天津科技大學11-12學年高等數(shù)學(一.二)A卷

1、題號一二三四五六七八總成績得分判卷人復核人得分一、填空題（每小題3分,共15分）1. 設函數(shù)，則 . 答：1 2. 函數(shù)的極小值是 . 答：03. 交換二次積分的次序為 答：4. 若冪級數(shù)在點條件收斂，此冪級數(shù)的收斂半徑 答：3 5. 若是圓周取逆時針一周，則 答：0 得分二、單項選擇題（每小題3分,共15分）請把答案寫在括號里1. 若函數(shù)由方程確定，則（ ）. 答：B（A）； （B）；（C）； （D）.2若區(qū)域：，則（ ） 答：B （A） 1； （B）2； （C）4； （D）3若區(qū)域由直線及兩坐標軸圍成，記，則與的大小關系是（ ）答：A（A）； （B）； （C）； （D）無法確定. 4設是位

2、于第一卦限的平面，則對面積的曲面積分（ ） 答：C（A）； （B）； （C）； （D）5函數(shù)的麥克勞林級數(shù)為（ ）， 答：D（A）； （B）；（C）；（D） 得分三、多元函數(shù)計算題（共2題,每題6分,共12分）1.求函數(shù)的全微分.解：由，有，（2分） 由變量的對稱性,得（3分）；又.（4分）所以， （6分）2.設函數(shù)，驗證該函數(shù)滿足方程.證明：由于, （2分）； （3分） .（5分）所以, .（6分）得分四、重積分計算題（共2題,每題6分,共12分）1計算二重積分，區(qū)域由直線及圍成解： （3分）（6分）若區(qū)域為（），利用極坐標系計算二重積分解： （3分） （4分）（6分）得分五、線面積分計算題

3、（共2題,每題7分,共14分）1計算曲線積分，其中是螺旋線上對應于從到的一段?。ㄆ渲校┙猓?（4分） （7分）2. 計算曲面積分，其中是圓錐面及平面，圍成的立體的表面外側(cè)解：由高斯公式，原式 （2分）（5分）（7分）得分六、級數(shù)題（共3題,每題6分,共18分）1. 判定級數(shù)是否收斂，如收斂求其和.解：設級數(shù)的部分和為，則 （1分）（3分），（4分）所以，級數(shù)收斂，且和為（6分）2. 判定級數(shù)的收斂性，收斂時，說明是條件收斂，還是絕對收斂.解：令，（1分）而，（3分）故級數(shù)收斂，（4分） 因此，級數(shù)收斂，且為絕對收斂 （6分）3.求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間解：由，（2分）故收斂半徑（4分）因此，冪級數(shù)的收斂區(qū)間是（6分）得分七、極值題（8分）要造一個無蓋的長方形容器,已知底部造價為每平米20元,側(cè)面造價為每平米10元.現(xiàn)想用360元造一個容積最大的容器,求該長方形容器的尺寸.解：設容器的長、寬、高分別為.則容器的容積為,且滿足條件,即. （2分）設，（3分）由 （4分）得到（5分）。代入 得唯一可能的極值點（米）（6分）。因為由問題本身可知的最大值一定存在，所以其最大值一定在這個極值點處取得（7分）。因此，當米時，長方形容器的尺寸最大，其最大容積為立米。（8分）得分八、證明題（6分）設，,且級數(shù)收