高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義

1、-高等數(shù)學(xué)-第一章函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)是微積分的研究對(duì)象，極限是微積分的理論基礎(chǔ)，而連續(xù)性是可導(dǎo)性與可積性的重要條件。它們是每年必考的內(nèi)容之一。第一節(jié)數(shù)列極限與函數(shù)極限 【大綱內(nèi)容】數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義以及它們的性質(zhì)；函數(shù)的左極限與右極限；無(wú)窮小和無(wú)窮的概念及其關(guān)系；無(wú)窮小的性質(zhì)及無(wú)窮小的比較；極限的四則運(yùn)算；極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則；單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則；洛必達(dá)法則；兩個(gè)重要極限：。【大綱要求】理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系；掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則；掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限；掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法；理解無(wú)窮小

2、、無(wú)窮大的概念，掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限；掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法?！究键c(diǎn)分析】數(shù)列極限的考點(diǎn)主要包括：定義的理解，極限運(yùn)算法則的理解，單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則求極限，利用定積分的定義求和式的極限等等。函數(shù)極限的考點(diǎn)主要包括：用洛必達(dá)法則求未定式的極限，由已知極限求未知極限，極限中的參數(shù)問(wèn)題，無(wú)窮小量階的比較等等。一、數(shù)列的極限1.數(shù)列的極限無(wú)窮多個(gè)數(shù)按一定順序排成一列：稱為數(shù)列，記為數(shù)列，其中稱為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)。設(shè)有數(shù)列 和常數(shù)A。若對(duì)任意給定的，總存在自然數(shù)，當(dāng)nN時(shí)，恒有，則稱常數(shù)A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于A，記為或。沒(méi)有極限的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。收斂數(shù)列

3、必為有界數(shù)列，其極限存在且唯一。2.極限存在準(zhǔn)則（1）定理（夾逼定理）設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)恒有，且有， 則極限存在，且等于A .注對(duì)其他極限過(guò)程及數(shù)列極限，有類似結(jié)論. （2）定理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限. 3.重要結(jié)論：（1）若，則，其中為任意常數(shù)。（2）。（3）。【考點(diǎn)一】（1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限. （2）單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞增且無(wú)上界的數(shù)列的極限為.（3）單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且無(wú)下界的數(shù)列的極限為.【評(píng)注】（1）在應(yīng)用【考點(diǎn)一】進(jìn)行證明時(shí)，有些題目中關(guān)于單調(diào)性與有界性的證明有先后次序之分，需要及時(shí)進(jìn)行調(diào)整證明次序。（2）判定數(shù)列的單調(diào)性主要有三種方法：

4、計(jì)算. 若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，計(jì)算. 若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減。令，將n改為x，得到函數(shù)。若可導(dǎo)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減?！纠?證明題】設(shè)數(shù)列滿足證明數(shù)列的極限存在并求極限.【例2證明題】設(shè)f（x）是區(qū)間上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，證明數(shù)列的極限存在?！究键c(diǎn)二】（夾逼準(zhǔn)則）設(shè)有正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則.【評(píng)注】在使用夾逼準(zhǔn)則時(shí)，需要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行“縮小”和“放大”，要注意：“縮小”應(yīng)該是盡可能地大，而“放大”應(yīng)該是盡可能地小，在這種情況下，如果仍然“夾”不住，那么就說(shuō)明夾逼準(zhǔn)則不適用于這個(gè)題目，要改用其他方法?！纠?計(jì)算題】計(jì)算極限：【考點(diǎn)三】用定積分的定義計(jì)算和式的極

5、限：由定積分的定義知，當(dāng)連續(xù)時(shí)，有， 【例4計(jì)算題】求下列極限：【例5選擇題】等于（）【考點(diǎn)四】設(shè)，則。也就是說(shuō)，將數(shù)列中的正整數(shù)改為連續(xù)變量，令，則數(shù)列的極限等于相應(yīng)的函數(shù)的極限，即綜合題也很重要?！纠?解答題】設(shè)在x=0某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且.求極限.【例7選擇題】設(shè), 則極限等于（）【例8證明題】設(shè)，證明：（1）對(duì)于任何自然數(shù)n，方程在區(qū)間中僅有一根。（2）設(shè)二、函數(shù)的極限【考點(diǎn)五】也就是說(shuō)，函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是，左極限與右極限都存在，并且都等于A。 【評(píng)注】在求極限時(shí)，如果函數(shù)中包含或項(xiàng)，則立即討論左右極限和，再根據(jù)【考點(diǎn)五】判斷雙側(cè)極限是否存在?！纠?解答題】確定常數(shù)a的值

6、，使極限存在?！究键c(diǎn)六】使用洛必達(dá)法則求型未定式的極限之前，要將所求極限盡可能地化簡(jiǎn)?；?jiǎn)的主要方法：（1）首先用等價(jià)無(wú)窮小進(jìn)行代換。注意：等價(jià)無(wú)窮小代換只能在極限的乘除運(yùn)算中使用，而不能在極限的加減運(yùn)算中使用，但在極限的加減運(yùn)算中高階無(wú)窮小可以略去；（2）將極限值不為零的因子先求極限；（3）利用變量代換（通常是作倒代換，令）（4）恒等變形：通過(guò)因式分解或根式有理化消去零因子，將分式函數(shù)拆項(xiàng)、合并或通分達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。（5）常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小代換：當(dāng)X0時(shí)，我們有：當(dāng)時(shí)常用的等價(jià)無(wú)窮小1）；2）；3）；4）， ，5)6)7)未定式極限：, ， 0,1 ，00 ，0【例10解答題】求極限.【例11

7、解答題】求極限【例12解答題】設(shè)函數(shù)f（x）在x=0處可微，又設(shè)，函數(shù)，求極限【考點(diǎn)七】求型未定式極限的方法： （1）分子、分母同時(shí)除以最大的無(wú)窮大 （2）使用洛必達(dá)法則【例13解答題】求極限 .【考點(diǎn)八】化和型未定式為型和型的方法是： 型：（1）通分法（2）根式有理化法（3）變量代換法 0型：0【例14解答題】求極限.【例15解答題】求極限： 【例16解答題】求極限 .【例17解答題】求極限.【考點(diǎn)九】（1）求冪指函數(shù)型不定式的極限，常用“對(duì)數(shù)分解式”化為型后再使用洛必達(dá)法則，即（2）計(jì)算型極限的最簡(jiǎn)單方法是使用如下的 型極限計(jì)算公式：設(shè)，則即，A是括號(hào)中1后的函數(shù)與指數(shù)冪的乘積的極限?！纠?/p>

8、18解答題】（北京大學(xué)，2002年）求極限.【例19解答題】計(jì)算.【考點(diǎn)十】（1）已知 ，則有：（2）已知 ，若 ，則 .【評(píng)注】在已知函數(shù)的極限求未知的參數(shù)問(wèn)題時(shí)，【考點(diǎn)十】是主要的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的方法。若且則【例20解答題】設(shè) ，則.【例21選擇題】設(shè)為兩實(shí)常數(shù)，且有，則的值分別為（）（A），（B） ， （C），（D）， 【考點(diǎn)十一】在已知條件或欲證結(jié)論中涉及到無(wú)窮小量階的比較的話，則“不管三七二十一”，先用無(wú)窮小量階的比較的定義處理一下再說(shuō)。【評(píng)注】無(wú)窮小量階的比較，是一個(gè)重要考點(diǎn)。其主要方法是將兩個(gè)無(wú)窮小量相除取極限，再由定義比較階的高低。設(shè)是同一過(guò)程下的兩個(gè)無(wú)窮小，即。若若 則稱

9、是比低階的無(wú)窮??；若若則稱與是等價(jià)無(wú)窮小。若C0,0,則稱是的階無(wú)窮小?！纠?2解答題】已知當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，與是等價(jià)無(wú)窮小，求常數(shù)和?！纠?3選擇題】當(dāng)時(shí)，和都是關(guān)于的n階無(wú)窮小量，而是關(guān)于的m階無(wú)窮小，則（）。 （A）必有m=n（B）必有 （C）必有（D）以上幾種情況都有可能【例24證明題】設(shè)函數(shù)f（x）在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，。證明：存在唯一的一組實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，是比高階的無(wú)窮小。第二節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 【考點(diǎn)分析】主要考點(diǎn)包括：函數(shù)連續(xù)的充要條件，間斷點(diǎn)的類型及其判斷，閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理及其應(yīng)用等。一、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn).函數(shù)連續(xù)性概念連續(xù)： 定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)

10、的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，并稱為連續(xù)點(diǎn)。定義2若函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)左（右）鄰域內(nèi)有定義，并且，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左（右）連續(xù)。顯然，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是在點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)。定義3函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，是指在內(nèi)每點(diǎn)都連續(xù)；在閉區(qū)間上連續(xù)，是指在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，并且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)。使函數(shù)連續(xù)的區(qū)間，稱為的連續(xù)區(qū)間。.函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類定義函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)，即在點(diǎn)處有下列三種情況之一出現(xiàn)：（1）在點(diǎn)附近函數(shù)有定義，但在點(diǎn)無(wú)定義；（2）不存在；（3）與都存在，但，則稱在點(diǎn)處不連續(xù)，或稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。 間斷點(diǎn)的分類：設(shè)為函數(shù)的間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)的分類是以點(diǎn)的

11、左、右極限來(lái)劃分的。 第一類間斷點(diǎn)：若與都存在，則稱為第一類間斷點(diǎn)： （1）若，則稱為跳躍型間斷點(diǎn)，并稱為點(diǎn)的跳躍度； （2）若存在（即=），則稱為可去間斷點(diǎn)。此時(shí)，當(dāng)在無(wú)定義時(shí)，可以補(bǔ)充定義，則在連續(xù)；當(dāng)存在，但時(shí)，可以改變?cè)诘亩x，定義極限值為該點(diǎn)函數(shù)值，則在連續(xù)。 第二類間斷點(diǎn)：若與中至少有一個(gè)不存在，則稱為第二類間斷點(diǎn)，其中若與中至少有一個(gè)為無(wú)窮大，則稱為無(wú)窮型間斷點(diǎn)；否則稱為擺動(dòng)型間斷點(diǎn)?！纠?5解答題】設(shè)函數(shù) 問(wèn)a為何值時(shí)，在x=0處連續(xù)；a為何值時(shí)，x=0是的可去間斷點(diǎn)？【例26解答題】設(shè)，其中試求的表達(dá)式，并求函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左、右極限。【例27解答題】試確定和的值，使有無(wú)窮間

12、斷點(diǎn)，且有可去間斷點(diǎn).二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理1:（有界性定理） 閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù) 必在a,b上有界。定理2:（最大值最小值定理） 閉區(qū)間a,b上的函數(shù)，必在a,b上有最大值和最小值，即在a,b上，至少存在兩點(diǎn) ，使得對(duì)a,b上的一切x，恒有.此處與就是 在a,b上最小值與最大值。定理3:（介值定理） 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a,b連續(xù)，m與M分別為 在a,b上的最小值與最大值，則對(duì)于任一實(shí)數(shù)c（mcM），至少存在一點(diǎn)，使。定理4:（零點(diǎn)定理或根的存在定理） 若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且，則至少存在一點(diǎn)，使?！纠?8解答題】設(shè)函數(shù)在a,b上連續(xù)，且。利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一

13、點(diǎn)，使。【例29解答題】設(shè)為正常數(shù)，證明方程有且僅有三個(gè)實(shí)根，它們分別位于區(qū)間內(nèi)。第三節(jié)函數(shù)、極限、連續(xù)習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題1.區(qū)間a,+)，表示不等式（ ）2.若3.函數(shù)是（ ）。（A）偶函數(shù) （B）奇函數(shù) （C）非奇非偶函數(shù) （D）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)4.函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù) y=f-1（x）的圖形對(duì)稱于直線（ ）。5.函數(shù)6.函數(shù)7.若數(shù)列xn有極限a,則在a的鄰域之外，數(shù)列中的點(diǎn)（ ）（A）必不存在 （B）至多只有有限多個(gè)（C）必定有無(wú)窮多個(gè) （D）可以有有限個(gè)，也可以有無(wú)限多個(gè)8.若數(shù)列 xn 在（a-, a+）鄰域內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)數(shù)列的點(diǎn)，則（ ），（其中 為某一取定的正數(shù)）（A）

14、數(shù)列 xn 必有極限，但不一定等于a；（B）數(shù)列 xn 極限存在且一定等于a；（C）數(shù)列 xn 的極限不一定存在； （D）數(shù)列 xn 一定不存在極限。9.數(shù)列（A）以0為極限 （B）以1為極限（C）以（n-2）/n為極限 （D）不存在極限10.極限定義中與的關(guān)系是（ ）（A）先給定后唯一確定； （B）先確定后確定，但的值不唯一；（C）先確定后給定 ； （D）與無(wú)關(guān)。11.任意給定12.若函數(shù)在某點(diǎn)極限存在，則（ ）（A）在 的函數(shù)值必存在且等于極限值；（B）在的函數(shù)值必存在，但不一定等于極限值；（C） 在的函數(shù)值可以不存在； （D）如果存在則必等于極限值。13.如果與存在，則（ ）（A）存在且

15、；（B）存在但不一定；（C）不一定存在； （D）一定不存在。14.無(wú)窮小量是（ ）（A） 比0稍大一點(diǎn)的一個(gè)數(shù) ； （B）一個(gè)很小很小的數(shù)；（C）以0為極限的一個(gè)變量 ； （D）數(shù)0。 15.無(wú)窮大量與有界量的關(guān)系是（ ）（A）無(wú)窮大量可能是有界量 ； （B）無(wú)窮大量一定不是有界量；（C）有界量可能是無(wú)窮大量； （D）不是有界量就一定是無(wú)窮大量。16.指出下列函數(shù)中當(dāng)X0+ 時(shí)，（ ）為無(wú)窮大量。17.若18.設(shè)19.求20.求21.求22.求23.求24.無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小量之和（ ）（A）必是無(wú)窮小量 ； （B）必是無(wú)窮大量；（C）必是有界量 ； （D）是無(wú)窮小，或是無(wú)窮大，或有可能是有界量。

16、25.兩個(gè)無(wú)窮小量與之積仍是無(wú)窮小量，且與或相比（ ）。（A）是高階無(wú)窮小 ； （B）是同階無(wú)窮??；（C）可能是高階無(wú)窮小，也可能是同階無(wú)窮??；（D）與階數(shù)較高的那個(gè)同階。26.設(shè) （A）0 ； （B）1； （C）1/3 ； （D）3。27.點(diǎn)X=1是函數(shù) 的（ ）。（A）連續(xù)點(diǎn)； （B）第一類非可去間斷點(diǎn) ； （C）可去間斷點(diǎn) ；（D）第二類間斷點(diǎn)。28.方程x4-x-1=0至少有一個(gè)根的區(qū)間是（ ）。（A）（0,1/2）； （B）（1/2,1）； （C）（2,3）； （D）（1,2）。29.設(shè)（A）可去間斷點(diǎn) ； （B）無(wú)窮間斷點(diǎn)； （C）連續(xù)點(diǎn)； （D）跳躍間斷點(diǎn)。30.若二、簡(jiǎn)答題1.

17、若2.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：； .3.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：; .4.求當(dāng)x0時(shí) 的左、右極限，并說(shuō)明它們?cè)趚0時(shí)的極限是否存在。5.設(shè)6.求極限:(1); (2); (3); (4)(5); (6); (7);(8); (9)求; (10)求; (11).三、填空題。1.設(shè)則f(x)的定義域是_，f(0)=_，f(1)=_2.的定義域是_，值域是_.3.若 ，則f(f(x) =_,f(f(f(x) =_.4.若，則f(x)=_.5.設(shè)6.求7.求8.已知9.求10.求11.如果a應(yīng)等于_12.設(shè)則處處連續(xù)的充分必要條件是b=_13.若 若無(wú)間斷點(diǎn)，則a=_14.函數(shù)15.設(shè)16.已知第二

18、章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分是一元函數(shù)微分學(xué)中的兩個(gè)重要概念，在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位，其內(nèi)涵豐富，應(yīng)用廣泛，是考試的主要內(nèi)容之一，應(yīng)深入加以理解，同時(shí)應(yīng)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的各種計(jì)算方法?！究键c(diǎn)分析】本章考點(diǎn)的核心是：導(dǎo)數(shù)與微分的定義，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義。?？键c(diǎn)包括：求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；已知某些極限求指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；在可導(dǎo)條件下求某些極限；在可導(dǎo)條件下求某些參數(shù)；求曲線的切線與法線等。此外，也考到函數(shù)增量與函數(shù)微分之間的關(guān)系，作為填空題或選擇題。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念 一、導(dǎo)數(shù)的定義 定義1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在處有增量（點(diǎn)，），相應(yīng)地函數(shù)有增量，如果極限 存在，則稱該極限值

19、為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（也稱變化率或微商）。此時(shí)，也稱在點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)或在點(diǎn)可導(dǎo)。在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)記為 ,即.若令，則導(dǎo)數(shù)也可用下式表示. 定義2：左、右導(dǎo)數(shù)若令，可得【注意】1.導(dǎo)數(shù)是一種特定形式的極限，使用中常呈現(xiàn)這里h是泛指一個(gè)變量，只要在給定過(guò)程下即可。 2.導(dǎo)函數(shù)可用下式表示 或 3.若在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，并且都存在，則稱在a,b上可導(dǎo)。4.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若在點(diǎn)可導(dǎo)，則它必在點(diǎn)連續(xù)。注意，逆命題不真，即函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，但在點(diǎn)不一定可導(dǎo)?！究键c(diǎn)十二】（1）導(dǎo)數(shù)是特殊形式的極限，可把它看作是兩種重要極限之外的第三種重要極限。（2）常用導(dǎo)數(shù)的定義求一些抽象函數(shù)構(gòu)成的分式函數(shù)的極限，其思路是：先將分式函

20、數(shù)的分子和分母化成下列標(biāo)準(zhǔn)形式，即 然后再用導(dǎo)數(shù)的定義求出未知極限?！纠?解答題】設(shè)在內(nèi)有定義.（1）若極限存在，則在點(diǎn)處是否可導(dǎo)？若在點(diǎn)處可導(dǎo)，請(qǐng)給出證明；若在點(diǎn)處不可導(dǎo)，請(qǐng)給出反例。（2）若在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，證明：?！纠?選擇題】設(shè)可導(dǎo)的充要條件為（）（A）存在； （B）存在；（C）存在 ； （D）存在?！纠?解答題】已知函數(shù)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足【考點(diǎn)十三】（1）在處可導(dǎo)（2）求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先用求導(dǎo)法則及基本公式，求出各分段區(qū)間內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；然后對(duì)各分段點(diǎn)用可導(dǎo)定義或利用左右導(dǎo)數(shù)和上述可導(dǎo)的充要條件進(jìn)行討論。如果某分段點(diǎn)不連續(xù)，當(dāng)然不可導(dǎo)?！纠?選擇題】設(shè)函數(shù)f（x）可導(dǎo)，則是在處可導(dǎo)的（

21、）條件。（A）充要 （B）充分非必要 （C）必要非充分 （D）非充分非必要【例5選擇題】設(shè)在x=0處連續(xù)，則（）（A）b為任意常數(shù)，而a=0 （B）b為任意常數(shù)，而a=e（C）a為任意常數(shù)，而b=0 （D）a為任意常數(shù)，而b=e【考點(diǎn)十四】設(shè)，其中處連續(xù)，則當(dāng)且僅當(dāng)處可導(dǎo)?！纠?選擇題】函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）（A）3 （B）2 （C）1 （D）0【考點(diǎn)十五】（1）過(guò)曲線上的點(diǎn)的切線方程為特別地，若，則在點(diǎn)的切線方程為；若，則在點(diǎn)的切線方程為。（2）過(guò)曲線上的點(diǎn)的法線方程為特別地，若，則在點(diǎn)的法線方程為；若，則在點(diǎn)的法線方程為。（3）兩條曲線相切包含兩層含義： 兩條曲線有公共的交點(diǎn)，即切點(diǎn)；

22、兩條曲線在公共切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，即切線的斜率相等?！纠?解答題】已知f（x）是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=0的某鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式：f（1+sinx）-3f（1-sinx）=8x+，其中是當(dāng) 時(shí)，比x高階的無(wú)窮小，且f（x）在x=1處可導(dǎo)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（6,f（6）處的切線方程?！纠?選擇題】設(shè)周期函數(shù)f（x）在內(nèi)可導(dǎo)，周期為4，又極限，則曲線y=f（x）在點(diǎn)處的法線斜率為（）。 （A） （B）0 （C）1 （D）-2【例9解答題】當(dāng)參數(shù)a為何值時(shí)，拋物線與曲線相切？并求兩條曲線在切點(diǎn)處的公共切線?！纠?0解答題】已知曲線的極坐標(biāo)方程是，求該曲線上對(duì)應(yīng)于處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程。第

23、二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則【考點(diǎn)十六】（1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是最重要的求導(dǎo)法則，計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要按照復(fù)合次序由最外層起，采取層層剝筍的辦法，向內(nèi)一層一層對(duì)中間變量求導(dǎo)數(shù)，直到對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)為止。（2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在x處可導(dǎo)，且（3）注意：符號(hào)的意義不同，符號(hào)的意義也不同?！纠?1解答題】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）【例12選擇題】設(shè)，則等于（）【考點(diǎn)十七】反函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)y=f（x）【例13填空題】設(shè)y=f（x）為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，為其反函數(shù)，且，則.【例14解答題】設(shè)函數(shù)上可導(dǎo)，且其反函數(shù)為g（x）。若 求【考點(diǎn)十八】（1）求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的程序：設(shè)y=

24、y（x）是由方程F（x,y）=0所確定的可導(dǎo)函數(shù)，將x看作自變量，y看作是x的函數(shù)，y的函數(shù)是x的復(fù)合函數(shù).在方程的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可得到一個(gè)含有的方程，從中解出.（2）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的本質(zhì)是：將函數(shù)先化成隱函數(shù)再用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo).冪指函數(shù)，兩端取對(duì)數(shù)得，則函數(shù)表達(dá)式為若干因子連乘積、乘方、開(kāi)方或商的形式，則函數(shù)兩端先取對(duì)數(shù)，然后在等式的兩端再對(duì)x求導(dǎo).【例15解答題】求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù).【例16解答題】設(shè)函數(shù)確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且【考點(diǎn)十九】由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y=y（x）是由參數(shù)方程確定的函數(shù)，（1）若 都可導(dǎo)，且，則【注意】不要把分子與分母寫反了.（2）若二

25、階可導(dǎo)，且，則【注意】不要遺漏了分母中的.【例17解答題】設(shè)【例18解答題】設(shè)，求在處的值.第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)【考點(diǎn)二十】求高階導(dǎo)數(shù)的方法：（1）定義法：用高階導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)。函數(shù)y=f（x）導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，即，記作 。函數(shù)y=f（x）的n階導(dǎo)數(shù)為，也記作。（2）公式法：萊布尼茲公式：設(shè)u（x）,v（x）具有n階導(dǎo)數(shù)，則（3）間接法：對(duì)于有理分式函數(shù)，可以先化成部分分式之和，再利用常見(jiàn)高階導(dǎo)數(shù)公式對(duì)每個(gè)部分分式求高階導(dǎo)數(shù)； 對(duì)于三角函數(shù)有理式，可以通過(guò)和差化積等三角公式化為的形式，然后再求高階導(dǎo)數(shù)。（4）常見(jiàn)的高階導(dǎo)數(shù)公式：【例19解答題】設(shè)，求.【

26、例20解答題】設(shè)，其中在x=a處具有n-1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試求.第四節(jié)微分【考點(diǎn)二十一】（1）微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x及在該區(qū)間內(nèi)，設(shè)函數(shù)的增量，若，其中A（x）僅與x有關(guān)，與無(wú)關(guān)，是比高階的無(wú)窮小，則稱在x點(diǎn)可微，且微分.【評(píng)注】利用微分的定義進(jìn)行解題，是考研試題的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。（2）求微分的方法：設(shè)x為自變量，y為因變量.先求出導(dǎo)數(shù)，用寫出微分。利用一階微分形式不變性，兩端同時(shí)求微分，解出dy【例21填空題】設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則.【例22填空題】設(shè)函數(shù)上有定義，對(duì)任意滿足關(guān)系式： ，其中?！纠?3選擇題】設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量x在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分，

27、若，則（）第五節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè),則在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件為()2.設(shè)函數(shù),其中在處連續(xù)，則是在處可導(dǎo)的（）A.充分必要條件； B.必要但非充分條件；C.充分但非必要條件 ； D.既非充分也非必要條件.3.函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.3； B.2； C.3； D.0。4.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)的充分條件是（）A. 且； B. 且；C. 且； D.f且0時(shí)，?！纠?解答題】設(shè)函數(shù)f（x）在有界且導(dǎo)數(shù)連續(xù)，又對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，。證：?！纠?解答題】設(shè)f（x）在（a,b）（ab0,（0 x0,5.設(shè)函數(shù)f（x）在0,1上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（1）=0.證明：至少存

28、在一點(diǎn)（0,1），使得（2+1）f（）+ f（）=0.6.設(shè)a1a2.an為n個(gè)不同的實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）在a1,an上有n階導(dǎo)數(shù)且f（a1）=f（a2）=f（an）=0，則對(duì)任意 ，都存在（a1,an），使得7.設(shè)函數(shù)f（x）在0,1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少存在一點(diǎn)（0，1），使8.驗(yàn)證函數(shù)f（x）=2x2-x-3在區(qū)間-1,1.5上滿足羅爾定理，并求出定理中的值。9.證明10.證明對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b有|sina-sinb|a-b|11.證明恒等式arcsinx+arccosx=,-1x112.證明方程4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在（0,1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。13.證明當(dāng)

29、x0時(shí)，-高等數(shù)學(xué)-第四章不定積分不定積分是一元函數(shù)積分學(xué)的重要組成部分，是計(jì)算定積分的基礎(chǔ)。不定積分的基本概念是原函數(shù)概念，重點(diǎn)在于不定積分的計(jì)算，運(yùn)算量大，技巧性強(qiáng)，復(fù)習(xí)時(shí)須多做練習(xí)，特別是綜合性題目的練習(xí)。一、不定積分的概念與性質(zhì)1.原函數(shù)設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義，若存在函數(shù)F（x），使得在區(qū)間I上處處有或者，則稱F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù), F（x）+C也是f（x）的原函數(shù)（其中C為任意常數(shù)），且f（x）的任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)。2.不定積分在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f（x）在區(qū)間I上的不定積分，記作.設(shè)F（x）是f（x）在I上的一個(gè)原函數(shù)，那么

30、F（x）+C就是f（x）的不定積分，即。因此f（x）的不定積分就是f（x）的原函數(shù)的全體?！驹u(píng)注】1.在求不定積分時(shí)，求出一個(gè)原函數(shù)F（x）后，一定要加上一個(gè)任意常數(shù)C。2.對(duì)同一個(gè)不定積分，如果積分方法不同，則往往得到形式不同的結(jié)果，這些結(jié)果至多相差一個(gè)常數(shù)，但都正確。為判斷這些結(jié)果的正確性，可以對(duì)這些結(jié)果求導(dǎo)數(shù)進(jìn)行驗(yàn)算。3.初等函數(shù)在其連續(xù)區(qū)間上必有原函數(shù)，但初等函數(shù)的原函數(shù)并不都是初等函數(shù)。例如積分等都不能用初等函數(shù)表示，或者習(xí)慣地說(shuō)“積不出來(lái)”. “積出來(lái)”的只是很小的一部分，而且形式變化多樣，有的技巧性也很強(qiáng)?！究键c(diǎn)三十六】求不定積分與求導(dǎo)或微分運(yùn)算是近似逆運(yùn)算的關(guān)系。若已知F（x）

31、是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則“不管三七二十一”，馬上寫出關(guān)系式：和，然后再進(jìn)一步計(jì)算即可。特別地，應(yīng)掌握公式（1）（2）【例1解答題】若函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)是，則（）是f（x）的一個(gè)原函數(shù).A.B.C. D.【答疑編號(hào)911040101】解：若所以正確答案是：C【例2解答題】設(shè)F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，已知，且當(dāng)時(shí)，F(xiàn)（x）0，求f（x）. 【答疑編號(hào)911040102】解：分離變量得：兩邊乘2求積分得：由已知條件代入得：C0，可得二、基本積分法1.第一換元積分法（也稱湊微分法）設(shè)f（u）是u的連續(xù)函數(shù)，及其導(dǎo)數(shù)是x的連續(xù)函數(shù)，又，則.【湊微分法常見(jiàn)類型及換元關(guān)系】（1），a0，u=ax+b

32、（2）（3）（4）（5）（6）（7）d（arctanx）,u=arctanx（8）（9）（10）d（arcsubx），u=arcsinx（11），先將三角函數(shù)積化和差再湊微分。（12）若m與n皆為偶數(shù)，則用倍角公式化簡(jiǎn)被積函數(shù)；若m與n中至少有一個(gè)奇數(shù)，則將奇次冪因子拆成一個(gè)一次冪因子并與dx湊微分，所剩偶次冪因子利用，其中m，n為非負(fù)整數(shù)?！究键c(diǎn)三十七】利用第一換元積分法（也稱湊微分法）求不定積分，其關(guān)鍵是被積函數(shù)g（x）可以看作為兩個(gè)因子與的乘積，即g（x）=，且一個(gè)因子是的函數(shù)，另一個(gè)因子是的導(dǎo)數(shù)?！纠?解答題】求下列不定積分：（1）【答疑編號(hào)911040103】解：整理得：（2）解：令

33、由上面兩個(gè)公式可得：a=1，b=1【例4解答題】求下列不定積分：（1）【答疑編號(hào)911040104】解：由可得（2）【答疑編號(hào)911040105】解：令可得（3）【答疑編號(hào)911040106】解：把分母有理化可得【例5解答題】求下列不定積分：（1）【答疑編號(hào)911040107】解：拆分得：（2）【答疑編號(hào)911040108】解：配方得令t=x-3可得【例6解答題】求下列不定積分：【答疑編號(hào)911040109】解：變形得：2.第二換元積分法設(shè)f（x）連續(xù)，難于計(jì)算，可選擇連續(xù)可微且導(dǎo)數(shù)無(wú)零點(diǎn)的函數(shù),如果則，其中的反函數(shù)?！镜诙Q元法常見(jiàn)類型及換元關(guān)系】（1）被積函數(shù)中含有，可試用，這里n為自然數(shù)

34、；（2）被積函數(shù)中含有，可試用x=asinu；（3）被積函數(shù)中含有，可試用x=atanu，（4）被積函數(shù)中含有，可試用x=asecu，（5）令稱為倒代換。當(dāng)被積函數(shù)以商的形式出現(xiàn)且分子的次數(shù)比分母的次數(shù)小得較多時(shí)，不少積分不妨用此法一試。（6）被積函數(shù)中同時(shí)含有，其中為分?jǐn)?shù)，可試用。這里m為的分母的最小公倍數(shù)?！纠?解答題】求下列不定積分：（1）【答疑編號(hào)911040110】解：令可得令得（2）【答疑編號(hào)911040111】解：令變形得：3.分部積分法設(shè)u=u（x）與v=v（x）一階連續(xù)可微，則有或，這就是分部積分法公式.用分部積分法公式求的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x擇u與dv。先把f（x）看成兩個(gè)因子之積，即，再把其中一個(gè)因子與dx合成dv（求其積分得v），另一個(gè)因子為u。至于u與dv的選擇一般有如下原則：（1）容易積分；（2）比易于計(jì)算。當(dāng)被積函數(shù)為不同類的兩個(gè)函數(shù)之積時(shí)，通常