江蘇專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)計(jì)算及應(yīng)用例題加習(xí)題

1、第二章 導(dǎo)數(shù)計(jì)算及應(yīng)用本章主要知識點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),高階導(dǎo)數(shù),微分隱函數(shù),參數(shù)方程求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)定義為 左導(dǎo)數(shù) 右導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù) 存在有限且分段點(diǎn)求導(dǎo)必須應(yīng)用定義。兩個(gè)重要變形：1. 2. 若存在，例2.1. 若，求解：例2.2. 若求解：例2.3 求解： 所以不存在. 例2.4，求解： 所以不存在。例2.5 求。解： 不存在所以 不存在 例2.6如果，分析函數(shù)在x=0處的連續(xù)性。解： 所以 f(x)在x=0處不連續(xù)。二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、高階導(dǎo)數(shù)、微分1復(fù)合函數(shù)中的層次關(guān)系識別正確識別復(fù)合函數(shù)構(gòu)建的層次是快速準(zhǔn)確求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的關(guān)鍵。下列通過幾個(gè)例子來說明復(fù)合函數(shù)層次識別問

2、題。例2.7由外及里分為四層：例2.8分為一層： 例2.9分為三層：立方例2.10分為四層：化分清層次的同時(shí)，要注意每一層符號下的變量是什么，不可混淆。2、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)原則我們將求導(dǎo)的所謂“鏈?zhǔn)揭?guī)則”等價(jià)轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)“口訣”：“外及里；號變號；則用則；層間乘”。例2.11，求，解：例2.12，求；解：例2.13，求；解：例2.14，求解： 分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，要切記對于分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)要用定義。例2.15，求解：，綜合得，。例2.16. ，求解：，所以不存在。例2.17. 已知，（1）求；（2）研究在處的連續(xù)性。解：（1），。（2），不存在，故在處不連續(xù)，且為II類間斷。3. 高階導(dǎo)數(shù)與微分（1）高階

3、導(dǎo)數(shù)，幾個(gè)常用公式（1）（2）（3）（4）（5）萊伯尼茲公式 例2.18. ，求解：例2.19. ，求解：例2.20，求解：例2.21 ，求解：例2.22，求解：例2.23，求解：（2）一階微分定義：對于函數(shù)，如果存在常數(shù)，使得：則稱在處可微。成立：在可導(dǎo)可微，且?？勺鳛槲⒎智蠼夤健＠?.24，求解：。例2.25，求。解：，例2.26，求解：，故，所以。例2.27利用微分近似計(jì)算。解：令，則=。4、求導(dǎo)中若干特別問題（1）奇偶函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)論：奇（偶）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為偶（奇）函數(shù)。例2.28f（x）為奇函數(shù)，。例2.29 f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則的導(dǎo)數(shù)為（偶函數(shù)）。（2） （3），在xa導(dǎo)數(shù)最大階數(shù)等

4、于m+n-1.例2.30 導(dǎo)數(shù)最大階數(shù)為（1階）。（4）例2.31 求解： （5）符號型求導(dǎo)例2.32. ,求。解：三、隱函數(shù)、參數(shù)方法求導(dǎo)1隱函數(shù)求導(dǎo)由方程確定的函數(shù)，隱函數(shù)求導(dǎo)可看成復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的特例。例2.33由確定隱函數(shù)，求。解：方程兩邊對求導(dǎo)得例2.34由方程確定隱函數(shù), 求.解： 方程兩邊對求導(dǎo)，得： （*）=，（*）式再對求導(dǎo)，得：例2.35已知由方程確定，求.解： 將代入，得到。方程兩端對求導(dǎo)，得，。2參數(shù)方程求導(dǎo) 問題： ,求,.求導(dǎo)公式： =，=.例2.36已知 求,.解：=，=.例2.37已知，求，并給出時(shí)的切線法線方程.解: =,=，斜率=，切線方程為。法線斜率，法線方

5、程為：例2.38 已知由確定，求。 解：將方程中分別看成為的函數(shù)，分別對求導(dǎo)得 解得： =，=所以 =。四、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（a）斜率和幾何應(yīng)用（b）洛必達(dá)法則求極限（c）函數(shù)單調(diào)性,凹凸性,極值與拐點(diǎn),漸近線（d）最大值，最小值與實(shí)際應(yīng)用（e）微分中值定理的應(yīng)用（f）證明不等式1斜率與幾何應(yīng)用函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)為切線斜率，即,過點(diǎn)的切線方程為=。法線方程為=。例2.39，求過的切線方程。解：， 切線方程為=。例2.40過點(diǎn)引拋物線=的切線，求切線方程。解：設(shè)切點(diǎn)為，因=， ， 切線方程為=，因?yàn)橐嘣谇芯€上，所以=，所以，切線方程為 =。圖示2.1例2.41問函數(shù)=哪一點(diǎn)上的切線與直線=成600角？解：設(shè)切

6、線斜率為，=，=， =，= 解得：=，=，解得：=.2洛必達(dá)法則 洛必達(dá)法則是導(dǎo)數(shù)對極限的應(yīng)用，歸結(jié)為求極限問題的題型六。它是求極限問題非常重要的一個(gè)題型。 洛必達(dá)法則：若且在的鄰域附近可導(dǎo)。如果成立則。注：洛必達(dá)法則處理的形式必須是未定式。對于,，等必須變形為形式。洛必達(dá)法則是一個(gè)充分性的法則，若不存在，則說明此方法失效。洛必達(dá)法則只要前提正確，可重復(fù)使用。一般而言，洛必達(dá)法則和求極限題型五配合使用效果會更佳。 eq oac(,5)注意其和連續(xù)，可導(dǎo)概念結(jié)合的綜合題。例2.42解：原式=例2.43 解：原式=例2.44解：原式例2.45解：原式=例2.46解：原式=例2.47解：原式= 例2

7、.48 解：由羅必塔法則，原式 這不說明原式不存在，僅說明洛必達(dá)法則對此題無效。 原式= 例2.49解： 例2.50解： 原式=例2.51 解：原式=例2.52設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，。證明：有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。解：當(dāng)時(shí)，在處連續(xù) ： 因所以，故在=0處連續(xù)。綜上所述g(x)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。3函數(shù)單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點(diǎn)及漸進(jìn)性單調(diào)性 如果則在上嚴(yán)格單調(diào)增加，則在上嚴(yán)格單調(diào)減少。滿足 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)。極大值，極小值判別:如果在的附近，當(dāng)，單調(diào)增加，單調(diào)減少，則在取得極大值，反之取極小值。判別II：如果在鄰域存在兩階導(dǎo)數(shù)，且取極小值，取極大值。極值點(diǎn)可能出現(xiàn)在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)上。凹凸法 在上存在，

8、如果，則在上向上凹；，則在上向上凸。拐點(diǎn)凹凸性發(fā)生改變的界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)。它可能出現(xiàn)在的點(diǎn)或不存在的點(diǎn)。漸進(jìn)線如果，則的水平漸近線；如果，則為的垂直漸近線。有了以上的準(zhǔn)備知識，分析函數(shù)的單調(diào)性，凹凸性，極值，拐點(diǎn)，的問題流程為求定義域，漸近線；計(jì)算, ；求，的點(diǎn)和找出使, 不存在的點(diǎn)，設(shè)為 ；列表分析；結(jié)論。例3.53分析函數(shù)的單調(diào)性，凹凸性，極值，拐點(diǎn)及漸近線。解：（1）定義域?yàn)椋?漸近線：因 ，即軸為水平漸近線 （2） ，由得，由得（3）列表分析2極大值拐點(diǎn)（4）在上單調(diào)上升向上凸，上單調(diào)下降，向上凸，上單調(diào)下降，向上凸，（1，）為極大值點(diǎn)，（2，）為拐點(diǎn)。例2.54分析的單調(diào)性，凹凸性，極值

9、，拐點(diǎn)，及漸近線。解：（1）定義域，因，所以為水平漸近線。因，所以為垂直漸近線。（2），由得；當(dāng)，不存在。列表分析1拐點(diǎn)極小值拐點(diǎn)函數(shù)在上單調(diào)下降，向上凸；在單調(diào)下降，向上凹；單調(diào)上升向上凹；單調(diào)上升向上凸。為極小值點(diǎn)，處為拐點(diǎn)。例2.55已知函數(shù)在與處有極值，試求的值，并求的拐點(diǎn)。解： 題意知，得：解得：，, 解得（負(fù)號舍去）。當(dāng)，向上凹， 當(dāng)時(shí)，向上凸，故為的拐點(diǎn)。4最大值、最小值與實(shí)際應(yīng)用將導(dǎo)數(shù)應(yīng)用到實(shí)際問題的最大、最小或更廣泛的最優(yōu)問題的求解中是非常重要的考點(diǎn)。是考查考生實(shí)際應(yīng)用能力的一個(gè)很重要的知識點(diǎn)，它可能涉及到幾何、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面的內(nèi)容。 分析問題的流程為：（1）適當(dāng)假設(shè)求

10、解變量。（2）函數(shù)關(guān)系確定；（3）求解，交待最大、最小的理由；（4）合理分析。注：第二步是整個(gè)問題的關(guān)鍵步驟，中的理由部分可能是容易疏忽之處。例2.56（幾何問題）半徑為的半圓內(nèi)接梯形，何時(shí)面積最大？何時(shí)周長最長？解：設(shè)上底長度為，即，圖示2.2如圖所示，（1）由解得 （舍去）因?yàn)闉槲ㄒ获v點(diǎn)，即為所求（或）此時(shí)（2），由得。因?yàn)槲ㄒ获v點(diǎn)，即為所求（或），。例2.57（幾何問題）半徑為的圓板，剪下圓心角圍成一個(gè)圓錐漏斗，問為何角度時(shí)，使得漏斗的容積為最大？解：設(shè)圓錐漏斗的下底半徑為，圖示2.3 由解得，（負(fù)號舍去）所以，符合題意的駐點(diǎn)是唯一的，即為所求（或），圖示2.4由推知。例2.58（幾何問

11、題）設(shè)計(jì)一個(gè)容積為（m3）的立方體的有蓋圓錐貯油桶，已知單位面積造價(jià)：頂、側(cè)面、底面為1:2:3，問貯油桶的尺寸如何設(shè)計(jì)使造價(jià)最低？解：設(shè)該圓柱形底面半徑為，高為，圖示2.5頂單位造價(jià)為（元/平方米），由得 ，總造價(jià)函數(shù) ， ， 解得：；唯一駐點(diǎn)，即為所求（或），此時(shí) 。例2.59已知某廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為（元），產(chǎn)品產(chǎn)量 與價(jià)格之間的關(guān)系：（元）求：（1）要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ （2）當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，企業(yè)可獲最大利潤，并求最大利潤？解：（1）平均成本 解得： ，所以，平均成本最小，（元/件）（2）利潤函數(shù)， 得：（件），唯一駐點(diǎn)，即為所求，（元）。例2.60一租賃公司有

12、40套設(shè)備要出租。當(dāng)租金每月每套200元時(shí)，該設(shè)備可以全部租出；當(dāng)租金每月每套增加10元時(shí)，租出的設(shè)備就會減少1套；而對于租出的設(shè)備，每月需要花20元的修整費(fèi)。問：租金定為多少時(shí)，該公司可獲最大利潤？解：設(shè)每月每套租金定為則租出設(shè)備總數(shù)為，每月的毛收入為；維護(hù)成本為，于是利潤為，比較處利潤：；所以，租金為元時(shí)，利潤最大。5羅爾定理、微分中值定理及其應(yīng)用Rolle定理：如果在可導(dǎo)，在上連續(xù)，且，則存在，使得。Lagrange中值定理：如果在可導(dǎo)，在上連續(xù)，則存在，使得。例3.53問下列函數(shù)哪個(gè)函數(shù)不滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件：（ ）A），B）C）， D）解：選擇C，因?yàn)樵谔帉?dǎo)數(shù)不存在。例2.61

13、已知，求Lagrange中值定理中的。解：即例2.62證明在0,1上不可能有兩個(gè)零點(diǎn).證明:反證法。如果在0,1上有兩個(gè)零點(diǎn)(不妨設(shè))，即在滿足定理?xiàng)l件,所以存在時(shí),，故矛盾,原命題得證.例2.62設(shè)可導(dǎo),求證的兩個(gè)零點(diǎn)之間定有的零點(diǎn).證明:構(gòu)造輔助函數(shù) .設(shè)為的兩個(gè)互異零點(diǎn),不妨假設(shè),且所以在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故存在使得。所以,命題得證.例2.63在上二階可導(dǎo),設(shè),證明：存在使得證明:由于且在b,a上二階可導(dǎo),所以在b,a滿足羅爾定理,故存在使得，知。現(xiàn)在考慮其在滿足羅爾定理?xiàng)l件，所以存在使得。例2.64證明方程只有一個(gè)正根.證明：（1）根的存在性令由于在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，故由閉區(qū)間連續(xù)

14、函數(shù)介值定理知，存在，使得即，方程有正根.（2）根的唯一性應(yīng)用反證法。設(shè)有兩個(gè)不同根，則在上滿足羅爾定理?xiàng)l件，所以，存在，使得這不可能，故矛盾，所以根是唯一的。綜合(1)(2)，原命題成立。例2.65證明：方程有且僅有一實(shí)根。證明：是方程的一個(gè)根。 對，方程無根，只要考慮令，當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格單調(diào)上升，當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格單調(diào)上升，總之，方程僅有一實(shí)根0。注：注意上述兩例的區(qū)別。例2.66設(shè)函數(shù)在上具有嚴(yán)格單調(diào)遞減的導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)且試證：對于滿足不等式的均有下式成立：。證明:在上滿足拉格朗日的定理?xiàng)l件，故存在使得由，所以；在上滿足拉格朗日的中值定理?xiàng)l件,故存在使得 由于，而是單調(diào)下降的函數(shù)，故；所以成立，即，原命

15、題得證。例2.67在上連續(xù)，且內(nèi)可導(dǎo)，。證明：存在，使得。證明：構(gòu)造，在上可導(dǎo)，上連續(xù)，且，故在上滿足羅爾定理，故存在，使得，即原命題得證。例2.68設(shè)在上存在二階導(dǎo)數(shù)，證明：存在使證明：構(gòu)造，由條件，p(x)滿足羅爾定理?xiàng)l件，因此存在使，因?yàn)椋ǚ駝t推得），于是。例2.69已知在上連續(xù)，在內(nèi)存在，又過點(diǎn)，兩點(diǎn)直線交曲線于，且。試證明：在內(nèi)至少存在一個(gè)使得。證明：構(gòu)造，由題意可知：。在和上分別滿足拉格朗日定理?xiàng)l件。故存在使得，存在使得；在區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件。所以存在使得。而，故，原命題得證。6函數(shù)不等式證明通常證明不等式的方法有：應(yīng)用微分中值定理；應(yīng)用單調(diào)性；函數(shù)最大最小值。例2.70證明證

16、明：當(dāng)時(shí)，原不等式顯然成立。當(dāng)（無妨設(shè)），設(shè)，在上滿足拉格朗日定理，存在使得；，兩邊取絕對值，。例2.71證明：當(dāng)時(shí)，成立。證明：構(gòu)造， （）則在上嚴(yán)格單調(diào)上升，即，。構(gòu)造，令，所以嚴(yán)格單調(diào)下降，故，所以。說明嚴(yán)格單調(diào)下降，即，。結(jié)合前面的兩結(jié)論可知原命題成立。例2.72證明,當(dāng)時(shí),有證明:原命題等價(jià)于:構(gòu)造函數(shù),=()嚴(yán)格單調(diào)上升, 0嚴(yán)格單調(diào)上升,即，亦即，即原命題得證。例2.73 證明：當(dāng)時(shí)，。證明:令，有且僅有一根，。 在取極小值， ，所以，命題得證.例2.74證明：當(dāng)時(shí),證明: 原命題等價(jià)于：，構(gòu)造， ，所以嚴(yán)格單調(diào)上升，即原命題得證。例7. 證明:當(dāng)時(shí),證明:令，由得，；所以，當(dāng)時(shí)

17、，即，即， 成立。單元練習(xí)題21 。2= 。3設(shè)，確定，則= 。4若在可導(dǎo)，且為其極大值，則曲線在點(diǎn)）處的切線方程是 。5如果滿足，且，則= 。6函數(shù)的極值點(diǎn)為 ，它的圖形拐點(diǎn)為： 。7的漸進(jìn)線為： ，垂直漸進(jìn)線為： 。8 設(shè)二階可導(dǎo)，且，又，則與相差是 。9 由確定，則 。10函數(shù)的凹區(qū)間為 。11. 。12則 。13函數(shù)f為可導(dǎo)函數(shù)，則，則= 。14函數(shù)由方程所確定，則曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為： 。15 設(shè)在處可導(dǎo)，則（A） (B) 為任意實(shí)數(shù)（C） （D）為任意實(shí)數(shù)16設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則函數(shù)的絕對值在處不可導(dǎo)的充分條件是： （A） （B） （C） （D） 17,則使存在的最高階導(dǎo)

18、數(shù)為: （A） （B） （C） （D）18則下列正確的是： （A） （B） （C） （D） 19曲線的凸區(qū)間為：（A） （B）（C） （D）20函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理的（ ）（A） （B） （C） （D）21設(shè)，且極限存在，則（ ）（A） (B) (C ) (D) 22. 設(shè)可導(dǎo)，則（A） (B) (C) (D) 23 若直線L與OX軸平行，且與曲線相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)為：（ ）（A） (B) (C) (D) 24.設(shè)，則下列式中正確的是（） （A） (B) (C) (D) 不存在25.設(shè),求.26.,求27.,求28.設(shè)由確定,求29.,求30.設(shè)已知二階可導(dǎo)函數(shù),求的二階導(dǎo)數(shù).31.,求.3

19、2.,求33.設(shè)曲線,由方程組確定，求該曲線在時(shí)的斜率。34.,求.35.,求.36.,求.37.,求 .38.，求.39.,求.40.，求.41.,（1）求, （2）求在處是否連續(xù).42.方程確定,求43.設(shè)，求。44.，其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且求（1）；（2）討論的連續(xù)性。45.證明曲線，的切線介于坐標(biāo)軸之間的長度為一常數(shù).46.已知,求.47.已知,其中有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且.（1）確定值，使在處連續(xù)；（2）求。48設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，。證明：有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。49求下列極限（1） （2） （3）（4） （5） （6）50證明下列不等式（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，（3）當(dāng)時(shí)，（4）當(dāng)時(shí)，（5）當(dāng)

20、時(shí)，（6）設(shè)，證明不等式51分析函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點(diǎn)及漸近線。52分析函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點(diǎn)及漸近線。53求內(nèi)接于半徑為的半圓的矩形的最大面積。54已知三角形高，底邊長為，求一邊落于底邊的內(nèi)接矩形的最大面積。55把一根長為的鉛絲切成兩段，一段圍成圓形，一段圍成正方形，問這兩段鉛絲各多長時(shí)，圓形面積與正方形面積之和最?。?6用面積為的一塊鐵皮做一個(gè)有蓋圓柱形油桶，問油桶直徑為多長時(shí)，油桶的容積最大？又這時(shí)油桶的高是多少？圖示2.657已知、兩地相距30公里，如下圖所示。在它們之間鋪設(shè)一條管道，由于地質(zhì)條件不同，在地區(qū)，鋪設(shè)管道費(fèi)用為元/公里，在地區(qū)，鋪設(shè)管道費(fèi)用為元/公里。

21、求最經(jīng)濟(jì)的鋪設(shè)路線。58在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)作的切線，使其與兩坐標(biāo)軸所構(gòu)成的三角形面積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo)。59一商家銷售某種商品價(jià)格，其中為銷售量（單位：），商品的成本是（百元）（1）若每銷售商品，政府要征稅（百元），求商家獲得最大利潤是的銷售量？（2）商家獲得最大利潤前提下，為何值時(shí)，政府的稅收總額最大？歷年真考題1、（2001）若，且在內(nèi)：，則在內(nèi)必有（ ）A. B. C. D. 2、（2001）設(shè)參數(shù)方程為；則 。3、（2001）已知，求。4、（2001）已知，求。5、（2001）已知曲線經(jīng)過原點(diǎn)，并且在原點(diǎn)的切線平行于直線，若，且在處取得極值，試確定的值，并求出函數(shù)的表達(dá)式。6、（2

22、001）設(shè)函數(shù)，具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，（1）求，使得在連續(xù)；（2）求。7、（2002）已知是可導(dǎo)函數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 8、（2002）若，則（ ）A. B. C. D. 9、（2002）已知在內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，則一定是（ ）A. 奇函數(shù) B. 偶函數(shù) C. 非奇非偶函數(shù) D. 不能確定奇偶性的函數(shù)10、（2002）設(shè)函數(shù)由方程確定，則 。11、（2002）函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為 。12、（2002）已知，求。13、（2002）設(shè)，且在點(diǎn)連續(xù)。求（1）的值；（2）。14、（2002）證明：當(dāng)時(shí)，成立。15、（2002）已知某廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為（元），產(chǎn)品產(chǎn)量與價(jià)格之間的關(guān)系為：（元）

23、，求：（1）要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？（2）要企業(yè)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，企業(yè)可獲最大利潤，并求最大利潤。16、（2003）已知，則（ ）A. 2 B. 4 C. 0 D. 217、（2003），則下列說法正確的是（ ）A. B. C. D. 18、（2003）已知函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，則滿足（ ）A. 為任意實(shí)數(shù) B. C. D. 19、（2003）由確定，則 。20、（2003）函數(shù)的凹區(qū)間為 。21、（2003）已知，求。22、（2003）證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。23、（2003）設(shè)計(jì)一個(gè)容積為立方米的有蓋圓柱形貯油桶。已知單位面積造價(jià)：側(cè)面是底面一半，蓋又是側(cè)面的一半，問貯油桶的尺寸

24、如何設(shè)計(jì)，造價(jià)最低？24、（2004）直線L與x軸平行且與曲線相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)是 A（1，1） B、（1，1） C、（0，1） D、（0，1）25、（2004）設(shè)，則。26、（2004）設(shè)函數(shù)yy(x)由方程所確定，求的值。27、（2004）甲乙二城位于一直線形河流的同一側(cè)，甲城位于岸邊，乙城離河岸40公里，乙城在河岸的垂足與甲城相距50公里，兩城計(jì)劃在河岸上合資共建一個(gè)污水處理廠，已知從污水處理廠到甲乙二城鋪設(shè)排污管的費(fèi)用分別為每公里500元和700元。問污水處理廠建在何處，才能使鋪設(shè)排污管的費(fèi)用最??？28、（2005）設(shè)x2是函數(shù)的可導(dǎo)極值點(diǎn)，則a（） A、1 B、 C、 D、129、（

25、2005）30、（2005）對函數(shù)在閉區(qū)間1,e上應(yīng)用Lagrange中值定理，求得的_。31、（2005）設(shè)函數(shù)在x0處連續(xù)，其中求a。32、（2005）設(shè)函數(shù)是由參數(shù)方程所確定，求。33、（2005）證明方程在-1,1上有且僅有一個(gè)實(shí)根。34、（2005）設(shè)函數(shù)的圖形上有一拐點(diǎn)P（2，4），在拐點(diǎn)P處曲線的切線斜率為3，又知該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求此函數(shù)。 章節(jié)測試1. ，則 ， 。2，則。3在點(diǎn) 處的切線方程 。4. 。5已知是 的極值點(diǎn)，則。6的拐點(diǎn)是 。7曲線 的漸近線是 ， 的水平漸近線是 。8設(shè)函數(shù)，則方程有（ ） A 一個(gè)實(shí)根 B兩個(gè)實(shí)根 C三個(gè)實(shí)根 D無實(shí)根9在上的極小值為（ ）

26、A0 B1 C 2 D不存在10函數(shù)（ ） A沒有拐點(diǎn) B有一個(gè)拐點(diǎn) C有兩個(gè)拐點(diǎn) D有三個(gè)拐點(diǎn)11函數(shù)（ ）A只有水平漸進(jìn)線 B只有鉛直漸近線C沒有漸近線 D有水平并有垂直漸近線12函數(shù)的極小值為（ ）A0 B1 C2 D313在區(qū)間-1，1上，下列函數(shù)不滿足羅爾定理的是（ ）A B C D14是函數(shù)在點(diǎn)處有極值的一個(gè)（ ） A必要條件 B充要條件 C充分條件 D無關(guān)條件15在區(qū)間（0，4）內(nèi)（ ） A上凹 B下凹 C既有上凹又有下凹 D直線段16下列條件中，對一切均成立的是（ ） A B C D17設(shè)，若存在，且，則（ ） A B 18下列函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)且可導(dǎo)的是（ ） D19. 20.

27、，求。21. ，求22. ，求23. ，求24. ,求25. ，求26. ，求27. ，求28. ，求29. ，求30. 求31. 32. 33. 分析的單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點(diǎn)34. 討論函數(shù)在點(diǎn)處是否可導(dǎo)？有沒有極值？如果有求出其極值。35. 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個(gè)單位時(shí)，成本函數(shù)為（萬元/單位）。當(dāng)=？時(shí)，平均成本最小？36. 某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，年產(chǎn)量為（百臺），總成本(萬元)，其中固定成本為2萬元，每產(chǎn)100臺成本增加1萬元，市場上每年可銷售此種產(chǎn)品4百臺，其銷售總收入是的函數(shù)，。問每年生產(chǎn)多少臺時(shí)總利潤最大？37. 某工廠每天生產(chǎn)臺袖珍收音機(jī)總成本為（元），該種收音機(jī)獨(dú)家經(jīng)營，市場需求規(guī)律

28、為，其中為單價(jià)，問每天生產(chǎn)多少臺時(shí)獲利最大？此時(shí)每臺收音機(jī)價(jià)格如何？38. 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值。39試證：若，則40設(shè)，證明：41證明不等式： ，（）。單元練習(xí)題2答案1、，2、，3、，4、，5、16、，7、，8、，9、，10、，11、12、，13、，14、15、，16、，17、，18、B，19、，20、，21、，22、，23、，24、25、，26、，27、28、，29、30、解： 31、解：設(shè)，解：， 解：， 用萊布尼茨公式。 解： ，。所以 不存在。38、解，因 故不存在39、解：40、解：故，不可導(dǎo);時(shí)，不可導(dǎo)41、解（1），故（2）不存在故在處不連續(xù)42、解，方程兩邊對求導(dǎo) 對（*）兩端再次對求導(dǎo)，得43、解：，函數(shù)在時(shí)間斷，故時(shí)，不可導(dǎo)。44、解：（1）， （2）當(dāng)時(shí)，由的連續(xù)性知連續(xù)在處連續(xù)。綜合得在上處連續(xù)。45證明：設(shè)切點(diǎn)為且滿足，切線方程為令得，令得。切線于坐標(biāo)軸之間的長度：46解：，47解：（1）由處連續(xù)，可知（2）當(dāng)時(shí)，48解：當(dāng)時(shí)，在處連續(xù) 因所以，故在=0處連續(xù)。綜上所述g(x)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。49(1).原式=. （2）原式= (3) 原式= (4) 原式=。 (5)