學年第一學期高等數(shù)學（一）第五章單元測試題

1、-密-封-線- （答題不能超出密封裝訂線）班級（學生填寫）：姓名：學號：命題： 審題：審批：學年第一學期高等數(shù)學（一）第五章 單元測試題使用班級（教師填寫）：題號一二三四五六七八九總分得分閱卷人一單項選擇題1設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則等于 ；(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。2. 設(shè)I=,則I= ； (A) 0； (B) 1； (C) ； (D) 。3. 極限 = ；(A) ； (B) 0； (C) ； (D) 。4. 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則等于 ；(A) ； (B)； (C) ； (D) 。5. 設(shè)定積分I=，則 ；(A) I=； (B) I=；(C) I=； (D) I=。6. 設(shè)是的一

2、個原函數(shù)，則等式 成立A；B；C；D 7. 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則等于 ；(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。8. 極限 ；(A) ； (B) ； (C) ； (D) 8*.極限用定積分表示為 ；A. B. C. D. 。9曲線上一段弧長（ ）；(A) ； (B) ；(C) ； (D) 0。10. 由連續(xù)曲線所圍圖形的面積A= ；(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 11. 用定積分表示由曲線圍成的平面圖形繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（ ）；ABC D。12. 曲線及所圍面積 ；(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。13. 利用定積分的有關(guān)性質(zhì)可以得出定積分（ ）A

3、 BC D14.下列反常積分收斂的是 ；(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。15. 以函數(shù) ； (A) ; (B) ； (C) ； (D) 0。二. 填空題(每小題2分，共18分，請把答案填在橫線上)1. 曲線上相應(yīng)于從到的一段弧的長度為 .2. 定積分_.3. 定積分 .4. 利用定積分求極限_.5. 設(shè)，則U . 6. 連續(xù)曲線直線，及軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積_ 7. 若反常積分發(fā)散，則必有 .8 .9. 由曲線及軸所圍成平面區(qū)域的面積是_.10. 已知，則_.三計算題（一）（每小題6分，共36分）1. 求由與及圍成圖形的面積.2. 求定積分 3. 設(shè)連續(xù)，且，求.

4、4. 計算定積分 5. 求由曲線, 直線 ,繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積.6. 計算積分7. 計算定積分四. 計算題（二）(五題選三題，每小題6分，總分18分)1. 2. 已知是函數(shù)的在上的導函數(shù)，計算.3. 求由拋物線與直線所圍成圖形的面積.4. 若在上連續(xù)，求。5. 求定積分6. 求的單調(diào)區(qū)間、極值和極值點.五證明題1. 證明：設(shè)函數(shù)與滿足，證明對任意，有 2設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù), 證明的值與a無關(guān). 3 . 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且。證明：方程 在內(nèi)有且僅有一個實根.4. 證明: =。單項選擇題1選A。 =2選C。 ,故選（C）3選A 。4選A 。5選D。利用分部積分公式求解，故選（D）。6

5、選D。由不定積分的定義可知D正確7選B。8選B。利用定積分的定義求極限 故選B。8*. A9選A。10選B 選擇y做積分變量，可知B正確11.D12.D面積13. C. 14. D. 15. B二. 填空題(請把答案填在橫線上)1 2. 3. 0。因為函數(shù)在對稱區(qū)間上是一個奇函數(shù)，故定積分 4. 5. 根據(jù)積分上限函數(shù)的導數(shù)的性質(zhì)可知：6.。7. 因為，所以當時發(fā)散。8. 。因為在閉區(qū)間1,2上，其中等號僅當x=1時成立。故在閉區(qū)間1,2上， 則由定積分的性質(zhì)可知： 9. 因為與及軸交點為，取為積分變量則10. 2三. 計算題（一）1. 求由與及圍成圖形的面積。解：畫出草圖為 由得 由得 故

6、2.解：令，則 =3. 設(shè)連續(xù)，求。解:對兩邊關(guān)于求導，得: ，令， 得所以： 4. 計算定積分解：= = = = 5. 求由曲線, 直線 ,繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積.解：先畫圖形，因為圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，所以取為積分變量，的變化區(qū)間為1,4，相應(yīng)于1，4上任取一子區(qū)間,+的小窄條，繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的小旋轉(zhuǎn)體體積，可用高為，底面積為的小圓柱體體積近似代替， 即體積微元為 =, 于是，體積 =1616=12. 6. 計算積分解： 7. 計算定積分.解： 四. 計算題（二）1. 解: ； 2. 已知是函數(shù)的在上的導函數(shù)，計算解：是函數(shù)的在上的導函數(shù)，則所以= = 3. 求由拋物線與直線所圍成圖形的面積

7、；解：先畫圖，如圖所示， 并由方程， 求出交點為（2，），（8，2）. 取為積分變量,的變化區(qū)間為，2，在區(qū)間，2上任取一子區(qū)間，+ ， 則面積微元 =, 則所求面積為 = = （）=9. 4. 若在上連續(xù)，求。解： 由于在上連續(xù)，則于是由羅比達法則：5. 求定積分；解： = 6. 求的單調(diào)區(qū)間、極值和極值點.解： 因，故在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減， 從而單調(diào)遞增區(qū)間為， 單調(diào)遞減區(qū)間為， 極值點為0，極值為. 五證明題 1. 證明：設(shè)函數(shù)與滿足，證明對任意，有因為函數(shù)與滿足，所以對任意兩點，有 = 由牛頓 - 萊布尼茨公式可知： 故對任意兩點，有. 2設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù), 證明的值與a無關(guān)證明:= += 3 . 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且。證明：方程 在內(nèi)有且僅有一個實根.證明：設(shè)。 由于函數(shù)在上連續(xù)，則也在上連續(xù)，且， （，）。由零點定理可知：在至少存在一個零點。 又因為在上，故在上單調(diào)遞增。