5高等數(shù)學(xué)-第五章-不定積分課件

1、第五章 不定積分 本章將討論如何尋求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使得它的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)，即微分法的逆運(yùn)算，這就是積分學(xué)的基本問題之一：求不定積分。我們先給出原函數(shù)和不定積分的概念，介紹它們的性質(zhì)，進(jìn)而討論求不定積分的方法。1不定積分的概念和性質(zhì)2第一類換元積分法（湊微分法）3第二類換元積分法4分部積分法5幾種特殊類型的不定積分第一節(jié) 不定積分的概念和性質(zhì)4 定義 如果在區(qū)間 I 上，可導(dǎo)函數(shù) F(x) 的導(dǎo)數(shù)為 f (x) ，即對(duì)于區(qū)間上的任何一點(diǎn) x 都有一、原函數(shù)與不定積分的概念或則稱函數(shù) F(x) 為 f (x) 在區(qū)間 I 上的原函數(shù)。 例：（1）在區(qū)間 ( , + ) 內(nèi) ， 所以 x2 是 2

2、x 在區(qū)間 ( , + ) 內(nèi)的原函數(shù)；，所以 sin x 是 cos x 的原函數(shù)。 （3） x 0 時(shí)， ， （2）所以 lnx 是 在區(qū)間 (0, + ) 內(nèi)的原函數(shù)。5一、原函數(shù)與不定積分的概念 2. 原函數(shù)的結(jié)構(gòu)問題：一個(gè)函數(shù)如果存在原函數(shù)，其原函數(shù)的個(gè)數(shù)有多少？這些原函數(shù)的關(guān)系如何表達(dá)？ 1. 原函數(shù)的存在問題：一個(gè)函數(shù)具備什么條件時(shí)它的原函數(shù)一定存在？ 原函數(shù)存在定理： 如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I上連續(xù)，則在區(qū)間 I 上存在可導(dǎo)函數(shù) F(x)，使得對(duì)于區(qū)間 I 上的任何一點(diǎn) x，有 即連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。 6一、原函數(shù)與不定積分的概念 設(shè) F(x) 為 f (x) 區(qū)間

3、 I 上的一個(gè)原函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù) C，有 即函數(shù) F(x)C 也是 f (x) 的原函數(shù)。 說明：如果 f (x)有一個(gè)原函數(shù)，那么 f (x) 就有無窮多個(gè)原函數(shù)。 設(shè) G(x) 是 f (x) 的另一個(gè)原函數(shù)，則于是即 G(x) F(x)= C0 （C0 為某個(gè)常數(shù)） 原函數(shù)的結(jié)構(gòu)問題：7 定義 在區(qū)間 I 上，f (x) 的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為 f (x) 在區(qū)間 I 上的不定積分，記作一、原函數(shù)與不定積分的概念其中記號(hào) 稱為積分號(hào)， f (x) 稱為被積函數(shù)， f (x)dx 稱為被積表達(dá)式，x 稱為積分變量。 如果 ，那么因此，不定積分 可以表示 f (x) 的所有原函數(shù)。

4、 積分常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量8一、原函數(shù)與不定積分的概念 不定積分與微分(求導(dǎo))互為逆運(yùn)算： 注解 由此可見微分運(yùn)算（以記號(hào) d 表示）與求不定積分的運(yùn)算（簡(jiǎn)稱積分運(yùn)算，以記號(hào) 表示）是互逆的，記號(hào) 與 d 一起時(shí)或者抵消，或者抵消后差一常數(shù)。 先積后微，形式不變；先微后積，差個(gè)常數(shù)。9二、不定積分的幾何意義 定義 設(shè) F(x) 是 f (x) 的一個(gè)原函數(shù)， y = F(x) 的圖形稱為 f (x) 的積分曲線。 顯然積分曲線不止一條，而且所有的積分曲線都可以由一條積分曲線沿 y 軸方向平移得到。 不定積分的幾何意義：任一條積分曲線 y = F(x) 沿著 y 軸從 到 +連續(xù)

5、地平行移動(dòng)所產(chǎn)生的一族積分曲線。 例5-1 設(shè)曲線通過點(diǎn) (1, 2)，且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的 2 倍，求此曲線的方程。10二、不定積分的幾何意義 解 設(shè)所求曲線方程為 y=f (x)，由題設(shè)，曲線上任一點(diǎn) (x , y) 處的切線斜率為 即 f (x) 是 2x 的原函數(shù)，因?yàn)?故必存在某個(gè)常數(shù) C，使 因?yàn)樗笄€通過點(diǎn) (1, 2)，所以 C = 1。于是所求曲線方程為： 該例就是求函數(shù) 2x 的通過點(diǎn) (1, 2) 的那條積分曲線。11三、基本積分表 根據(jù)不定積分的定義，求函數(shù) f (x) 的不定積分，只需求出它的一個(gè)原函數(shù)，再加上任意常數(shù) C 即可。 例如：， 所以

6、 是 的一個(gè)原函數(shù)，因此12三、基本積分表 又如，當(dāng) x 0 時(shí)，所以 是 的一個(gè)原函數(shù)，因此當(dāng) x 0） 解 例5-19 求 （其中 a 0）二、應(yīng)用舉例32 例5-20 求 解（其中 a 0）二、應(yīng)用舉例33 例5-21 求 解 在使用第一類換元積分法時(shí)，總是將被積函數(shù)分解成兩個(gè)因式 與 的乘積，然后將 按微分逆運(yùn)算寫成 ，當(dāng)被積函數(shù)的中間變量與積分變量的形式一致時(shí)，就可使用基本積分表中的結(jié)論寫出積分結(jié)果。二、應(yīng)用舉例34 例5-22 求 解二、應(yīng)用舉例35 例5-23 求 解 例5-24 求 解類似可得二、應(yīng)用舉例36 例5-25 求 解類似可得二、應(yīng)用舉例37 例5-26 求 解二、應(yīng)

7、用舉例38 例5-27 求 解 通過上面的例子可以看到，利用第一類換元積分法求不定積分需要一定的技巧，關(guān)鍵是要在被積表達(dá)式中湊出適用的微分因子，進(jìn)而進(jìn)行變量代換，這方面無一般法則可循，但熟記一些常用的湊微分公式是有幫助的。二、應(yīng)用舉例 例5-28 求 解39 例5-29 求 解 例5-30 求 解二、應(yīng)用舉例40 本節(jié)中幾個(gè)例題的結(jié)果通?？梢灾苯邮褂茫F(xiàn)在把它們作為公式補(bǔ)充到第一節(jié)的基本積分表中。三、基本積分表的補(bǔ)充（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）41 例5-31 求 解 例5-32 求 解三、基本積分表的補(bǔ)充第三節(jié) 第二類換元積分法43一、第二類換元積分法法則 用第一

8、類換元積分法能夠求出許多不定積分，但有些不定積分例如卻不能用第一類換元積分法求解。我們引入另一種積分法第二類換元積分法。 下面來介紹幾種第二類換元積分法的常見形式。 定理（第二類換元積分法）設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)， x = (t) 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) ，且 ，則有換元公式44二、無理代換 對(duì)于被積函數(shù)中含有 的不定積分，可令 ，即做變量代換 （a 0），從而把無理函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的積分。 解 令 ，即 ，去掉被積函數(shù)中的根式，此時(shí) dx = 2tdt，于是 例5-33 求45二、無理代換 解 令 ，即 ，則 dx = 2tdt，于是 例5-34 求46二、無理代換 解 令 ，即 ，則 ，于

9、是 例5-35 求47三、三角代換 當(dāng)被積函數(shù)中含有 ， 或 時(shí)（a 0），可以利用三角函數(shù)代換，變根式積分為三角有理式積分。 解 被積函數(shù)中含有 ，所以令 ， 例5-36 求 1. 被積函數(shù)中含有 時(shí)，令則dx = costdt，而 于是48三、三角代換再由 x = sint ，得 t = arcsinx，代回上式有 一般地，可以借助于直角三角形示意圖進(jìn)行變量還原，txa由 ，得49三、三角代換 解 令 ， 例5-37 求 2. 被積函數(shù)中含有 時(shí)，令則 ，于是 txa 50三、三角代換 解 令 ， 例5-38 求 3. 被積函數(shù)中含有 時(shí)，令則 ，于是 txa51三、三角代換 也可以補(bǔ)充基

10、本到基本積分表中。 上述兩例的結(jié)果 第二類換元法主要解決被積函數(shù)含有根式的積分問題，但也要具體問題具體分析， 例如 , 等，使用湊微法更為簡(jiǎn)便。 52四、倒代換 解 令 ， 例5-39 求 當(dāng)被積函數(shù)中分母的次數(shù)較高時(shí)，可以采用倒代換，即令則 ，于是 第四節(jié) 分部積分法54一、分部積分公式 積分法中的另一個(gè)方法是分部積分法，它是乘積求導(dǎo)公式的逆運(yùn)算。 設(shè) u = u(x)，v = v(x) 有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由求導(dǎo)公式 ，得兩邊積分，有即 這就是分部積分公式，使用分部積分公式求不定積分的方法稱為分部積分法。55一、分部積分公式 應(yīng)用分部積分法首先要把被積函數(shù) f (x) 分成兩部分，一部分作為公式

11、中的 u，另一部分作為公式中的 v，然后把積分 寫成 的形式。即 恰當(dāng)?shù)剡x取 u 和 v 是應(yīng)用該方法的關(guān)鍵，選取的原則一是要 v 容易求出，二是要使新的積分 比原來的積分 容易求出。 應(yīng)用分部積分法時(shí)， u 及 v 的選擇是有一定規(guī)律的。下面介紹分部積分法常見的適用題型，以及如何選擇 u 和 v 。56二、多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)乘積的積分 先來看一個(gè)具體例子。 例5-40 求 解 令 u = x， v = cosx，則 v = sinx，于是此題中，若令 u = cosx， v = x，則 ，于是57二、多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)乘積的積分 這樣得到的新積分 反而比原積分 更難求了 。

12、例5-41 求 解 令 u = x， ，則 ，于是 因此，在應(yīng)用分部積分法時(shí)，如果 u 和 v 選取不當(dāng)，就得不出結(jié)果。 當(dāng)被積函數(shù)為多項(xiàng)式（冪函數(shù)）與正（余）弦或指數(shù)函數(shù)的乘積時(shí)，可以考慮應(yīng)用分部積分法，此時(shí)選取多項(xiàng)式（冪函數(shù)）作為 u，這樣可以降低多項(xiàng)式（冪函數(shù)）的次數(shù)。58二、多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)乘積的積分 例5-42 求 解 令 ， ，則 ，于是59三、多項(xiàng)式與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)乘積的積分 如果被積函數(shù)是多項(xiàng)式與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)乘積的形式，可以考慮應(yīng)用分部積分法，并把對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)作為 u。 例5-43 求 解 為使容易求得，選取 u = lnx， ，則 ，于是60三

13、、多項(xiàng)式與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)乘積的積分 例5-44 求 解 為使容易求得，選取 u = arctanx， v = 1，則 v = x，于是61三、多項(xiàng)式與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)乘積的積分 在應(yīng)用比較熟練后，不必再把 u 和 v 明確寫出來，可直接使用分部積分公式。 例5-45 求 解62四、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的積分 如果被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與正（余）弦函數(shù)的乘積，可任選擇其一為 u，但一經(jīng)選定，在后面的解題過程中要始終選擇其為 u。 例5-46 求 解由于上式第三項(xiàng)就是所求的積分 ，把它移到等式左邊，得所以63 有時(shí)求一個(gè)不定積分，需要將換元積分法和分部積分法結(jié)合起來使用。 例5-47 求

14、解 先換元，令 ，則 ， ，于是第五節(jié) 幾種特殊類型的不定積分65一、簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分 定義 兩個(gè)多項(xiàng)式的商 （m、n 為非負(fù)整數(shù)，a0 , a1，am 及 b0 , b1， ，bn 為實(shí)數(shù)，且 a0 0， b0 0）所表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)，又稱為有理分式。 當(dāng) m n 時(shí)，這個(gè)有理函數(shù)為真分式；而當(dāng) m n，這個(gè)有理函數(shù)為假分式。 利用多項(xiàng)式除法，假分式總可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式和的形式。例如： 因此，有理函數(shù)的不定積分主要解決真分式的不定積分問題。66一、簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分 例5-48 求 解67一、簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分 例5-49 求 解 對(duì)于真分式 ，如果分母 可以因式分

15、解為 ，且 與 沒有公因子，則該真分式可以分拆成兩個(gè)真分式的和：則該真分式的不定積分可以化成簡(jiǎn)單的部分分式和的積分。68一、簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分 例5-50 求 解69一、簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分 例5-51 求 解 如果分母不能因式分解，則采用其他方法計(jì)算。70一、簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分 例5-52 求 解71一、簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分 例5-53 求 解 因?yàn)?所以72二、兩種含有三角函數(shù)的不定積分 下面介紹含有兩種比較簡(jiǎn)單的含有三角函數(shù)的不定積分。 1. 形如 （m、n 為非負(fù)整數(shù)) 的不定積分 （1）當(dāng) m、n 至少有一個(gè)是奇數(shù)時(shí)，如果 n 為奇數(shù)，用 cosx 湊微分得到以 sinx 為（中間）變量的多項(xiàng)式的積分；如果 m 為奇數(shù)用 sinx 湊微分得到以 cosx 為（中間）變量的多項(xiàng)式的積分。 （2）當(dāng) m、n 全是偶數(shù)時(shí)，用下面的三角公式，按“降次增角”處理。73二、兩種含有三角函數(shù)的不定積分 例5-54 求下列不定積分： 解 （1） （1） （2） 74二、兩種含有三角函數(shù)的不定積分 （2