高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第十講_抽象函數(shù)問題的題型綜述

1、WORD 專業(yè)資料. 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第十講：抽象函數(shù)問題的題型綜述抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù)，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)槌橄?，學(xué)生解題時(shí)思維常常受阻，思路難以展開，教師對(duì)教材也難以處理，而高考中又出現(xiàn)過這一題型，有鑒于此，本文對(duì)這一問題進(jìn)行了初步整理、歸類，大概有以下幾種題型：一. 求某些特殊值這類抽象函數(shù)一般給出定義域，某些性質(zhì)與運(yùn)算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定義域令變量取某特殊值而獲解，關(guān)鍵是抽象問題具體化。例1 定義在R上的函數(shù)滿足：且，求的值。解：由，以代入，有，為奇函數(shù)且有又由故是周期為8的周期函數(shù)，例2 已知函數(shù)對(duì)任

2、意實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，求在上的值域。解：設(shè)且，則，由條件當(dāng)時(shí)，又為增函數(shù)，令，則又令得，故為奇函數(shù)，上的值域?yàn)槎? 求參數(shù)圍這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域的增減性，去掉“”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例3 已知是定義在（）上的偶函數(shù)，且在（0，1）上為增函數(shù)，滿足，試確定的取值圍。解：是偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，由得。（1）當(dāng)時(shí)，不等式不成立。（2）當(dāng)時(shí)，（3）當(dāng)時(shí)，綜上所述，所求的取值圍是。例4 已知是定義在上的減函數(shù)，若對(duì)恒成立，數(shù)的取值圍。解：對(duì)恒成立對(duì)恒成立對(duì)恒成立，三. 解不等式這類不等式一

3、般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。例5 已知函數(shù)對(duì)任意有，當(dāng)時(shí)，求不等式的解集。解：設(shè)且則，即，故為增函數(shù)，又因此不等式的解集為。四. 證明某些問題例6 設(shè)定義在R上且對(duì)任意的有，求證：是周期函數(shù)，并找出它的一個(gè)周期。分析：這同樣是沒有給出函數(shù)表達(dá)式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關(guān)系式進(jìn)行遞推，若能得出（T為非零常數(shù)）則為周期函數(shù)，且周期為T。證明：得由（3）得由（3）和（4）得。上式對(duì)任意都成立，因此是周期函數(shù)，且周期為6。例7 已知對(duì)一切，滿足，且當(dāng)時(shí)，求證：（1）時(shí)，（2）在R上為減函數(shù)。證明：對(duì)一切有。且，令，得，現(xiàn)設(shè)，

4、則，而，設(shè)且，則，即為減函數(shù)。五. 綜合問題求解抽象函數(shù)的綜合問題一般難度較大，常涉與到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，抽象思維程度要求較高，解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)“”前的“負(fù)號(hào)”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“”。例8 設(shè)函數(shù)定義在R上，當(dāng)時(shí)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)。（1）證明；（2）證明：在R上是增函數(shù)；（3）設(shè)，若，求滿足的條件。解：（1）令得，或。若，當(dāng)時(shí)，有，這與當(dāng)時(shí)，矛盾，。（2）設(shè)，則，由已知得，因?yàn)?，若時(shí)，由（3）由得由得（2）從（1）、（2）中消去得，因?yàn)椋蠢? 定義在（）上的函數(shù)滿足（1），對(duì)任意都有，（2）當(dāng)時(shí)，有，（1）試判斷的奇

5、偶性；（2）判斷的單調(diào)性；（3）求證。分析：這是一道以抽象函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，再以這些性質(zhì)為基礎(chǔ)去研究數(shù)列求和的綜合題。解：（1）對(duì)條件中的，令，再令可得，所以是奇函數(shù)。（2）設(shè)，則，由條件（2）知，從而有，即，故上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，在（0，1）上仍是單調(diào)減函數(shù)。（3）抽象函數(shù)問題分類解析我們將沒有明確給出解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。近年來抽象函數(shù)問題頻頻出現(xiàn)于各類考試題中，由于這類問題抽象性強(qiáng)，靈活性大，多數(shù)同學(xué)感到困惑，求解無從下手。本文試圖通過實(shí)例作分類解析，供學(xué)習(xí)參考。 1. 求定義域這類問題只要緊緊抓?。簩⒑瘮?shù)中的看作一個(gè)整體，相當(dāng)于中的x這一特性，問題就會(huì)

6、迎刃而解。例1. 函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是_。分析：因?yàn)橄喈?dāng)于中的x，所以，解得或。例2. 已知的定義域?yàn)?，則的定義域是_。分析：因?yàn)榕c均相當(dāng)于中的x，所以 (1)當(dāng)時(shí)，則 (2)當(dāng)時(shí)，則 2. 判斷奇偶性根據(jù)已知條件，通過恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求與的關(guān)系。例3. 已知的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足，求證：是偶函數(shù)。分析：在中，令，得令，得于是故是偶函數(shù)。例4. 若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求證：函數(shù)是偶函數(shù)。證明：設(shè)圖象上任意一點(diǎn)為P（）與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上，又即對(duì)于函數(shù)定義域上的任意x都有，所以是偶函數(shù)。 3. 判斷單調(diào)性根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)

7、性質(zhì)，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。例5. 如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且有最小值為5，那么在區(qū)間上是 A. 增函數(shù)且最小值為B. 增函數(shù)且最大值為 C. 減函數(shù)且最小值為D. 減函數(shù)且最大值為分析：畫出滿足題意的示意圖1，易知選B。圖1例6. 已知偶函數(shù)在上是減函數(shù)，問在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。分析：如圖2所示，易知在上是增函數(shù)，證明如下：任取因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以。又是偶函數(shù)，所以，從而，故在上是增函數(shù)。圖2 4. 探求周期性這類問題較抽象，一般解法是仔細(xì)分析題設(shè)條件，通過類似，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過對(duì)函數(shù)原型的分析或賦值迭代，獲得問題的解。例7. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽

8、，且對(duì)任意的x，y有，并存在正實(shí)數(shù)c，使。試問是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期；若不是，請(qǐng)說明理由。分析：仔細(xì)觀察分析條件，聯(lián)想三角公式，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：滿足題設(shè)條件，且，猜測(cè)是以2c為周期的周期函數(shù)。故是周期函數(shù)，2c是它的一個(gè)周期。 5. 求函數(shù)值緊扣已知條件進(jìn)行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。例8. 已知的定義域?yàn)?，且?duì)一切正實(shí)數(shù)x，y都成立，若，則_。分析：在條件中，令，得，又令，得，例9. 已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足：，求的值。分析：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)是周期函數(shù)，顯然，于是，所以故是以8為周期的周期函

9、數(shù)，從而 6. 比較函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用其單調(diào)性使問題獲解。例10. 已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，時(shí)，是增函數(shù)，若，且，則的大小關(guān)系是_。分析：且，又時(shí)，是增函數(shù)，是偶函數(shù)，故 7. 討論方程根的問題例11. 已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足，并且有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根之和是_。分析：由知直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸。又有三個(gè)實(shí)根，由對(duì)稱性知必是方程的一個(gè)根，其余兩根關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故。 8. 討論不等式的解求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號(hào)。例12. 已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求k的值。分析

10、：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號(hào)，得由題意知(1)(2)兩式對(duì)一切恒成立，則有 9. 研究函數(shù)的圖象這類問題只要利用函數(shù)圖象變換的有關(guān)結(jié)論，就可獲解。例13. 若函數(shù)是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線_對(duì)稱。分析：的圖象的圖象，而是偶函數(shù)，對(duì)稱軸是，故的對(duì)稱軸是。例14. 若函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，1），則的反函數(shù)的圖象必過定點(diǎn)_。分析：的圖象過點(diǎn)（0，1），從而的圖象過點(diǎn)，由原函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的關(guān)系易知，的反函數(shù)的圖象必過定點(diǎn)。 10. 求解析式例15. 設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù) A. B. C. D. 分析：要求的解析式，實(shí)質(zhì)上就是求圖象上任一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系。點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)

11、稱點(diǎn)適合，即。又，即，選B。抽象函數(shù)的周期問題由一道高考題引出的幾點(diǎn)思考 2001年高考數(shù)學(xué)（文科）第22題：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱。對(duì)任意都有。（I）設(shè)求；（II）證明是周期函數(shù)。解析：（I）解略。（II）證明：依題設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱故又由是偶函數(shù)知將上式中以代換，得這表明是上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期是偶函數(shù)的實(shí)質(zhì)是的圖象關(guān)于直線對(duì)稱又的圖象關(guān)于對(duì)稱，可得是周期函數(shù)且2是它的一個(gè)周期由此進(jìn)行一般化推廣，我們得到思考一：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，證明是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期。證明：關(guān)于直線對(duì)稱又由是偶函數(shù)知將上式中以代換，得是上的周期函數(shù)且是它的一個(gè)周期

12、思考二：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于直線和對(duì)稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期。證明：關(guān)于直線對(duì)稱將上式的以代換得是上的周期函數(shù)且是它的一個(gè)周期若把這道高考題中的“偶函數(shù)”換成“奇函數(shù)”，還是不是周期函數(shù)？經(jīng)過探索，我們得到思考三：設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱。證明是周期函數(shù)，且4是它的一個(gè)周期。，證明：關(guān)于對(duì)稱又由是奇函數(shù)知將上式的以代換，得是上的周期函數(shù)且4是它的一個(gè)周期是奇函數(shù)的實(shí)質(zhì)是的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）中心對(duì)稱，又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得是周期函數(shù)，且4是它的一個(gè)周期。由此進(jìn)行一般化推廣，我們得到思考四：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱

13、。證明是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期。證明：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于直線對(duì)稱將上式中的以代換，得是上的周期函數(shù)且是它的一個(gè)周期由上我們發(fā)現(xiàn)，定義在上的函數(shù)，其圖象若有兩條對(duì)稱軸或一個(gè)對(duì)稱中心和一條對(duì)稱軸，則是上的周期函數(shù)。進(jìn)一步我們想到，定義在上的函數(shù)，其圖象如果有兩個(gè)對(duì)稱中心，那么是否為周期函數(shù)呢？經(jīng)過探索，我們得到思考五：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)和對(duì)稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期。證明：關(guān)于對(duì)稱將上式中的以代換，得是周期函數(shù)且是它的一個(gè)周期抽象函數(shù)解法例談抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號(hào)與其滿足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點(diǎn)的函數(shù)值,特定的

14、運(yùn)算性質(zhì)等,它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn),也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn),由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體,因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質(zhì),又能考查學(xué)生的思維能力,所以備受命題者的青睞,那么,怎樣求解抽象函數(shù)問題呢,我們可以利用特殊模型法,函數(shù)性質(zhì)法,特殊化方法,聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法,等多種方法從多角度,多層面去分析研究抽象函數(shù)問題,一:函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性,單調(diào)性周期性,特殊點(diǎn)等)反應(yīng)出來的,抽象函數(shù)也是如此,只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì),靈活進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,抽象函數(shù)問題才能轉(zhuǎn)化,化難為易,常用的解題方法有:1,利用奇偶性整體

15、思考;2,利用單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化;3,利用周期性回歸已知4;利用對(duì)稱性數(shù)形結(jié)合;5,借助特殊點(diǎn),布列方程等.二:特殊化方法1在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí),一般用代換的方法,將x換成-x或?qū)換成等2在求函數(shù)值時(shí),可用特殊值代入3研究抽象函數(shù)的具體模型,用具體模型解選擇題,填空題,或由具體模型函數(shù)對(duì)綜合題,的解答提供思路和方法.總之,抽象函數(shù)問題求解,用常規(guī)方法一般很難湊效,但我們?nèi)绻芡ㄟ^對(duì)題目的信息分析與研究,采用特殊的方法和手段求解,往往會(huì)收到事半功倍之功效,真有些山窮水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村的快感.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x、yR都有f(x+y)f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)

16、+3,且f(1)=1若t為自然數(shù),(t0)試求f(t)的表達(dá)式滿足f(t)=t的所有整數(shù)t能否構(gòu)成等差數(shù)列?若能求出此數(shù)列,若不能說明理由若t為自然數(shù)且t4時(shí), f(t) mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.已知函數(shù)f(x)= ,且f(x),g(x)定義域都是R,且g(x)0, g(1) =2,g(x) 是增函數(shù). g(m) g(n)= g(m+n)(m、nR) 求證：f(x)是R上的增函數(shù)當(dāng)nN,n3時(shí),f(n)解: 設(shè)x1x2 g(x)是R上的增函數(shù), 且g(x)0 g(x1) g(x2) 0g(x1)+1 g(x2)+1 0 0 - 0f(x1)- f(x2)=- =1-

17、(1-) =-0 f(x1) f(x2) f(x)是R上的增函數(shù) g(x) 滿足g(m) g(n)= g(m+n)(m、nR) 且g(x)0 g(n)= g(1)n=2n 當(dāng)nN,n3時(shí), 2nnf(n)=1- ，1- 2n（1+1）n1+n+n+12n+1 2n+12n+21-當(dāng)nN,n3時(shí),f(n)設(shè)f1(x) f2(x)是(0,+)上的函數(shù),且f1(x)單增,設(shè)f(x)= f1(x) +f2(x) ,且對(duì)于(0,+)上的任意兩相異實(shí)數(shù)x1, x2恒有| f1(x1) f1(x2)| | f2(x1) f2(x2)|求證：f (x)在(0,+)上單增.設(shè)F(x)=x f (x), a0、b

18、0.求證：F(a+b) F(a)+F(b) .證明:設(shè) x1x20f1(x) 在(0,+)上單增f1(x1) f1(x2)0| f1(x1) f1(x2)|= f1(x1) f1(x2)0| f1(x1) f1(x2)| | f2(x1) f2(x2)|f1(x2)- f1(x1)f2(x1) f2(x2) f1(x2)+ f2(x2)f(x1) f(x2)f (x)在(0,+)上單增F(x)=x f (x), a0、b0a+ba0,a+bb0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (x)在(0,+)上單增F(a+b)af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)

19、函數(shù)yf(x)滿足f(a+b)f (a)f (b)，f(4)16, m、n為互質(zhì)整數(shù)，n0求f()的值f(0) =f(0+0)=f(0) f(0)=f2(0)f(0) =0或1.若f(0)=0則f(4)=16=f(0+4)=f(0) f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2) f(2)=f(1) f(1) f(1) f(1)=16f(1)=f2()0f(1)=2.仿此可證得f(a)0.即y=f(x)是非負(fù)函數(shù).f(0)=f(a+(-a)=f(a) f(-a)f(-a)=nN*時(shí)f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(+)=fn()=2f()= f()=f()m=

20、定義在（-1，1）上的函數(shù)f (x)滿足任意x、y（-1，1）都有f(x)+ f(y)f ()，x（-1，0）時(shí)，有f(x) 0判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并說明理由判定f(x)在（-1，0）上的單調(diào)性，并給出證明求證：f ()f ()f ()或f ()+f ()+f () f () (nN*) 解:1) 定義在（-1，1）上的函數(shù)f (x)滿足任意x、y（-1，1）都有f(x)+ f(y)f (),則當(dāng)y=0時(shí), f(x)+ f(0)f(x)f(0)=0當(dāng)-x=y時(shí), f(x)+ f(-x)f(0)f(x)是（-1，1）上的奇函數(shù)2) 設(shè)0 x1x2-1f(x1)-f(x2)= f

21、(x1)+ f(-x2)=0 x1x2-1 ,x（-1，0）時(shí)，有f(x) 0,1-x1 x20, x1-x200即f(x)在（-1，0）上單調(diào)遞增.3) f ()=f()=f( )=f()=f()-f()f ()+f ()+f ()=f()-f()+f()-f()+f()+f()-f()= f() -f()=f()+f(-)x（-1，0）時(shí)，有f(x) 0f(-)0, f()+f(-)f()即f ()+f ()+f () f ()設(shè) f (x)是定義在R上的偶函數(shù),其圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱, 對(duì)任意x1、x20, eq f(1,2)都有f (x1+ x2)f(x1) f(x2), 且f(1)=a0.求f ( eq f(1,2)與 f ( eq f(1,4);證明f(x)是周期函數(shù)記an=f(2n+ eq f(1,2n), 求(lnan)解: 由f (x)= f ( eq f(x,2) + eq f(x,2)=f(x)20,f(x)a= f(1)=f(2n eq f(1,2n)=f( eq f(1,2n)+ eq f(1,2n)+ eq f(1,2n)f ( eq f(1,2n)2解得f ( eq f(1,2n)= f ( eq f(1,2)=,f ( eq f(1,4)=. f(x)是偶函數(shù),其圖像關(guān)于