一維定態(tài)問題課件

1、 當(dāng)H與t無關(guān)時(shí)，含時(shí)間的薛定諤方程的特解為： 其中 。 方程被稱為不含時(shí)間的薛定諤方程，或稱為能量本征方程。A. 在上述方程中，E實(shí)際上是體系的能量。B. 一般而言，上述方程對(duì)任何E值都有非零解。但由于對(duì)波函數(shù)有一定要求（自然條件），以及一些特殊的邊界要求（ 無窮大位勢(shì)邊界處 等）。這樣能滿足方程的解就只有某些E值。 C. 根據(jù)態(tài)疊加原理是含時(shí)間的薛定諤方程的一個(gè)特解，也就是，是該體系的一個(gè)可能態(tài)。所以普遍的可能態(tài)一定可表為(非定態(tài))通常稱 （其中 ）為定態(tài)波函數(shù)。 （2） 定態(tài)： A. 定態(tài)定義：具有確定能量的態(tài)，稱為體系的定態(tài)，或者說，以波函數(shù) 1體系在初始時(shí)刻（t0）處于一定能量 本征

2、態(tài) ，則在以后任何時(shí)刻，體系都處于這一本征態(tài)上，即 。它隨時(shí)間變化僅表現(xiàn)在因子 上 。3幾率流密度矢不隨時(shí)間變化。4.任何不含 t 的力學(xué)量在定態(tài)的平均值不隨時(shí)間變化.5任何不顯含 t 的力學(xué)量在定態(tài)中取值的幾率不隨時(shí)間變化。B. 定態(tài)的性質(zhì)： 2體系的幾率密度不隨時(shí)間變化。 第三章 一維定態(tài)問題 現(xiàn)在從最簡(jiǎn)單的問題來應(yīng)用所得的原理和方程：一維，不顯含時(shí)間的位勢(shì)且位勢(shì)有一定性質(zhì)時(shí)，如則三維問題可化為一維問題處理。所以一維問題是解決三維問題的基礎(chǔ)。 3.1一般性質(zhì) 設(shè)粒子具有質(zhì)量m，沿x軸運(yùn)動(dòng)，位勢(shì)為 ，于是有 （1）定理1：一維運(yùn)動(dòng)的分立能級(jí)（束縛態(tài)），一般是不簡(jiǎn)并的。 簡(jiǎn)并度（degener

3、acy）：一個(gè)力學(xué)量的某個(gè)測(cè)量值，可在 n 個(gè)獨(dú)立的（線性無關(guān)的）波函數(shù)中測(cè)得，則稱這一 測(cè)量值是具有n 重簡(jiǎn)并度。 如某能量本征值有 n 個(gè)獨(dú)立的定態(tài)相對(duì)應(yīng)，則稱這能量本征值是 n 重簡(jiǎn)并的。 證：假設(shè) , 是具有同樣能量的波函數(shù) (1) (2)從而得 于是 (c是與 x 無關(guān)的常數(shù))對(duì)于束縛態(tài) （或在有限區(qū)域有某值使 ），所以 c0。從而有 若 不是處處為零，則有注意: . 分立能級(jí)是不簡(jiǎn)并的，而對(duì)于連續(xù)譜時(shí)，若一端 ，那也不簡(jiǎn)并。但如兩端都不趨于0（如自由粒子），則有簡(jiǎn)并。 當(dāng)變量在允許值范圍內(nèi)（包括端點(diǎn)）， 波函數(shù)無零點(diǎn)，就可能有簡(jiǎn)并存在。（因常數(shù)c0）。 當(dāng) V(x) 有奇異點(diǎn)，簡(jiǎn)并

4、可能存在。因這時(shí)可能導(dǎo)致 處處為零。 推論：一維束縛態(tài)的波函數(shù)必為實(shí)函數(shù)（可 保留一相因子）。 證 令 （ 都是實(shí)函數(shù)）則 但對(duì)束縛態(tài)，沒有簡(jiǎn)并，所以只有一個(gè)解，因而 Rn 和 In 應(yīng)是線性相關(guān)的，所以 因此， （2）不同的分立能級(jí)的波函數(shù)是正交的。 （1） （2）所以 從而證明得 。（3）振蕩定理：當(dāng)分立能級(jí)按大小順序排列，一般而言，第n+1條能級(jí)的波函數(shù)，在其取值范圍內(nèi)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)（即有n個(gè)x點(diǎn)使 ，不包括邊界點(diǎn)或遠(yuǎn)）。1(x)2(x)3(x)4(x) ( 4）在無窮大位勢(shì)處的邊條件：首先討論V(x)有有限大小的間斷點(diǎn)，由方程即 由于 存在，即 存在，即 的導(dǎo)數(shù)存在，所以函數(shù)連續(xù)，也就是波

5、函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)。 而在位勢(shì)是無窮時(shí)又如何呢？設(shè) 令 , 所以， 得解 要求波函數(shù)有界，所以C0，要求波函數(shù)x=0處連續(xù)，且導(dǎo)數(shù)連續(xù) 當(dāng)E給定，所以， 于是，當(dāng) , 方程有解 這表明，在無窮大的位勢(shì)處，波函數(shù)為0，邊界上要求波函數(shù)連續(xù)，但并不要求再計(jì)及導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。但，幾率密度和幾率流密度矢總是連續(xù)的。 3.2階梯位勢(shì)：-最簡(jiǎn)單的定態(tài)問題 (1) 當(dāng) 令 ， 由波函數(shù)有界, C0 在x0處，波函數(shù)連續(xù)，波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)，解得 , 對(duì)E沒有限制，任何E都可取，即取連續(xù)值。因它不是束縛態(tài)（ ，并不趨于0），但它不簡(jiǎn)并（因 ， ）。 討論： A. 處，經(jīng)典粒子不能去的地方，但仍有一定的幾率發(fā)現(xiàn)量子粒子。

6、B 區(qū)域，有沿x方向的平面波和沿x反方向的平面波, 且振幅相同，構(gòu)成一駐波。 這一駐波，在處為0。 x0 C. 幾率流密度矢： i. 透射幾率流密度矢（ ）jT0（因 是實(shí)函數(shù)） . 在區(qū)域 ，有向右的幾率流密度，即入射幾率流密度矢 = iii. 在區(qū)域， 也有左的幾率流密度，即反射幾率流密度矢 = 所以，總幾率流密度矢為 0。當(dāng) ，入射粒子完全被反射回來，沒有幾率流流入到區(qū)域 中。 定義：1. 反射系數(shù) ，現(xiàn) R=1; 2. 透射系數(shù) ，現(xiàn) T=0。 (2) 當(dāng) , 求粒子從左向右方入射的解。 令 ， 由初條件，粒子由左向右入射，由于在x=0處位勢(shì)有間斷點(diǎn)，所以， 區(qū)域有入射波，也有反射波；

7、但在 處，位勢(shì)無間斷點(diǎn)，所以，只有入射波，無反射波，因此， C0。 由波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)，有 得 ， 結(jié)果有 討論： 在 時(shí)，區(qū)域 有一沿x方向傳播的平面波，顯然， = = 。從而得 反射系數(shù) = 透射系數(shù) = 顯然 上講內(nèi)容定態(tài)薛定諤方程的特解不含時(shí)間的薛定諤方程，或稱為能量本征方程。態(tài)疊加原理(非定態(tài))定態(tài)的性質(zhì)最簡(jiǎn)單的定態(tài)問題一維定態(tài)問題1：一維運(yùn)動(dòng)的分立能級(jí)（束縛態(tài)），一般是不簡(jiǎn)并的。一維束縛態(tài)的波函數(shù)必為實(shí)函數(shù)（可保留一相因子）。2:不同的分立能級(jí)的波函數(shù)是正交的。波函數(shù)的自然條件：?jiǎn)沃?，有界、連續(xù)波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)嗎？當(dāng)勢(shì)場(chǎng)有有限大小的間斷時(shí)，波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，無窮大位勢(shì)不要求波函數(shù)

8、導(dǎo)數(shù)連續(xù)。3.3位壘穿透：（1）EV0 這時(shí)只要將 ，并由 ，得 隧穿效應(yīng)從而有 （3）結(jié)果討論： A （EV0 或E1時(shí)， 當(dāng)EV0時(shí)，仍有一定幾率流被反射,但當(dāng)k1a=n時(shí)，T1，即完全透射過去。這種現(xiàn)象稱為共振透射（僅在 EV0條件下發(fā)生）,這時(shí) 被稱為共振能級(jí)。3.4方位阱穿透：這時(shí)只要將 即可。 其中 ， 。 當(dāng) 時(shí)，則同樣出現(xiàn) ，即共振透射。這時(shí)， ( n 取值應(yīng)保證 En 大于零) 3.5一維無限深方勢(shì)阱 。（1）能量本征值和本征函數(shù)： ， 有解其中 要求波函數(shù)在 處連續(xù)（當(dāng)然，并不要求導(dǎo)數(shù)連續(xù)），于是有 要求A，B不同時(shí)為0，則必須系數(shù)行列式為0。 即 . 代入方程得 . 代入方程得 所以， 相應(yīng)的本征能量為（2）結(jié)果討論： A. 根據(jù)一定邊條件，要求( 處，波函數(shù)連續(xù)），薛定諤方程自然地給出能級(jí)的量子化。 B. 一個(gè)經(jīng)典粒子處于無限深位阱中，可以安靜地躺著不動(dòng)。但對(duì)量子粒子而言， 所以， ， ，即 不能精確為0。因此，無限深方位勢(shì)