等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件演示文稿

1、第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和根底梳理從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)公比q1. 等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列 那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，通常用字母 表示.a1qn 2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q,則它的通項(xiàng)公式an= 或 (m,nN*).amqn-m a,G,b成等比數(shù)列 等比中項(xiàng) 3. 等比中項(xiàng)如果 ，那么G叫做a與b的 .akal=aman 4. 等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)若an為等比數(shù)列，且k+l=m+n(k,l,m,nN*),則 .(2)若an,bn（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則an, (an0),a2n,an bn, (b

2、n0)仍是等比數(shù)列. 5. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0),其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q=1時(shí)，Sn= ;當(dāng)q1時(shí)，Sn= ,即Sn= 或Sn= .na1 a1+a1q+a1qn 6. 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n均不為0時(shí)仍成等比數(shù)列.根底達(dá)標(biāo)1. (教材改編題)在等比數(shù)列an中，a1=1,a5=9,則a3=( )A. 3B. -3 C. 3或-3 D. 解析：a23=a1a5=9,且a1,a3,a5同號(hào)，a3=3.應(yīng)選A.2. 已知an是等比數(shù)列,a2=2,a5= ,則公比q=( )A. - B. -2 C. 2

3、 D. 解析:q3= q= .故選D.3. (2011濟(jì)南山師附中模擬)在等比數(shù)列an中，a8a10=6,a4+a14=5,則 等于( )A. B. C. 或 D. - 或- 解析：由題知，a8a10=a4a14=6,且a4+a14=5,解得a4=2,a14=3,或a4=3,a14=2,或 ，故選C.4. 在等比數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為Sn,假設(shè)S3=7,S6=63,那么公比q的值是( )A. 2 B. -2 C. 3 D. -3解析：方法一：由題意知q1，且S3=7,S6=63,即1+q3=9,解得q=2.方法二：S3=a1+a2+a3=7,S6-S3=a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q

4、3=56,q3=8,q=2.得5. (教材改編題)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,若4a1,2a2,a3成等差數(shù)列，則S4= .解析：4a1,2a2,a3成等差數(shù)列，4a2=4a1+a3,即4q=4+q2,解得q=2,S4= =15.經(jīng)典例題題型一 等比數(shù)列的根本運(yùn)算【例1】(2010浙江)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,8a2+a5=0,則 =( )A. -11 B. -8 C. 5 D. 11解：設(shè)公比為q,8a2+a5=0,8a2+a2q3=0,q=-2, -11,故選A.變式1-1設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，3S3=a4-2,3S2=a3-2,那么公比q=( )A. 3 B

5、. 4 C. 5 D. 6解析：兩式相減得,3a3=a4-a3,a4=4a3,q= =4.題型二 等比數(shù)列的判定【例2】(2021上海改編)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n-5an-85,nN*.證明：an-1是等比數(shù)列.證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1=-14;當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1,所以an-1= (an-1-1),又因?yàn)閍1-1=-150,所以數(shù)列an-1是等比數(shù)列.證明：bn=an-2n,即an=bn+2n,an=3an-1-4n+6,bn+2n=3bn-1+2(n-1)-4n+6,即bn=3bn-1.又b1=a1-2=-10,數(shù)列bn是以-1為首項(xiàng)，3為公

6、比的等比數(shù)列變式2-1數(shù)列an滿足a1=1,an=3an-1-4n+6(n2,nN*).設(shè)bn=an-2n,求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列.題型三 等比數(shù)列的性質(zhì)【例3】(1)(2010全國)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an，a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6=( )A. 5 B. 7 C. 6 D. 4(2)在等比數(shù)列an中，S4=1,S8=3,則a17+a18+a19+a20=( )A. 14 B. 16 C. 18 D. 20分析:(1)利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解；2運(yùn)用等比中項(xiàng)求解.解：(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a2a3=(a1a3)a2=a32=5,a7a8a9=(a7a9)

7、a8=a38=10,所以a2a8= ,所以a4a5a6=(a4a6)a5=a35=( )3=( )3=5 ,故選A.（2）因?yàn)镾4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比數(shù)列，而S4=1,S8-S4=2,所以a17+a18+a19+a20=S424=124=16,故選B.變式3-1在等比數(shù)列an中，a1=1,公比|q|1.假設(shè)am=a1a2a3a4a5,那么m=( )A. 9 B. 10 C. 11 D. 12解析：am=a1a2a3a4a5=a53=(a1q2)5=q10=a11,應(yīng)選C. 變式3-2(2011濰坊模擬)已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a3a9=2a2

8、5,a2=2,則a1等于( )A. 1 B. C. - D. 2解析:a3a9=2a25,a26=2a25,q2=2,q0,q= ,a1= ,故選B.題型四 等差、等比數(shù)列的綜合問題【例4】已知正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且有Sn= (an+1)2.求證：數(shù)列an是等差數(shù)列. 分析:要證明an為等差數(shù)列，只需證明n2時(shí)an-an-1為定值.證明：由Sn= (an+1)2,當(dāng)n=1時(shí)，a1= (a1+1)2,a1=1；當(dāng)n2時(shí)，Sn-1= (an-1+1)2,an=Sn-Sn-1= (a2n-a2n-1+2an-2an-1),即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.an0,an-an-

9、1-2=0,即an-an-1=2.數(shù)列an是a1=1,d=2的等差數(shù)列.鏈接高考 1.(2021廣東)數(shù)列an為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，假設(shè)a2a3=2a1,且a4與2a7的等差中項(xiàng)為 ,那么S5=( )A. 35 B. 33 C. 31 D. 29知識(shí)準(zhǔn)備：1. 知道等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式；2. 會(huì)用等差中項(xiàng).解析:a2a3=a1qa1q2=2a1a4=2,a4+2a4q3=2 2+4q3= q= ,a1=故S5= =32-1=31.故選C.2.(2021北京)數(shù)列an為等比數(shù)列，且a3=-6，a6=0.(1)求an的通項(xiàng)公式.假設(shè)等比數(shù)列bn滿足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求bn的前n項(xiàng)和公式.知識(shí)準(zhǔn)備：1. 會(huì)用等差數(shù)列通項(xiàng)