流體力學(xué)課后習(xí)題詳解(第三、四章)

1、第三章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)3-1解：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程3-2 解：由和,得故3-3解：當(dāng)t=1s時(shí)，點(diǎn)A（1,2）處的流速流速偏導(dǎo)數(shù)點(diǎn)A(1,2)處的加速度分量3-4解：(1)跡線微分方程為將u,t代入，得利用初始條件y(t=0)=0,積分該式，得將該式代入到式（a）,得dx=(1-t2/2)dt.利用初始條件x(t=0)=0,積分得 聯(lián)立（c）和（d）兩式消去t,得過(guò)（0,0）點(diǎn)的跡線方程(2)流線微分方程為=.將u,v代入，得將t視為參數(shù)，積分得據(jù)條件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流線方程為3-5 答：3-6 解：3-7 證：設(shè)微元體abcd中心的速度為u,u。單位時(shí)間

2、內(nèi)通過(guò)微元體各界面的流體體積分別為根據(jù)質(zhì)量守恒定律，有略去高階無(wú)窮小項(xiàng)（dr）2和drd,且化簡(jiǎn)，得3-8 解：送風(fēng)口流量斷面1-1處的流量和斷面平均流速斷面2-2處的流量和斷面平均流速斷面3-3處的流量和斷面平均流速3-9解：分叉前干管的質(zhì)量流量為Qm0=V0。設(shè)分叉后叉管的質(zhì)量流量分別為Qm1和Qm2,則有故解得3-10 解：3-11解：線變形速率角變形速率渦量3-12 解：（9）和（10）不滿足連續(xù)方程，不代表流場(chǎng)3-13 解：任意半徑r的圓周是一條封閉流線，該流線上線速度u=0r,速度環(huán)量(2)半徑r+dr的圓周封閉流線的速度環(huán)量為得忽略高階項(xiàng)20dr2，得 d（3）設(shè)渦量為，它在半徑

3、r和r+dr兩條圓周封閉流線之間的圓環(huán)域上的積分為d。因?yàn)樵趫A環(huán)域上可看作均勻分布，得將圓環(huán)域的面積dA=2rdr代入該式，得可解出=2+dr/r。忽略無(wú)窮小量dr/r，最后的渦量3-14 解：由u和u=Cr,得依據(jù)式（3-5a）和（3-5b）,有可見(jiàn)，ar=-C2(x2+y2)1/2=- u2/r,a=0。顯然，ar代表向心加速度。（2）由u=0和u=C/r,得可見(jiàn)，ar=-C2(x2+y2)1/2=- u/r,a=0。顯然，ar代表向心加速度。3-15 解：當(dāng)矩形abcd繞過(guò)O點(diǎn)的z向軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，在亥姆霍茲分解式（3-36）中，只有轉(zhuǎn)動(dòng)，沒(méi)有平移，也沒(méi)有變形。故有其中，稱是z向角速率。

4、據(jù)題意，=/4rad/s.（2）因?yàn)榫匦蝍bdc的各邊邊長(zhǎng)都保持不變，故沒(méi)有線變性；ab邊和ac邊繞過(guò)O點(diǎn)的Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，表明沒(méi)有平移運(yùn)動(dòng)；對(duì)角線傾角不變，表明沒(méi)有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。根據(jù)亥姆霍茲分解式（3-36），有其中，角變形速率3-16 解：（1）由已知流速u(mài)=y和v=0，得=0,=。依據(jù)式(3-33),角變形速率依據(jù)式（3-32），得角速率（2）t=0時(shí)刻的矩形，在時(shí)段dt內(nèi)對(duì)角線順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為 在t=0.125和t=0.25時(shí)刻，轉(zhuǎn)角為=和=因?yàn)?0，故沒(méi)有線變形。矩形各邊相對(duì)于對(duì)角線所轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為在t=0.125和t=0.25時(shí)刻，=dt=和=。因?yàn)閷?duì)角線順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了，故矩形沿y向的兩條邊得

5、順時(shí)針角為，而與x軸平行的兩條邊轉(zhuǎn)角為0.依據(jù)u=y知，當(dāng)時(shí)流速u(mài)之差值為，在dt=0.125和dt=0.25時(shí)段，位移差值為，.這驗(yàn)證了與y軸平行的兩條邊的順時(shí)針轉(zhuǎn)角。 第四章4-1 社固定平行平板間液體的斷面流速分布為 總流的動(dòng)能修正系數(shù)為何值？ 解 將下面兩式y(tǒng)Bumaxu(y)xo代入到動(dòng)能修正系數(shù)的算式得4-2 如圖示一股流自狹長(zhǎng)的縫中水平射出，其厚度 ，平均流速 ，假設(shè)此射流受中立作用而向下彎曲，但其水平分速保持不變。試求（1）在傾斜角 處的平均流速V；（2）該處的水股厚度 。解 在45處，水平分速為V0，故射流平均流速為由連續(xù)性條件，在處的單寬流量與噴口處相等，oVo45即故4-

6、3 如圖所示管路，出口接一管嘴，水流射入大氣的速度 ，管徑,管嘴出口直徑,壓力表斷面至出口斷面高差H=5m,兩斷面間的水頭損失為。試求此時(shí)壓力表的讀數(shù)。 解 由總流連續(xù)性條件 ，得根據(jù)總流伯諾里方程取，已知，得即壓力表讀數(shù)為2048個(gè)大氣壓。4-4 水輪機(jī)的圓錐形尾水管如圖示。一直A-A斷面的直徑 ，流速，B-B斷面的直接 ，由A到B水頭損失。求（1）當(dāng)z=5m時(shí)A-A斷面處的真空度（2）當(dāng)A-A斷面處的允許真空度為5m水柱高度時(shí)，A-A斷面的最高位置解： 由水流連續(xù)性知取水面為基準(zhǔn)面,，且取，得斷面B-B的總能頭AABB1mz斷面A-A與B-B之間能量方程可寫(xiě)成其中，由A到B水頭損失當(dāng)z=5

7、m時(shí)（取），有故A-A斷面的真空度為將和z=zmax代入式（a），得A-A斷面的最高位置4-5 水箱中的水從一擴(kuò)散短管流到大氣中，如圖示。若直徑 該處絕對(duì)壓強(qiáng),而直徑求作用水頭H (水頭損失可以忽略不計(jì)) 解： 基準(zhǔn)面0-0，斷面1-1、2-2、3-3如圖示。在1-1與2-2斷面之間用伯諾里方程（取 QUOTE ）已知由水流連續(xù)性，得代入到伯諾里方程， 或解出流速水頭列出斷面3-3、2-2之間的伯諾里方程將代入得出作用水頭4-6一大水箱中的水通過(guò)一鉛垂管與收縮管嘴流入大氣中，如圖。直管直徑=100mm，管嘴出口直徑=500mm，若不計(jì)水頭損失，求直管中A點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)。解： 斷面1-1位于水面上

8、，斷面A和斷面B分別通過(guò)A、B點(diǎn)。列出斷面1-1與B之間的伯諾里方程利用已知條件且取，得斷面B的流速水頭由連續(xù)性，算出斷面A的流速和水頭寫(xiě)斷面1-1與A之間的伯諾里方程將下列數(shù)據(jù)代入該式且取，得4-7離心式通風(fēng)機(jī)用集流器C從大氣中吸入空氣，如圖示。在直徑d=200mm的圓截面管道部分接一根玻璃管，管的下端插入水槽中。若玻璃管中的的水面升高H=150mm，求每秒鐘所吸取的空氣量Q?？諝獾拿芏?1.29kg/。解： 設(shè)圓截面管道的斷面平均流速 為V，壓強(qiáng)為p.由于距離集流器C較遠(yuǎn)處大氣流速 為零以，若不計(jì)損失，假定集流器中空氣密度與外部大氣的密度相同，管道斷面與遠(yuǎn)處大氣之間的不可壓氣體的能量方程可

9、寫(xiě)成玻璃管液面壓強(qiáng)為p，若為水的密度，有靜壓強(qiáng)關(guān)系故從能量方程中可解得由此得4-8水平管路的過(guò)水流量Q=2.5L/s，如圖示。管路收縮段由直徑=50mm收縮成=25mm。相對(duì)壓強(qiáng) =0.1at，兩段面間水頭損失可忽略不計(jì)。問(wèn)收縮斷面上的水管能將容器內(nèi)的水吸出多大的高度h？解：在1與2兩斷面之間應(yīng)用伯諾里方程 取，已知可解出故0.3mm升坎1.8m0.12mm依據(jù)吸水管的靜壓強(qiáng)關(guān)系，得出高度4-9圖示矩形斷面渠道，寬度B=2.7m。河床某處有一高度0.3m的鉛直升坎，升坎上、下游段均為平底。若升坎前的水深為1.8m，過(guò)升坎后水面降低0.12m，水頭損失為尾渠（即圖中出口段）流速水頭的一半，試求渠

10、道所通過(guò)的流量Q。解： 取斷面1-1和2-2如圖。依據(jù)連續(xù)性方程，得或?qū)懗鰞蓴嗝嬷g的能量方程 若基準(zhǔn)面o-o取在圖示升坎前來(lái)流的水面上，有代入到能量方程，得聯(lián)立求解（a）、（b）兩方程，得故渠道能過(guò)的流量4-10 圖示抽水機(jī)功率為，效率為，將密度的油從油庫(kù)送入密閉油箱。已知管道直徑 ，油的流量 ，抽水機(jī)進(jìn)口B處真空表指示為-3m水柱高，假定自抽水機(jī)至油箱的水頭損失為油柱高，問(wèn)此時(shí)油箱內(nèi)A點(diǎn)的壓強(qiáng)為多少？解： 選取面A位于油液面上，斷面B位于抽水機(jī)進(jìn)口。寫(xiě)出兩面之間有能量輸入的能量方程其中， QUOTE 為單位重量油體通過(guò)抽水機(jī)后增加的能理。由水泵軸功率計(jì)算公式得由連續(xù)性，得由能量方程可解出油

11、箱A壓強(qiáng)4-11 如圖所示虹吸管由河道A向渠道B引水，已知管徑 ，虹吸管斷面中心點(diǎn)2高出河道水位 ，點(diǎn)1至點(diǎn)2的水頭損失為，點(diǎn)2至點(diǎn)3水頭損失 ，V表示管道的斷面平均流速，若點(diǎn)2的真空度限制在以內(nèi)，試問(wèn)（1）虹吸管的最大流量有無(wú)限制？如有，應(yīng)為多大？（2）出水口到河道水面高差h有無(wú)限制？如有，應(yīng)為多大？解： 取面1位于河道A的自同面上，斷面2過(guò)點(diǎn)2.寫(xiě)出兩斷面間能量方程將代入，得當(dāng)。因此有求解后，得即應(yīng)當(dāng)將最大流量限制在23.4 L/s以內(nèi) 斷面3位于虹吸管的出口。寫(xiě)出面1與3之間的能量方程解得故應(yīng)限制h不應(yīng)大于5.89m4-12 圖示分流叉管，斷面1-1處得過(guò)流斷面積解： 取1-1和2-2斷

12、面，有代入各項(xiàng)數(shù)據(jù)，得由此解出(1)取1-1和3-3斷面，有代入各項(xiàng)數(shù)據(jù)，得 解之得 ，有解得將其代入到式（a），得故4-13定性繪制圖示管道的總水頭線和測(cè)管水頭線。答 總水頭線和測(cè)管水頭線如圖示。4-14 試證明均勻流的任意流束在兩斷面之間的水頭損失等于兩斷面的測(cè)管水頭差。證 在均勻流中斷央1-1和2-2之間取任意流束，用z、p、V 表示流束斷面的高程、壓強(qiáng)和流速，hw表示兩斷面之間流束的能量損失。寫(xiě)出該流束的能量方程設(shè)z、p表示總流斷面的高程、壓強(qiáng)。依據(jù)均勻流任一斷面上測(cè)管水頭等值，有依據(jù)均勻流的任意兩面都滿足得或4-15當(dāng)海拔高程z的變幅較大時(shí)，大氣可近似成理想氣體，狀態(tài)方程為，其中R為

13、氣體常數(shù)。試推求 隨z變化的函數(shù)關(guān)系。解：設(shè)pao、T0分別表示z=0處的大氣壓強(qiáng)和溫度， QUOTE 分別表示高程z處的大氣壓強(qiáng)和溫度。將狀態(tài)方程該寫(xiě)成，利用溫度隨z變化的線性關(guān)系，得大氣的壓強(qiáng)足靜壓強(qiáng)分布規(guī)律，可依據(jù)式（2-11）寫(xiě)出將式（a）代入，得或改寫(xiě)成利用邊界條件積分上式，得故隨z變化的函數(shù)關(guān)系為將該式代入式（a），令表示z=0處大氣密度，得函數(shù)，即4-16 鍋爐排煙風(fēng)道如圖所示。已知煙氣密度為，空氣密度為，煙囪高，煙囪出口煙氣的流速為（1）若自鍋爐至煙囪出口的壓強(qiáng)損失為，求風(fēng)機(jī)的全壓。（2）若不安裝風(fēng)機(jī)，而是完全依靠煙囪的抽吸作用排煙，壓強(qiáng)損失應(yīng)減小到多大？ 解 （1）煙氣密度與

14、空氣密度的差別較大，應(yīng)考慮大氣對(duì)煙氣的浮力作用。取鍋爐進(jìn)風(fēng)口斷面1-1，煙囪出口斷面2-2.依據(jù)式（4-42），取，有其中，風(fēng)機(jī)全壓 是輸入的能量。斷面1-1和2-2的相對(duì)壓強(qiáng)均為當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)，即。忽略斷面1-1的動(dòng)壓 ，可解出風(fēng)機(jī)全壓（2）當(dāng)不安裝風(fēng)機(jī)時(shí) ，有這表明，壓強(qiáng)損失應(yīng)減小到77.6Pa以下4-17 管道泄水針閥全開(kāi)，位置如圖所示。已知管道直徑，出口直徑，流速，測(cè)得針閥拉桿受力F=490N ，若不計(jì)能量損失，試求連接管道出口段的螺栓所受到的水平作用力。解 管道流量管道內(nèi)斷面平均流速為根據(jù)能量方程 ，得設(shè)螺栓作用力為R。出口段水體的動(dòng)量方程為R為負(fù)表示作用力向左，即拉力。4-18嵌入支

15、座內(nèi)的一段輸水管，其直徑由，如圖示。當(dāng)支座前的壓強(qiáng) （相對(duì)壓強(qiáng)），流量為時(shí)，試確定漸變段支座所受的軸向力R（不計(jì)水頭損失）。解 取圖示1-1和2-2斷面，由能量方程其中，流速設(shè) 為管道漸變段對(duì)水流的作用力，方向向右為正，則斷面1-1和2-2之間的水體動(dòng)量方程為 表示方向向左，即支座作用水流的力方向向左。表示支座所受軸向力的方向向右。4-19斜沖擊射流的水平面俯視圖如圖所示，水自噴嘴射向一與其交角成的光滑平板上（不計(jì)摩擦阻力）。若噴嘴出口直徑，噴射流量，試求射流沿平板向兩側(cè)的分流流量 以及射流對(duì)平板的作用力F。假定水頭損失可忽略不計(jì)，噴嘴軸線沿水平方向。解噴嘴出口斷面0-0的平均流速由能量方程和

16、水頭損失不計(jì)的條件知，單面1-1和2-2-處的流速由連續(xù)性有為了方便求解，建立圖示坐標(biāo)系，x軸沿平板法向，y軸沿平板切向?？刂企w取為噴嘴出口0-0斷面、斷面1-1和2-2之間的水體。因不計(jì)摩擦力，平板作用力的y向分量為零，故依據(jù)方程（4-48b）可寫(xiě)出總流的y向動(dòng)量方程其中，流出動(dòng)量 中因?yàn)?沿y反向，前面加負(fù)號(hào)。聯(lián)解（a）和（b）兩式，得在向上，控制體的流入動(dòng)量為，流出動(dòng)量為零。設(shè)平板對(duì)射流的作用力為，假定作用力矢量當(dāng)沿x正向時(shí)取正。依據(jù)方程（4-48a），寫(xiě)出總流的x向動(dòng)量方程 負(fù)值表示該作用力沿x軸反向。射流對(duì)平板的作用力它的作用方向沿x正向。4-20 一平板垂直于自由水射流的軸線放置（

17、如圖示），截去射流流量的一部分 ，并引起剩余部分 偏轉(zhuǎn)一角度。已知射流流量，射流流速，且，試求射流對(duì)平板的作用力以及射流偏轉(zhuǎn)角（不計(jì)摩擦力和重力）解 建立圖示坐標(biāo)系。控制體取為斷面0-0、斷面1-1 和2-2 之間的水體。作用力矢量當(dāng)沿坐標(biāo)軸正向時(shí)取正值。依據(jù)方程（4-48），寫(xiě)出總流的x向、y向動(dòng)量方程為其中，R表示平板對(duì)射流的作用力。因?yàn)楹雎阅Σ粒势桨鍖?duì)射流作用力的y向分量為零。由水流連續(xù)性，有由能量方程有 由式（b）中可解出射流偏轉(zhuǎn)角由式（a），得負(fù)號(hào)表明，平板對(duì)射流的作用力方向向左（沿x反向）。射流對(duì)平板的作用力為-R，其大小為456.5N，方向向右（沿x正向）。 4-21 水流通過(guò)

18、圖示圓截面收縮彎管。若已知彎管直徑，流量。斷面A-A的相對(duì)壓強(qiáng)，管道中心線均在同一水平面上。求固定此彎管所需的力（可不計(jì)水頭損失）。解 先計(jì)算斷面A、B的面積和流速：由能量方程 ， 得作用力矢量當(dāng)沿坐標(biāo)軸 正向時(shí)取正值。依據(jù)方程（4-48），寫(xiě)出總流的x向動(dòng)量方程因?yàn)閿嗝鍮的壓力沿x軸反向，故前面加負(fù)號(hào)。解該式，得負(fù)號(hào)表示管壁對(duì)水流的作用力實(shí)際方向沿x反向。故，固定彎管所需要的力大小為6023.23N，方向向左。類似地，總流的y向動(dòng)量方程可寫(xiě)成其中，因?yàn)閿嗝鍮的壓力沿y反向，故前面取負(fù)號(hào)。解得表示該分量的實(shí)際方向沿y反向。故，固定彎管的力大小為4382.2N，方向向下。 4-22 試求出題4-

19、5圖中所示短管出流的容器支座受到的水平作用力。 解 習(xí)題4-5中已解出：選取短管出口斷面上游的所有水體為控制體，取x軸方向沿著短管出流方向，設(shè)容器壁對(duì)水體的作用力為F，當(dāng)沿坐標(biāo)軸正向時(shí)取正值。依據(jù)動(dòng)量方程（4-48a）,有其中 直徑 F0.表明容器壁對(duì)水體的作用力沿正向。容器支座受到的水平推力大小為426.2N,方向向左（這就是射流的后座力）。4-23 淺水中有一艘噴水船以水泵作為動(dòng)力裝置向右方航行，如圖示。若水泵的流量，船前吸水的相對(duì)速度，船尾出水的相對(duì)速度。試求噴水船的推進(jìn)力R。解 選取控制體位于噴水船水管進(jìn)口與出口之間，方向向右，沿坐標(biāo)軸正向的作用力分量取正值。依據(jù)動(dòng)量方程（4-48a）

20、，寫(xiě)出向動(dòng)量方程其中，-R是船體對(duì)水體的作用力，而噴水傳推進(jìn)力R沿著正向。解出 4-24 圖示一水平放置的具有對(duì)稱臂的灑水器，臂懸半徑R=0.25m，噴嘴直徑d=10mm,噴嘴傾角=45 若總流量Q=0.56L/s 求（1） 不計(jì)摩擦?xí)r的最大旋轉(zhuǎn)角速度；（2）=5rad/s 時(shí)為克服摩擦應(yīng)施加多大的扭矩M 以及所作功率P。解 （1）噴嘴的噴射流速選取隨旋臂一起轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系如圖示，控制體為斷面1-2之間的右側(cè)彎頭段。總流的y向動(dòng)量方程為其中，F(xiàn)為彎頭對(duì)水流的作用力，左側(cè)彎頭的作用力為-F。當(dāng)F=0時(shí)，有（2）兩個(gè)彎頭的作用力形成力偶，其扭矩。當(dāng)一定時(shí),扭矩 4-25圖示一水射流垂直沖擊平板ab，

21、在點(diǎn)c處形成滯點(diǎn)。已知射流流量，噴口直徑。若不計(jì)黏性影響，噴口斷面流速均勻，試求滯點(diǎn)c處的壓強(qiáng)。解 噴口斷面平均流速取1點(diǎn)位于噴口中心，噴口斷面流速分布均勻，1點(diǎn)流速 。1、c兩點(diǎn)在同一直線上，寫(xiě)出該流線的伯努力方程4-26 已知圓柱繞流的流速分量為，其中為圓柱的半徑，極坐標(biāo)的原點(diǎn)位于圓柱中心上。（1）求流函數(shù)，并畫(huà)出流譜 ；（2）若無(wú)窮遠(yuǎn)出來(lái)流的壓強(qiáng)為，求處即圓柱表面上的壓強(qiáng)分布。解（1）依據(jù)流函數(shù)定義式（4-68），有利用給定的表達(dá)式，得積分該式,有其中，是依賴的常數(shù)。因?yàn)閳A柱表面是流線，該流線上常數(shù)，該常數(shù)可以任取?，F(xiàn)取,故流函數(shù)為流譜如圖所示。（2）曲線在不計(jì)重力的條件下，該流線上成立

22、伯努利方程在圓柱表面上，帶入給定的流速表達(dá)式，得將U代入式（a），得圓柱表面的壓強(qiáng)4-27已知兩平行板間的流速場(chǎng)解 （1）由流函數(shù)的定義式（4-58），有(2)單寬流量4-28 設(shè)有一上端開(kāi)口、盛有液體的治理圓筒如圖所示，繞其中心鉛直軸作等速運(yùn)動(dòng)，角速度為。圓筒內(nèi)的液體也隨作等速運(yùn)動(dòng)，液體質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，速度分布為。試用歐拉方程求解動(dòng)壓力的分布規(guī)律及自由液面的形狀。解 作用在液體上的單位質(zhì)量力流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為根據(jù)歐拉運(yùn)動(dòng)方程，有即或故壓強(qiáng)全導(dǎo)數(shù)設(shè)自由面上4-29 圖示一平面孔口流動(dòng)（即狹長(zhǎng)縫隙流動(dòng)），因孔口尺寸較小，孔口附近的流場(chǎng)可以用平面點(diǎn)匯表示，點(diǎn)匯位于孔口中心。已知孔口的作用水頭H=

23、5m，單寬出流流量，求圖中a點(diǎn)的流速大小、方向和壓強(qiáng)。解 小孔口流動(dòng)相當(dāng)于強(qiáng)度2q的平面點(diǎn)匯流動(dòng)。根據(jù)平面點(diǎn)匯流動(dòng)的流速公式，有流速方向沿著a點(diǎn)與孔口中心連線的方向。在過(guò)a點(diǎn)連線上，自由面與a點(diǎn)之間的伯努利方程為其中 表示自由面高程，表示a點(diǎn)的壓強(qiáng)。將代入上式，得故a點(diǎn)壓強(qiáng)為6m水柱高。4-30完全自水流井汲水時(shí)產(chǎn)生的滲流場(chǎng)可以用平面點(diǎn)匯流動(dòng)求解。圖示自流井位于鉛直不透水墻附近，滲流場(chǎng)為圖示兩個(gè)點(diǎn)匯的疊加，兩者以不透水墻為對(duì)稱面。求汲水流量 時(shí)，流動(dòng)的勢(shì)函數(shù) ，以及沿壁面上的流速分布。解 該滲流場(chǎng)相當(dāng)于（-2，0）點(diǎn)上強(qiáng)度Q的點(diǎn)匯和 （+2，0）點(diǎn)上強(qiáng)度Q的點(diǎn)匯的疊加。對(duì)于x=a處的點(diǎn)匯誘導(dǎo)的

24、流場(chǎng)，有流函數(shù) ；勢(shì)函數(shù) 對(duì)于在x=-a處的點(diǎn)匯誘導(dǎo)的流場(chǎng)，有流函數(shù) ；勢(shì)函數(shù) 根據(jù)勢(shì)流疊加原理，兩個(gè)點(diǎn)匯疊加誘導(dǎo)的流場(chǎng)中任一點(diǎn)P（x，y）處的流函數(shù)、勢(shì)函數(shù)分別為4-31 圖示一盛水圓桶底中心有一小孔口，孔口出流時(shí)桶內(nèi)水體的運(yùn)動(dòng)可以由蘭金渦近似，其流速分布如圖所示：中心部分為有旋流動(dòng)，外部 為有勢(shì)流動(dòng) ，其中 。設(shè)孔口尺寸很小,也很小，圓桶壁面上的流速，流動(dòng)是恒定的。（1）求速度環(huán)量 的徑向分布；（2）求水面的形狀解（1）速度環(huán)量 。對(duì)中心部分 的流速分布式積分，得對(duì)外部 的流速分布式積分，得（2）在外部 ，依據(jù)無(wú)旋流動(dòng)的伯諾里方程，對(duì)任意點(diǎn)均有自由面上，代入上式，得自由面方程利用桶壁條件 故自由面方程可寫(xiě)成 (a)在中心部分的有旋流動(dòng)是一個(gè)柱狀強(qiáng)迫渦， 其流速分布與習(xí)題 4-28直立圓桶繞中心鉛直軸等速運(yùn)動(dòng)的流速分布為速度分布為 完全相同。由習(xí)題4-28知，自由面方程可寫(xiě)成 (b)為了確定r=0處自由面高程 代入（a）、（b）兩式，消去z，得。故式（b）可改成式（a）和（c