工程數(shù)學線性代數(shù)第六版第一章通用PPT課件

1、第一章 行列式一. 二（三）階行列式二. 排列與逆序三. n 階行列式的定義四. 行列式的性質五. 行列式按一行（列）展開六. Cramer 法則 行列式概念的形成 行列式的基本性質及計算方法（定義） 利用行列式求解線性方程組線性代數(shù)是數(shù)學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要課題；因而，線性代數(shù)被廣泛地應用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應用于自然科學和社會科學中。線性代數(shù)是理工類

2、、經(jīng)管類數(shù)學課程的重要內容 由于費馬和笛卡兒的工作，線性代數(shù)基本上出現(xiàn)于十七世紀。直到十八世紀末，線性代數(shù)的領域還只限于平面與空間。十九世紀上半葉才完成了到n維向量空間的過渡 矩陣論始于凱萊，在十九世紀下半葉，因若當?shù)墓ぷ鞫_到了它的頂點1888年，皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無限維向量空間。托普利茨將線性代數(shù)的主要定理推廣到任意體上的最一般的向量空間中線性映射的概念在大多數(shù)情況下能夠擺脫矩陣計算而引導到固有的推理，即是說不依賴于基的選擇。不用交換體而用未必交換之體或環(huán)作為算子之定義域，這就引向模的概念，這一概念很顯著地推廣了向量空間的理論和重新整理了十九世紀所研究過的情況。 “代數(shù)”這一

3、個詞在我國出現(xiàn)較晚，在清代時才傳入中國，當時被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數(shù)學家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為“代數(shù)學”，一直沿用至今。 線性代數(shù)是討論矩陣理論、與矩陣結合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學科。 主要理論成熟于十九世紀，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現(xiàn)（見于我國古代數(shù)學名著九章算術）。 線性代數(shù)在數(shù)學、力學、物理學和技術學科中有各種重要應用，因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位； 在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現(xiàn)實等技術無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎的一部分；。 該學科所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)

4、方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對于強化人們的數(shù)學訓練，增益科學智能是非常有用的； 隨著科學的發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系，各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計算機的發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。 課程的性質與任務 線性代數(shù)課程是高等學校理工科各專業(yè)學生的一門必修的重要基礎理論課，它廣泛應用于科學技術的各個領域。尤其是計算機日益發(fā)展和普及的今天，使線性代數(shù)成為工科學生所必備的基礎理論知識和重要的數(shù)學工具。線性代數(shù)是為培養(yǎng)我國社會主義現(xiàn)代化建設所需要

5、的高質量專門人才服務的。通過本課程的學習，要使學生獲得： 、行列式 、矩陣 、向量組的相關性、矩陣的秩 、線性方程組 、相似矩陣與二次型 等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能，為學習后繼課程和進一步獲得數(shù)學知識奠定必要的數(shù)學基礎。 在傳授知識的同時，要通過各個教學環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學能力，還要特別注意培養(yǎng)學生具有比較熟練的運算能力和綜合運用所學知識去分析和解決問題的能力。 本章主要討論以上三個問題。首先來看行列式概念的形成問題的提出：求解二、三元線性方程組二階、三階行列式引出一. 二階與三階行列式1. 二階行列式二元線性方程組：由消元法，得得同

6、理，得于是，當時，方程組有唯一解為便于記憶，引進記號稱記號為二階行列式其中 ，數(shù)稱為元素 為行標，表明元素位于第 行 為列標，表明元素位于第 列注：(1) 二階行列式 算出來是一個數(shù)。(2) 記憶方法：對角線法則主對角線上兩元素之積 副對角線上兩元素之積因此，上述二元線性方程組的解可表示為綜上，令則，稱 D 為方程組的系數(shù)行列式。例1：解方程組解：因為所以2. 三階行列式類似地，為討論三元線性方程組引進記號稱之為三階行列式其中 ，數(shù)稱為元素 為行標， 為列標。注：(1) 三階行列式 算出來也是一個數(shù)。(2) 記憶方法：對角線法則例：對于三元線性方程組，若其系數(shù)行列式可以驗證，方程組有唯一解，其

7、中，二. 排列與逆序定義1：由自然數(shù)1，2，n 組成的一個有序數(shù)組稱為一個n 元排列。例如：1，2，3，4，55，1，2，3，45，3，2，1，4都是數(shù)1，2，3，4，5的一個排列。 考慮：n個數(shù)的不同排列有 個。n !自然排列：按數(shù)的大小次序，由小到大排列?？紤]：n元排列中，自然排列只有一種除此之外，任一n元排列都一定出現(xiàn)較大數(shù)碼排在較小數(shù)碼之前的情況。定義2：在一個排列中，若某個較大的數(shù)排在某個較小的數(shù)前面，就稱這兩個數(shù)構成一個逆序。一個排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù)稱為這個排列的奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。逆序數(shù)計算排列的逆序數(shù)的方法：法1：n個數(shù)的任一n元排列，先看

8、數(shù)1，看有多少個比1大的數(shù)排在1前面，記為再看有多少個比2大的數(shù)排在2前面，記為繼續(xù)下去，最后至數(shù)n，前面比n大的數(shù)顯然沒有，則此排列的逆序數(shù)為法2：n 元排列的逆序數(shù)法3：例1：求排列 3，2，5，1，4 的逆序數(shù)。解：（法1）（法2）（法3）例2：求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序數(shù)?？紤]，在 1，2，3 的全排列中有 個偶排列：有 個奇排列：123，231，312132，213，32133一般說來，在n個數(shù)碼的全排列中，奇偶排列各占一半定義3：把一個排列中的任意兩個數(shù)交換位置，其余數(shù)碼不動，叫做對該排列作一次對換，簡稱對換。將相鄰的兩個數(shù)對換，稱為相鄰對換。定理1：對換改變排列的奇偶

9、性。證明思路：先證相鄰變換，再證一般對換。定理2：時，n個數(shù)的所有排列中，奇偶排列各占一半，各為個。證明：設n個數(shù)的排列中，奇排列有 p 個，偶排列有 q 個，則 pqn！對 p 個奇排列，施行同一對換，則由定理1得到 p 個偶排列。（而且是p個不同的偶排列）因為總共有 q 個偶排列，所以同理所以三. n階行列式的定義觀察三階行列式尋找規(guī)律：1. 三階行列式是 3！ 項的代數(shù)和。2. 每一項都是 元素的乘積。3.（每項的符號規(guī)律）取自不同行、不同列的 3 個其任一項可寫成：其中是123的一個排列當是偶排列時，項取正號當是奇排列時，項取負號二階行列式有類似規(guī)律。根據(jù)二、三階行列式的構造規(guī)律，我們

10、來定義n階行列式定義1：n 階行列式指的是n！項的代數(shù)和，其中每一項都是取自不同行、不同列的 n 個元素的乘積，其一般項為這里是12n的一個排列當是偶排列時，項前面帶正號當是奇排列時，項前面帶負號即其中表示對所有n元排列取和注：(1) 當n=1時，一階行列式此處不是a的絕對值，例如行列式定義表明，計算n階行列式，首先必須作出所有的可能的位于不同行、不同列的n個元素的乘積，把這些乘積的元素的第一個下標（行標）按自然順序排列，然后看第二個下標（列標）所成的奇偶性來決定這一項的符號。例1：寫出四階行列式中含有因子的項。例2：若為四階行列式的項，試確定i與k，使前兩項帶正號，后一項帶負號。例4：計算四

11、階行列式例3：計算行列式四個結論：(1)上三角形行列式 （主對角線下側元素都為0）(2)下三角形行列式 （主對角線上側元素都為0）(3)（顯然）(4)符號定理：令是n階行列式中的任一項，則項的符號等于證明：由行列式定義可知，確定項的符號，需要把各元素的次序進行調動，使其行標成自然排列。為此，我們先來研究若交換項（1）中某兩個元素的位置時，其行標和列標排列的奇偶性如何變化。對換任意兩元素，相當于項（1）的元素行標排列及列標排列同時經(jīng)過一次對換。設對換前行標排列的逆序數(shù)為s，列標排列的逆序數(shù)為t。設經(jīng)過一次對換后行標排列的逆序數(shù)為列標排列的逆序數(shù)為由定理，對換改變排列的奇偶性所以，是奇數(shù)也是奇數(shù)所

12、以是偶數(shù)，即是偶數(shù)，所以與同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)。即，交換項（1）中任意兩個元素的位置后，其行標和列標所構成的排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變。另一方面，經(jīng)過若干次對換項（1）中元素的次序，總可以把項（1）變?yōu)樗缘米C。由此，得行列式的等價定義四. 行列式的性質性質1：行列式與它的轉置行列式相等。稱為D的轉置行列式證明：則由行列式定義說明：行列式中行與列地位相同，對行成立的性質 對列也成立，反之亦然。性質2：互換行列式的兩行（列），行列式的值變號。證明：設交換s、t 兩行，得s行t行由行列式定義可知，D中任一項可以寫成因為（2）（1）顯然這是中取自不同行、不同列的n個元素的乘積，而且（2）式右端的n個元素是按它們在中所處的行標為自然順序排好的。因此是中的一項。（3）因為，排列與排列的奇偶性相反，所以項（1）與項（3）相差一符號，這就證明了D的任一項的反號是中的項，同樣可以證明中的任一項的反號也是D中的項。因此，DD記法行列式的第s行：行列式的第s列：交換s、t兩行：交換s、t兩列：推論：如果行列式有兩行（列）相同，則行列式為 0 。證明：把相同的兩行互換，有DD，所以 D0性質3：用數(shù) k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用數(shù) k 乘此行列式。推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面記法第s行乘以k：第s列乘以k:推論：若