材料力學第九章習題選與其解答

1、9-2.計算圖示各桿或桁架的變形能。PMBdsACBEIEIdl/3A2l/3ORb)c)解：（b）方法1：（1）查表得C截面的轉角cM(l234l23l2)Ml6EIl999EI（2）由功能原理UW1McM2l218EI方法2（1）列出梁的彎矩方程MACBM/lx1EIM/lx2M(x1)Mx1lM(x2)Mx2Ml（2）求彎曲變形能Ul/3M2(x1)dx1lM2(x2)dx202EIl/32EIM2l8M2lM2l162EI162EI18EIc）1）列出梁的彎矩方程PQ()BM()N()ROM()PRsin（2）求彎曲變形能UM2()ds/2(PRsin)2dsl2EI02EIP2R38

2、EI9-3.傳動軸的抗彎剛度為EI，抗扭剛度為GIp。皮帶拉力T+t=P，D=2d。試計算軸的變形能。設a=l/4。PDdtTal/2l/2解：（1）將外力向軸線簡化(T-t)D/2Pd/2ABCDPT+t（2）扭轉變形能CD段發(fā)生扭轉變形，扭矩為：Pd/2(1Pd)2(al)3P2d2l22U12GIp32GIp（3）水平方向彎曲變形能U21PDH1PPl3P2l32248EI96EI（4）垂直方向彎曲變形能U31(Tt)CV1P(Pa3(Pa)la)223EI3EI5P2l3384EI（5）軸的變形能UU1U23P2d2l9P2l3U3384EI32GIp9-4.試用互等定理求跨度中點C的

3、撓度，設EI=常量。PPACBDACBl/2l/2l/2l/2aa)b)解：（a）（1）將P力移到C截面處，如下圖PACBD21（2）由位移互等定理fc2112BPl2Pal2aa16EI16EI方向向上b）1）將P力移到C截面處，如下圖PAC21（2）由位移互等定理BlP(l)3P(l)2fc2112fc2(2lc)23EI2EI25Pl348EI方向向下9-8.試求圖示各梁截面B的撓度和轉角。qCABala)解：（1）在B處作用虛加力Pf和Mf，并列出彎矩方程qPfMfCBAx2x1M(x1)Pfx1MfM(x2)1qx22Pf(lax2)Mf2（2）上式分別對Pf和Mf求偏導數M(x1)

4、x1M(x2)x2)Pf(laPfM(x1)1M(x2)Mf1Mf（3）用卡氏定理求撓度和轉角fBUM(x1)M(x1)dx1Pfl1EIPf0(Pfx1Mf)(x1)dx1laEIa1qx2Pf(lax2)22l2M(x2)M(x2)dx2EIPfMf(lax2)dx20EIBUlM(x1)M(x1)dx1lM(x2)M(x2)dx2Mfla(0a1EIMfPfx1Mf)(1)dx1EI1qx22Pf(lax2)22EIMfMf(1)dx20EI（4）令上兩式中的Pf和Mf為零a1qx22fB02(lax2)dx20EIqa3(4la)EIa1qx22200(1)dx2BEIqa3EI撓度和

5、轉角的方向與虛加力的方向一致9-11.圖示剛架，已知AC和CD兩部分的I=3010-6m4，E=200GPa。試求截面D的水平位移和轉角，若P=10kN，l=1m。2PABCll2lDP解：（1）在D處作用虛加力Mf，并列出彎矩方程P2=2PABCx3x2x1fP1=PDM(x1)P1x1MM(x2)2P1lMM(x3)2P1lMffP2x3（2）上式分別對P1和Mf求偏導數M(x1)M(x2)M(x3)x12l2lP1P1P1M(x1)M(x2)M(x3)111MfMfMf（3）用卡氏定理求撓度和轉角DHUP1M(x1)M(x1)dx1M(x2)M(x2)dx2l1EIM(x3)l3EIP1

6、l2EIP1(x3)dx2P12l(P1x1EI2P1l0MMEIf)(x1)dx102P1lMf(2l)dx2lEIfP2x3(2l)dx3UM(x1)M(x1)Bl1MfEIMfM(x3)M(x3)dx3l3EIMfdx1l2M(x2)M(x2)dx2EIMf2l(Pfx1Mf)(1)dx10EIl02P1lMfEI(1)dx2l2PlMPx3(1)dx301EIf2（4）令上兩式中的Mf為零DHB2l(P1x1)(x1)dx10EI38Pl321.1mm3EI2l(Pfx1)0EI(1)dx17Pl20.0117radEIl2P1l(2l)dx2l2P1lP2x3(2l)dx30EI0E

7、I02P1l(1)dx202P1lP2x3(1)dx3llEIEI撓度和轉角的方向與P1和虛加力的方向一致9-13.圖示桁架各桿的材料相，截面面積相等，在載荷P作用下，試求節(jié)點B與間的相對位移。CBPlADl解：（1）在B處作用虛加力Pf，并求出約束反力2CBPPf134XAA5DYANDXAP22PfYAPNDP22Pf（2）求各桿的軸力N12PfN22PfN3P2Pf222N42PPfN50（3）上式分別對Pf求偏導數N12N22N32N41N50Pf2Pf2Pf2PfPf（4）用卡氏定理求B點沿BD方向的位移U5NiliNiBDEAPfPfi12Pfl22Pfl22(2)EA)EA(22

8、(P2Pf)l2(2PPf)2l2(0EA2)EA1（5）令上式中的Pf為零BD00(P)l(2)(2P)2l0EA2EA(22)Pl2.71Pl2EAEA方向為B向D靠近9-14.圖示簡易吊車的撐桿AC長為2m，截面的慣性矩I=8.53106mm4。拉桿BD的A=600mm2。P=2.83kN。如撐桿只考慮彎曲影響，試求C點的垂直位移，設E=200GPa。DCo45BP45o1mA解：（1）求出約束反力RDx1CD45oBPx2o45XAAYAXA2PYA2PRD2P222（2）求BD桿的軸力和AC桿的彎矩N2PM(x1)2Px1M(x2)2P(1x2)2Px222（3）用卡氏定理求C點垂直

9、位移UNlBDNCVPEAP2P1120EA12P(1x2)20EI2PPPEA6EI6EIl1M(x1)M(x1)dx1l2M(x2)M(x2)dx2EIx1EIx22Px122(EIx1)dx122Px22(1x2)dx222PPEA3EI0.04720.5530.60mm方向向下。9-15.平面剛架如圖所示。剛架各部分截面相同，試求截面A的轉角。PACB4lD3l解：（1）求各桿的彎矩方程PAB1x2CDx3M(x1)Px1M(x2)P(3lx2cos)M(x3)Px3（2）在梁上A處單獨作用一單位力偶，并列出彎矩方程1BAx1x2DCx3M(x1)1M(x2)1M(x3)1（3）用莫爾

10、定理求A截面的轉角AM(x1)M(x1)dx1M(x2)M(x2)dx2l1EIl2EI3l(3Px1)(1)5lx2cos)1dx10Pldx20EIEI9Pl215Pl29Pl233Pl22EI2EI2EI2EIM(x3)M(x3)dx3l3EI4l(Px3)(1)0dx3EI轉角的方向與單位力偶方向相同。9-18.圖示折軸桿的橫截面為圓形，在力偶矩Mo作用下，試求析軸桿自由端的線位移和角位移。lMoh解：（1）求水平桿的扭矩方程和垂直桿的彎矩方程x1Mox2T(x1)M0M(x2)M0（2）在自由端分別單獨作用一單位力和單位力偶，并求出相應的扭矩方程和彎矩方程x1x11x21x2T1(x

11、1)0M1(x2)x2T2(x1)1M2(x2)1（3）用莫爾定理求自由端的位移Hl1T(x1)T1(x1)dx1l2M(x2)M1(x2)dx2GIpEI0hM0 x2dx2M0h232M0h20EI2EIEd4l1T(x1)T2(x1)dx1l2M(x2)M2(x2)dx2GIpEIlM01hM01dx1EIdx20GIp0M0lM0h32M0l64M0hGIpEIGd4Ed4自由端的線位移和角位移和方向與單位力和單位力偶方向一致。9-19.在曲拐的端點C上作用集中力P。設曲拐兩段材料相同且均為同一直徑d的圓截面桿，試求C點的垂直位移。Cx1PABax2a解：（1）求BC桿的彎矩方程及AB

12、桿的扭矩方程和彎矩方程M(x1)Px1M(x2)Px2T(x2)Pa（2）在C端單獨作用一單位力，并求出相應的扭矩方程和彎矩方程Cx11AB2M(x1)x1M(x2)x2T(x2)a（3）用莫爾定理求C端的垂直位移Vl1M(x1)M(x1)dx1l2T(x2)T(x2)dx2l2M(x2)M(x2)dx2EIGIpEIaPx1x1dx1aPaadx2aPx2x2dx20EI0GIp0EIPa3Pa3Pa3128Pa332Pa33EIGIp3EI3Ed4Gd4自由端的垂直位移單位力方向一致。9-21.平均半徑為R的細圓環(huán)，截面為圓形，直徑為D。兩個力P垂直于圓環(huán)軸線所在的平面。試求兩個力P作用點

13、的相對位移。RPP解：（1）求曲桿的扭矩方程和彎矩方程RM()T()Q()PT()PR(1cos)M()PRsin（2）上兩式分別對P求偏導數T()R(1cos)M()PPRsin（3）用卡氏定理求垂直位移T()T()M()M()dsdsVlGIpEIPlP(1cos)(1cos)PRsinsin2PR20RRd0RRdGIpEI96PR364PR3Gd4Ed49-24.圖示桿系各桿的材料相同，截面面積相等。試用力法求各桿的內力。ACBlPb)解：（1）屬一次靜不定問題，取C為多余約束，約束反力為X11ACBDP列出用力法求解的基本方程X01111P（2）求1P1ACBACB113232DPD

14、由上圖知N10N11分別對D點受力分析N2N1N3N1N3N2DPDPPN2N32sin2sin11N2N32cos2cos由莫爾定理3NiNili1PEAi110P(1)l(P)(EA2sin2coscos2sin0（3）求113NiNili11EAi11l(1)2l(1)2EA2coscos2cosl(11)EA34cos（4）求出X11l)2coscoslcosX10（5）求桿的內力N1PN1N1X1N10N2PN2N2X1N2P2sinN3PN3N3X1N3P2sin2桿受拉，3桿受壓。9-26.鏈條的一環(huán)如圖所示，試求環(huán)內最大彎矩。PPR2aR解：（1）結構對稱、載荷對稱，取四分之一研究CP/2xX1a屬一次靜不定問題，取C截面上的約束力偶為多余約束，多余約束反力為X1，列出用力法求解的基本方程X01111P（2）求1PCP/2Cx1xaa列彎矩方程M(x)0M()PR(1cos)2M(x)1M()1由莫