經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)3.3曲線的凹向與拐點(diǎn)

1、 一. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的定義 ESC 3.3 曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 3.3 曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 二.曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 1ESC 一. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的定義 案 例 請(qǐng)問:“耐用消費(fèi)品的銷售曲線大致呈什么形狀?” 進(jìn)一步 分析 在某一地區(qū),一種耐用消費(fèi)品的銷售數(shù)量 與銷售時(shí)間 之間有函數(shù)關(guān)系 ,其銷售情況如圖所示. 在時(shí)間段 內(nèi),曲 線 上升的趨勢由 緩慢而逐漸加快. 在時(shí)間段 內(nèi),曲線 上升的趨勢是由快而轉(zhuǎn)向緩慢,并隨著時(shí)間的延續(xù)而 以直線 為水平漸近線. 銷售量由加快轉(zhuǎn)向平穩(wěn)的轉(zhuǎn)折點(diǎn). 隨著時(shí)間的 延續(xù),其銷售數(shù)量不斷增加. 單調(diào)上升 這是由于在該產(chǎn)品上 市之前,已作了大量的廣告宣傳,故

2、該產(chǎn)品一上市,就銷出數(shù)量 2ESC 一. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的定義 案 例 請(qǐng)問:“耐用消費(fèi)品的銷售曲線大致呈什么形狀?” 進(jìn)一步 分析 在某一地區(qū),一種耐用消費(fèi)品的銷售數(shù)量 與銷售時(shí)間 之間有函數(shù)關(guān)系 ,其銷售情況如圖所示. 在時(shí)間段 內(nèi), 曲線 向上彎曲, 稱曲線是凹的. 在時(shí)間段 內(nèi), 曲線 向下彎曲, 稱曲線是凸的. 曲線凹凸改變的分界點(diǎn),稱為 曲線的拐點(diǎn). 單調(diào)上升 切線在下, 曲線在上. 切線在上, 曲線在下. 3ESC 一. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的定義 曲線凹凸與拐點(diǎn)的定義 在區(qū)間 內(nèi), 定義3.1 若曲線弧位于其上任一點(diǎn)切線的下方,則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是凸的. 若曲線弧位于其上任一點(diǎn)切線的

3、上方,則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是凹的;上弦月下弦月每個(gè)月的農(nóng)歷15之前的月亮為上弦月，月牙朝上，下半月為下弦月，月牙朝下。 4ESC 一. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的定義 定理3.4設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，(1)若時(shí)，恒有，則曲線 在內(nèi)是凹的；(2)若時(shí)，恒有，則曲線在內(nèi)是凸的5ESC 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 假設(shè) 表示曲線的切線傾角.函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)二階可導(dǎo), 當(dāng) 時(shí),導(dǎo)函數(shù) 單調(diào)增加,從而切線斜率 隨 增加而由小變大. 切線在下, 曲線在上, 曲線凹.切線在下, 曲線在上, 曲線凹. 是銳角 是鈍角 凹,增 凹,減 6ESC 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 假設(shè) 表示曲線的切線傾角.函數(shù) 在區(qū)間

4、內(nèi)二階可導(dǎo), 當(dāng) 時(shí),導(dǎo)函數(shù) 單調(diào)增加,從而切線斜率 隨 增加而由小變大. 切線在下, 曲線在上, 曲線凹. 是銳角 是鈍角 單調(diào)增加上述三條曲線增減性不同,但都是凹的,共同特點(diǎn)是:凹,非單調(diào) 7ESC 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 假設(shè) 表示曲線的切線傾角.函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)二階可導(dǎo), 當(dāng) 時(shí),導(dǎo)函數(shù) 單調(diào)減少,從而切線斜率 隨 增加而由大變小. 切線在上, 曲線在下, 曲線凸.切線在上, 曲線在下, 曲線凸. 是銳角 是鈍角 凸,增 凸,減 8ESC 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 假設(shè) 表示曲線的切線傾角.函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)二階可導(dǎo),切線在上, 曲線在下, 曲線凸. 是銳角 是鈍角 單調(diào)減少上述三

5、條曲線增減性不同,但都是凸的,共同特點(diǎn)是: 當(dāng) 時(shí),導(dǎo)函數(shù) 單調(diào)減少,從而切線斜率 隨 增加而由大變小. 凸,非單調(diào) 9ESC 拐點(diǎn)存在 的必要條件 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 由于拐點(diǎn)是曲線 上,凹與凸的分界點(diǎn),則必然有 若點(diǎn) 是曲線的拐點(diǎn),且 存在,凹凸 凹與凸 分界點(diǎn) 凹凸 凹與凸 分界點(diǎn) 定理3.510ESC 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 指出：在 存在的前提下 僅是拐點(diǎn)存在的必要條件，而不是充分條件。例如函數(shù) 在 處有時(shí)但（0，0）點(diǎn)并不是曲線 的拐點(diǎn)，因在 兩側(cè)，曲線 都是凹的。11ESC(1)確定函數(shù)的連續(xù)區(qū)間; 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 對(duì)二階可導(dǎo)函數(shù)判定曲線 的凹凸區(qū)間并求曲

6、線的拐點(diǎn)的程序: (2)求二階導(dǎo)數(shù) 解方程 求其 根. 其根將函數(shù)連續(xù)區(qū)間 分成若干個(gè)部分區(qū)間;(3)判定:在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)討論導(dǎo) 數(shù) 的符號(hào):設(shè) 是 的一個(gè) 部分區(qū)間,當(dāng) 時(shí),若 則曲線在區(qū)間 內(nèi)凹;若 則曲線在區(qū)間 內(nèi)凸. 又假設(shè) 且有 若在 點(diǎn) 的左右鄰近 的符號(hào)相反,則曲線上的點(diǎn) 是曲線的拐點(diǎn); 若在點(diǎn) 的左右鄰近 的符號(hào)相同,則在 處,曲線沒有拐點(diǎn).12ESC解(2)由于 由得例1 確定曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn). (1)函數(shù) 的連續(xù)區(qū)間是(3)判定:在區(qū)間 內(nèi),因 ,所以曲線凸;在區(qū)間 內(nèi),因 ,所以曲線凹.將函數(shù)的連續(xù)區(qū)間分成兩個(gè)部分區(qū)間 由于在 的左右兩側(cè), 的符號(hào)相反,且當(dāng) 時(shí),

7、,故曲線上的點(diǎn) 是曲線的拐點(diǎn) 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 13ESC例1 確定曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn). 由于在 的左右兩側(cè), 的符號(hào)相反,且當(dāng) 時(shí), ,故曲線上的點(diǎn) 是曲線的拐點(diǎn). 也可用列表的方法判定:故曲線上的點(diǎn) 是曲線的拐點(diǎn). 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 14ESC解試討論該需求收入曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn). 例2設(shè)一消費(fèi)品的需求 是消費(fèi)者的收入 的函數(shù) 又因 因收入 非負(fù),故所給需求收入函數(shù)的定義域是由 在區(qū)間 內(nèi),因 ,故曲線凹; 在區(qū)間 內(nèi),因故曲線凸; 得 當(dāng) 時(shí), 故曲線的拐點(diǎn)是 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 15ESC結(jié)論:試討論該需求收入曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn). 例2(續(xù))設(shè)一消費(fèi)品

8、的需求 是消費(fèi)者的收入 的函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi),曲線凹; 在區(qū)間 內(nèi),曲線凸; 曲線的拐點(diǎn)是 拐點(diǎn) 凹凸 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 16ESC 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 例3求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).令，解得，解 函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為17ESC 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 曲線在及兩個(gè)區(qū)間是凹的，在區(qū)間是凸的，和是它的兩個(gè)拐點(diǎn).例4求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).拐點(diǎn)拐點(diǎn)18ESC 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 只要，恒有，而函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，所以曲線 沒有拐點(diǎn)，它在整個(gè)是凹的，；令，解得；解 函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為19ESC 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 例5求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).解 函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為，在內(nèi)恒不為零，但時(shí)，不存在在4的左側(cè)鄰近時(shí)，； 在4的右側(cè)鄰近時(shí)，.即在兩側(cè)異號(hào)，所以是曲線的拐點(diǎn).20ESC 二. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 曲線的凹區(qū)間是 ，凸區(qū)間是1、求曲線 的拐點(diǎn)。2、確定曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn). 練習(xí)：21ESC 內(nèi)容小結(jié) 本節(jié)重點(diǎn)講了：一. 曲線凹凸與拐點(diǎn)的定義 二.曲線凹凸與拐點(diǎn)的求法 求拐點(diǎn)的一般步驟：求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；令，解出全部根，并求出所有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； 求函數(shù)定義域；22ESC 內(nèi)容小結(jié) 對(duì)步驟求出的每一個(gè)點(diǎn)，檢查其左、右鄰近的的符號(hào)，如果異號(hào)則該點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)；如果同號(hào)則該點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)23ESC 課堂練習(xí)