專題五第三講圓錐曲線的綜合問題(A)

1、第三講圓錐曲線的綜合問題(A)1.(2013高考福建卷)如圖，拋物線E：y24x的焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點M，N.(1)若點C的縱坐標(biāo)為2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|AN|，求圓C的半徑2(2013河南質(zhì)檢)已知直線xky30所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知圓O：x2y21，直線l：mxny1，試證明：當(dāng)點P(m，n)在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍3(2013高考課標(biāo)全國

2、卷)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1 (ab0)右焦點的直線xyeq r(3)0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為eq f(1,2).(1)求M的方程；(2)C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值4(2013高考北京卷)直線ykxm(m0)與橢圓W：eq f(x2,4)y21相交于A，C兩點，O是坐標(biāo)原點(1)當(dāng)點B的坐標(biāo)為(0，1)，且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；(2)當(dāng)點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形答案：1【解】(1)拋物線y24x的準(zhǔn)線l的方程為

3、x1.由點C的縱坐標(biāo)為2，得點C的坐標(biāo)為(1，2)，所以點C到準(zhǔn)線l的距離d2.又|CO|eq r(5)，所以|MN|2eq r(|CO|2d2)2eq r(54)2.(2)設(shè)Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(yeq oal(2,0),4)，y0)，則圓C的方程為eq blc(rc)(avs4alco1(xf(yeq oal(2,0),4)eq sup12(2)(yy0)2eq f(yeq oal(4,0),16)yeq oal(2,0)，即x2eq f(yeq oal(2,0),2)xy22y0y0.由x1，得y22y0y1eq f(yeq oal(2,0),2)0.設(shè)M(1，

4、y1)，N(1，y2)，則eq blc(avs4alco1(4yeq oal(2,0)4blc(rc)(avs4alco1(1f(yeq oal(2,0),2)2yeq oal(2,0)40，,y1y2f(yeq oal(2,0),2)1.)由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以eq f(yeq oal(2,0),2)14，解得y0eq r(6)，此時0，所以圓心C的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，r(6)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，r(6)，從而|CO|2eq f(33,4)，|CO|eq f(r(33),2)，即圓C的

5、半徑為eq f(r(33),2).2【解】(1)直線xky30經(jīng)過定點F(3，0)，即點F(3，0)是橢圓C的一個焦點設(shè)橢圓C的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，因為橢圓C上的點到點F的最大距離為8，所以a38，即a5.所以b2a23216.所以橢圓C的方程為eq f(x2,25)eq f(y2,16)1.(2)證明：因為點P(m，n)在橢圓C上，所以eq f(m2,25)eq f(n2,16)1，即n216eq f(16m2,25)(0m225)所以原點到直線l：mxny1的距離deq f(1,r(m2n2)eq f(1,r(f(9,25)m216)1.所以直線

6、l：mxny1與圓O：x2y21恒相交，L24(r2d2)41eq f(1,f(9,25)m216).因為0m225，所以eq f(r(15),2)Leq f(4r(6),5)即直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍是eq f(r(15),2)，eq f(4r(6),5)3【解】(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則eq f(xeq oal(2,1),a2)eq f(yeq oal(2,1),b2)1，eq f(xeq oal(2,2),a2)eq f(yeq oal(2,2),b2)1，eq f(y2y1,x2x1)1，由此可得eq f(b2（x2x1）,a2（y2y

7、1）)eq f(y2y1,x2x1)1.因為x1x22x0，y1y22y0，eq f(y0,x0)eq f(1,2)，所以a22b2.又由題意知，M的右焦點為(eq r(3)，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程為eq f(x2,6)eq f(y2,3)1.(2)由eq blc(avs4alco1(xyr(3)0，,f(x2,6)f(y2,3)1，)解得eq blc(avs4alco1(xf(4r(3),3)，,yf(r(3),3)，)或eq blc(avs4alco1(x0，,yr(3).)因此|AB|eq f(4r(6),3).由題意可設(shè)直線CD的方程為yxn(eq f(5

8、r(3),3)neq r(3)，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)由eq blc(avs4alco1(yxn，,f(x2,6)f(y2,3)1，)得3x24nx2n260.于是x3，4eq f(2nr(2（9n2）),3).因為直線CD的斜率為1，所以|CD|eq r(2)|x4x3|eq f(4,3)eq r(9n2).由已知，四邊形ACBD的面積Seq f(1,2)|CD|AB|eq f(8r(6),9)eq r(9n2)，當(dāng)n0時，S取得最大值，最大值為eq f(8r(6),3).所以四邊形ACBD面積的最大值為eq f(8r(6),3).4【解】(1)因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB互相垂直平分所以可設(shè)A(t，eq f(1,2)，代入橢圓方程得eq f(t2,4)eq f(1,4)1，即teq r(3).所以|AC|2eq r(3).(2)證明：假設(shè)四邊形OABC為菱形因為點B不是W的頂點，且ACOB，所以k0.由eq blc(avs4alco1(x24y24，,ykxm，)消去y并整理得(14k2)x28kmx4m240.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則eq f(x1x2,2)eq f(4km,14k2)，eq f(y1y2,2)keq f(x1x2,2)meq f(m,14k2)，所以AC的中點為M(eq