 16 頁0 x-2123-1F(x)F(x)1100 xx-2123-2123-1-1（A）（B）F(x)F(x)1100 xx-1123-21

6、23-1（C）【（D）】（D）【考點(diǎn)】積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)【難易度】【詳解】：本題主要考查積分上限的函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系、以及圖像間的關(guān)系.0由于 F (0) f (t)dt 0 ，故排除 C；02x當(dāng) x 2 時(shí)， F (x) f (t)dt 0dt F (2) ，即 F (x) 在 x 2 處連續(xù)，故排除 B；02x當(dāng) x 1, 0) 時(shí)， f (t) 應(yīng)選 D. 1 ， F (x) f (t)dt 0 ，故排除 A.0（5）設(shè) A, B 均為 2 階矩陣， A* , B* 分別為 A, B 的伴隨矩陣，若 2 ， 3 ，則分AB OA 塊矩陣 BO 的伴隨矩陣為（）3B* O

7、2B* O（A） .（B） .*2 AO3AOO3A* .2A* .O3B（C）（D）*2BOO第 4 頁共 16 頁】（B）【考點(diǎn)】分塊矩陣的計(jì)算，伴隨矩陣【難易度】【詳解】 6 0 矩陣 OA 可逆OA： (1)22AB BOBOB* 1OA 1OA* OB1 2B* OA OO 6 6 .1 BOBO BO1* AO 3AOA*O故選（B）.10010（6）設(shè) A ， P 均為 3 階矩陣， PT 為 P 的轉(zhuǎn)置矩陣，且 PT AP 00 ，若02P (1,2 ,3 ) ， Q (1 2 ,2 ,3 ) ，則Q AQ 為（T） 21100 11200 （A） 10 （B） 10 02 0

8、2 20 10 010020（C） 00 （D） 00 02 02 【】（A）【考點(diǎn)】矩陣的線性運(yùn)算、初等矩陣【難易度】【詳解】1010010100： Q ( , , ) ( , , ) 10 ，即Q P 10 ，01010112231230T01110100101于是QT AQ P 10A P 110 010 (PT AP) 100 101000100010010 1011110021100 00 00 10 10100 2 010201 0故應(yīng)選 A.第 5頁共 16 頁AB（7）設(shè)事件 A 與事件 B 互不相容，則（）（A） P( AB) 0（B） P( AB) P( A)P(B)（C）

9、 P( A) 1 P(B)（D） P( A B) 1】（D）【考點(diǎn)】事件的關(guān)系與運(yùn)算【難易度】【詳解】：因?yàn)?A, B 互不相容，所以 P( AB) 0 .（A） P( AB) P( A B) 1 P( A B) ，因?yàn)?P( A B) 不一定等于 1，故（A）不正確；（B）當(dāng) P( A), P(B) 不為 0 時(shí)，（B）不成立；（C）只有當(dāng) A, B 互為對立事件的時(shí)候才成立；（D） P( A B) P( AB) 1 P( AB) 1 ，故應(yīng)選（D）.量 X 與Y 相互獨(dú)立，且 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N 0,1 ， Y 的概率分布為（8）設(shè)隨1PY 0 P Y斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為（A）0. z 為隨

10、z 的間 1 ，記 F量 Z XY 的分布函數(shù)，則函數(shù) FZZ2）（B）1.（C）2.（D）3.】（B）【考點(diǎn)】兩個(gè)及兩個(gè)以上隨【難易度】【詳解】量簡單函數(shù)的分布： FZ (z) P(Z z) P( XY z) P XY z,Y 0 P XY P( XY z Y 0)P(Y 0) P( XY z Y 1)P(Y 1) 1 z,Y相互獨(dú)立，且 PY 0 P Y 1 1 ， X、Y2 z 0 時(shí)，F(xiàn) (z) 1 P( X 0 z) 1 P( X z Y 1) 1 P() 1 P( X z) 1 (z)Z22222z 0 時(shí)，F(xiàn) (z) 1 P( X 0 z) 1 P( X z Y 1) 1 P()

11、 1 P( X z) 1 1 (z)Z222222因此函數(shù) FZ z 僅在 z 0 處間斷，故選 B.二、填空題：9-14 小題，每小題 4 分，共 24 分，請將寫在答題紙指定位置上.第 6 頁共 16 頁e ecos x .（9） lim3 1 x2 1x03【】 e2【考點(diǎn)】等價(jià)無窮小【難易度】【詳解】111：當(dāng) x 0 時(shí)，1 ecos x1 (cos x 1) x2 ， (1 x2 )3 1 x2 .23e 1 x2e e lim e(1 ecos x 1cos x) lim3 e2I lim.22z（10）設(shè) z (x e ) ，則 x【】 2 ln 2 1y x (1,0)【考點(diǎn)

12、】多元復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法【難易度】【詳解】：由題設(shè)知 z(x, 0) (x 1) x . e代入 x 1 ，得 1)x 1) x 1z eln 2 (ln 2 1) 2 ln 2 1 .2x (1,0)en (1)n（11）冪級數(shù)n1nx 的收斂半徑為n21e【】【考點(diǎn)】冪級數(shù)收斂半徑的求法【難易度】【詳解】en (1)n：記 an (n 1, 2, 3,) .n2第 7 頁共 16 頁1 ( 1)n1n1n1) 2 e (1)an1 lim ( nne lim elim( e) 21n 1en (1)nn 1annn1 ( )nne11所以收斂半徑 R e .（12）設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)

13、為( p) ，其對價(jià)格 p 的彈性 p 0.2 ，則當(dāng)需求量為 10000件時(shí)，價(jià)格增加 1 元會使產(chǎn)品收益增加元【】8000【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義【難易度】【詳解】p dQ( p) 是減函數(shù)，因而需求價(jià)格彈性為負(fù)值.由題設(shè) p 0.2Q：由于需求函數(shù)dpp dQ表明 p Q.將收益函數(shù) R 對 p 求導(dǎo)，得dpdR dp) Q(1 )pR Q(1 p )p .把p 1（元/件）， Q 10000 （件）， p 0.2 代入即得當(dāng)由此需求量為 10000 件時(shí)每件產(chǎn)品價(jià)格增加 1 元會使產(chǎn)品收益增加R 10000 (1 0.2)1 8000 （元）. 30 0（13）設(shè) (1,1,1)T ，

14、(1, 0, k)T ，若矩陣 T 相似于 000 ，則 k 00 0【】2【考點(diǎn)】相似矩陣的性質(zhì)【難易度】【詳解】11000k： T 1 (10k) 1k 11k3 0 知它們有相同的跡，即1 0 k 3 0 0 ， k 2 .由 T0第 8 頁共 16 頁2m 是來自二項(xiàng)分布總體 B(n, p) 的簡單隨機(jī)樣本， X 和 S 分別為樣本(14)設(shè)均值和樣本方差，記統(tǒng)計(jì)量T X S 2 ，則 ET 【】 np2【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布、簡單隨機(jī)樣本、樣本均值、樣本方差【難易度】【詳解】：設(shè)總體為 X ，則 EX np ， DX np(1 p) .根據(jù)簡單隨機(jī)樣本的性質(zhì)，m 相互獨(dú)立且與總體 X 同分

15、布，即 EX i np ， DX i np(1 p) ，2EX 2 DX (EX )2 2 2 .iii 21mm1mm1i1i1EX np又 E X E () ， DX DX ，mXiim 22E X DX (E X ) ，22m1m 1mi12ES E(X X ) m X )22E (Xi12m 1im 1iEX 2 m E X 2 m ( 2 2 ) m ( 22)m 1 im 1m 1m 1m 1 mi1 2 np(1 p) ，故 ET E X ES 2 np np (1 p ) np 2 .三、解答題：1523 小題，共 94 分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、

16、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分 9 分）求二元函數(shù) f (x, y) x2 2 y 2 y ln y 的極值.【考點(diǎn)】多元函數(shù)的極值【難易度】【詳解】：先求駐點(diǎn).fx 2x(2 y 2 ) 0,1得 f (x, y) 的唯一駐點(diǎn)(0, )e解方程組 f 2x2 y ln y 1 0, y第 9 頁共 16 頁2 f1由于 A 2(2 y )2 2(2 ) ，x2e211( 0, )e(0, )e2 f2 f1B 4xy 0 ， C (2x ) e ，21xyy2(0, )ey111(0, )e(0, )e(0, )e B2 AC 2e(2 1 ) 0 且 A 0e2111故 f (x,

17、 y) 在(0, ) 取極小值，極小值為 f (0, ) .e（16）（本題滿分 10 分）ee1 x計(jì)算不定積分 ln(1 【考點(diǎn)】不定積分的換【難易度】【詳解】)dx (x 0)x、不定積分的分部積分法1 x2tdt1：令t 得 x , dx xt 2 1(t 2 1)22t1原式 ln(1 t)dt ln(1 t)d (t 2 1)(t 2 1)2(t 2 1)2 ln(1 t)d ( 1 ln(1 t) )11t 2 1t 2 1 t 2 1 t 1dt ln(1 t) 1(t 1) (t 1) dt2 t 2 1(t 1)(t 1)2 ln(1 t) 11dt 11t 2 12 (t

18、 1)22 (t 1)(t 1)dt ln(1 t) 11dt 1()dt11t 2 12 (t 1)24 t 1t 1 ln(1 t) 1 11 ln t 1 Ct 2 12 t 14t 11 x 1C1xx) C ， C 為任意常數(shù).第 10 頁共 16 頁（17）（本題滿分 10 分）計(jì)算二重積分 x y dxdy ，其中 D x, y x 12 y 12 2, y x D【考點(diǎn)】利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分【難易度】【詳解】：作極坐標(biāo)變換 x r cos ， y r sin ，則 D 的極坐標(biāo)表示是0 r 2(cos sin ) ， 3 4432(cos sin )0于是 I (x y)d

19、dr(cos sin )rdr4D43313832(cos sin )0(cos sin ) d(cos sin )(cos sin ) 3dr3444433838 18 183(cos sin )3d(cos sin ) (cos sin )4 (4) 3 44443 44（18）（本題滿分 11 分）日中值定理：若函數(shù) f x 在a, b 上連續(xù)，在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，則存（）證明 a, b ，使得 f b f a f b a .f x 在 x 0 處連續(xù)，在0, 0 內(nèi)可導(dǎo)，且 lim f x A ，（）證明：若函數(shù)x0f 0 存在，且 f 0 A .則【考點(diǎn)】定理、日中值定理【難易度

20、】【詳解】f (b) f (a) (x a) ，：（）取 F (x) f (x) b a由題意 F (x) 在a, b 上連續(xù)，在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，且f (b) f (a) (a a) F (a) f (a) f (a) ，b af (b) f (a) (b a) F (b) f (b) f (a) .b a f (a) 0 ，即根據(jù)定理，存在 (a, b) ，使得af b f a f b a 第 11 頁共 16 頁f (x) f (0).lim（）按右導(dǎo)數(shù)定義，只需xx0f (x) f (0) x (0, ) ，在0, x 上由日中值定理得， (0, x) ，f ( )x當(dāng) x 0 時(shí)

21、 0 ，于是() lim f (x) A .0（19）（本題滿分 10 分）設(shè)曲線 y f (x) ，其中 f (x) 是可導(dǎo)函數(shù)，且 f (x) 0 .已知曲線 y f (x) 與直線y 0, x 1及 x t(t 1) 所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的形面積值的 t 倍，求該曲線的方程?！究键c(diǎn)】定積分的幾何應(yīng)用平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、微分方程的簡單應(yīng)用【難易度】【詳解】體積值是繞曲邊梯t：曲邊梯形的面積 S f (x)dx1t旋轉(zhuǎn)體的體積 V f 2 (x)dx1ttttf (x)dx tf (x)dx f (x)dx tf (x)dx22由題意1111t2f (x)dx t

22、f (t) 兩邊對t 求導(dǎo)得f (t) （*）12 f (t) f (t) 2 f (t) tf (t) 將上式兩邊對t 求導(dǎo)得dt1(2 f (t) t) f (t) 2 f (t) t 1化簡df (t)2 f (t) dx1把t 換為 x ，把 f (t) 換為 y ，即x 1dy2 yC2解得 x y3y令t 1，代入（*）式計(jì)算，得f (1) 1 （ f (x) 0 ）C213即 x 1, y 1 .代入 x y ，可求得C 3y121所以曲線方程為 x y ，即 2 y 3x 0 .33 yy第 12 頁共 16 頁（20）（本題滿分 11 分）111 1設(shè) A 111 ， .11

23、2 2 04（）求滿足 A 的 . A2 的所有向量 , .2123123（）對（）中的任意向量2 , 3 證明1 , 2 , 3 線性無關(guān).【考點(diǎn)】非線性方程組的通解，向量組線性無關(guān)的充分必要條件【難易度】【詳解】：（）對于方程組 Ax 1 ，由增廣矩陣作初等行變換，有1 141111 201 101 1( A ) 111 01 ， 02200 1得 Ax 0 的基礎(chǔ)解系為(1, 1, 2)T 和 Ax 的特解為(0, 0,1)T1故2 (0, 0,1) k(1, 1, 2) 或 (k, k, 2k 1) ，其中 k 為任意常數(shù).TTT2 222 40由于 A2 20 ，對 A x ，由增廣

24、矩陣作初等行變換，有2 4 200001111 / 222 4100000( A2 ) 2 0 ，100 4120.又 A x 有特解( 1 , 0, 0)T ，故得 A x 0 的基礎(chǔ)解系為(2TT21,1, 0) ， (0, 0,1)12 ( 1 , 0, 0)T t (1,1, 0)T t (0, 0,1)T 或 ( 1 t , t , t )T ，其中t , t 為任意常數(shù).31231 1 21 222（）因?yàn)?1 t 1112kk2k 1012012t21k22k 1 12 1 0 ，2 , ,kt123112k 1t2t2所以1 ,2 ,3 必線性無關(guān).第 13 頁共 16 頁（2

25、1）（本題滿分 11 分）f ax ax a 12x x 22設(shè)二次型31232 3f（）求二次型的矩陣的所有特征值；（）若二次型 f 的規(guī)范形為 y2 y2 ，求 a 的值.12【考點(diǎn)】二次型的矩陣表示、矩陣的特征值的計(jì)算、二次型的規(guī)范形【難易度】【詳解】a0a11A 01 ，：（）二次型 f 的矩陣1a 1 a a1 a01 a011 1 a 10 a101 a 1由 E A ( a)( a 1)( a 2) ，矩陣 A 的特征值為： 1 a, 2 a 1, 3 a 2（）由于 f 的規(guī)范形為 y2 y2 ，說明矩陣 A 的特征值有兩個(gè)為正，一個(gè)為零.12又 a 2 a a 1，可知 a 2 0 即 a 2 .（22）（本題滿分 11 分）e x0 y x其他設(shè)二維隨量( X ,Y ) 的概率密度為 f (x, y) 0（）求條件概率密度 fY X ( yx) ；（）求條件概率 PX 1 Y 1.【考點(diǎn)】條件概率