模型11 構造平行四邊形

1、專題11 構造平行四邊形一、單選題 1如圖，菱形的邊長為13，對角線，點E、F分別是邊、的中點，連接并延長與的延長線相交于點G，則（ ）A13B10C12D5【答案】B【分析】連接對角線BD，交AC于點O，求證四邊形BDEG是平行四邊形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的長，BD=2OD，即可求出EG【詳解】連接BD，交AC于點O，由題意知：菱形ABCD的邊長為13，點E、F分別是邊CD、BC的中點，AB=BC=CD=DA=13， EFBD，AC、BD是菱形的對角線，AC=24，ACBD，AO=CO=12，OB=OD，又ABCD，EFBDDEBG，BDEG在四邊形BDEG中，DEBG，BDEG

2、四邊形BDEG是平行四邊形BD=EG在COD中，OCOD，CD=13，CO=12OD=OB=5BD=EG=10故選B【點睛】本題主要考查了菱形的性質，平行四邊形的性質及勾股定理，熟練掌握菱形、平行四邊形的性質和勾股定理是解題的關鍵2在等邊三角形ABC中，BC=6cm，射線AG/BC，點E從點A出發(fā)，沿射線AG以1cm/s的速度運動，同時點F從點B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度運動，設運動時間為t，當t為( )s時，以A，F(xiàn)，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？（ ）A2B3C6D2或6【答案】D【分析】分別從當點F在C的左側時與當點F在C的右側時去分析，由當AE=CF時，以A、C、E、F為頂

3、點四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案【詳解】當點F在C的左側時，根據(jù)題意得：AE=tcm，BF=2tcm，則CF=BC-BF=6-2t（cm），AGBC，當AE=CF時，四邊形AECF是平行四邊形，即t=6-2t，解得：t=2；當點F在C的右側時，根據(jù)題意得：AE=tcm，BF=2tcm，則CF=BF-BC=2t-6（cm），AGBC，當AE=CF時，四邊形AEFC是平行四邊形，即t=2t-6，解得：t=6；綜上可得：當t=2或6s時，以A、C、E、F為頂點四邊形是平行四邊形故選D【點睛】本題考查了平行四邊形的判定此題難度適中，注意掌握分類討論思想、數(shù)形結合思想與方程思想的應用二

4、、解答題3如圖在ABC中，ABAC，AD為BAC的平分線，AN為ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為E（1）求證：四邊形ADCE是矩形（2）若連接DE，交AC于點F，試判斷四邊形ABDE的形狀（直接寫出結果，不需要證明）（3）ABC再添加一個什么條件時，可使四邊形ADCE是正方形并證明你的結論【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ABDE是平行四邊形；（3）當BAC90時，四邊形ADCE是正方形，證明見解析【分析】（1）由等腰三角形的性質可得ADBC，BADCAD，又由AN為ABC的外角CAM的平分線，可得DAE90，又由CEAN，由矩形的判定可證四邊形ADCE為矩形；（2）利用（1）中

5、矩形的對角線相等推知：ACDE；結合已知條件可以推知ABDE，又AEBD，則易判定四邊形ABDE是平行四邊形；（3）由等腰直角三角形的性質可得ADCDBD，即可證四邊形ADCE是正方形【詳解】證明：（1）在ABC中，ABAC，AD為BAC的平分線，ADBC，BADCAD，ADC90，AN為ABC的外角CAM的平分線，MANCAN，DAE90，CEAN，AEC90，四邊形ADCE為矩形；（2）四邊形ABDE是平行四邊形，理由如下：由（1）知，四邊形ADCE為矩形，則AECD，ACDE又ABAC，BDCD，ABDE，AEBD，四邊形ABDE是平行四邊形；（3）當BAC90時，四邊形ADCE是正方形

6、，理由：BAC90，ABAC，AD為BAC的平分線，ADCDBD，又四邊形ADCE是矩形，四邊形ADCE是正方形【點睛】本題考查平行四邊形、矩形和正方形的判定方法，掌握特殊四邊形的判定定理是解題的關鍵4如圖，在ABC中，已知BDCEFD，AEDACB（1）試判斷DEF與B的大小關系，并說明理由；（2）若D、E、F分別是AB、AC、CD邊上的中點，SDEF4，SABC= 【答案】（1）DEF=B，理由見解析；（2）32【分析】（1）延長EF交BC于G，根據(jù)平行四邊形的判定和性質即可得到結論；（2）根據(jù)三角形一邊的中線平分三角形的面積，即可得到結論【詳解】（1）DEF=B，理由如下：延長EF交BC

7、于G，BDC=EFD，EFBD，AED=ACB，DEBC，四邊形DEGB是平行四邊形，DEF=B；（2）F是CD邊上的中點，SDEF=4，SDEC=2SDEF=8，E是AC邊上的中點，SADC=2SDEC=16，D是AB邊上的中點，SABC=2SACD=32【點睛】本題考查了平行線的性質和判定，平行四邊形的判定和性質，三角形的面積，正確的識別圖形是解題的關鍵5已知，菱形中，、分別是邊和上的點，且（1）求證：（2）如圖2，在延長線上，且，求證：（3）如圖3，在（2）的條件下，是的中點，求的長【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）7【分析】（1）連接AC，如圖1，根據(jù)菱形的性質得AB=

8、BC，而B=60，則可判定ABC為等邊三角形，得到BAC=60，AC=AB，易得ACF=60，BAE=CAF，然后利用ASA可證明AEBAFC，即可解答；（2）過點F作FHAB，交CB的延長線于點H，利用平行線的性質求得FHC是等邊三角形，得到CF=CH=FH，然后利用AAS定理求得HBFCEF，從而問題得解；（3）過點B作BKFC，交HF于點K，根據(jù)兩組對邊分別平行求得四邊形KBAF是平行四邊形，從而求得，F(xiàn)K=16，過點A作AMFH，然后利用含30的直角三角形的性質求得MF=,，從而求得KM=13，然后利用勾股定理求解即可【詳解】解：（1）連接AC，如圖1，四邊形ABCD為菱形，AB=BC

9、，B=60，ABC為等邊三角形，BAC=60，AC=AB，BAE+EAC=60，ABCD，BAC=ACP=60，EAP=60，即EAC+CAP=60，BAE=CAP，在AEB和APC中， ，AEBAPC，BE=CF；（2）過點F作FHAB，交CB的延長線于點HFHABH=CGH=60FHC是等邊三角形CF=CH=FH又ABC是等邊三角形CA=CBAF=BH又FB=FEFEB=FEB，即FBH=FEC在HBF和CEF中 HBFCEFBH=ECAF=EC（3）過點B作BKFC，交HF于點K，BKFC，F(xiàn)HAB四邊形KBAF是平行四邊形KB=AF=EC=6， FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF

10、=16過點A作AMFH由（2）可知，CFH=60在RtAMF中，MAF=30MF=, KM=16-3=13在RtAKM中， AO=7【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，及平行四邊形的判定和性質，題目有一定的綜合性，正確添加輔助線解題是關鍵的突破點6如圖，反比例函數(shù)y（x0）過點A（3，4），直線AC與x軸交于點C（6，0），過點C作x軸的垂線交反比例函數(shù)圖象于點B，（1）求反比例函數(shù)和直線AC的解析式；（2）求ABC的面積；（3）在平面內有點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出符合條件的所有D點的坐標【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為：y

11、；直線AC的解析式為：yx+8；（2）3；（3）符合條件的點D的坐標是：（3，2）或（3，6）或（9，2）【分析】（1）將A點的坐標代入反比例函數(shù)y求得k的值，然后將A，C坐標代入直線解析式解答即可；（2）把x=6代入反比例函數(shù)解析式求得相應的y的值，即得點B的坐標，進而利用三角形面積公式解答即可；（3）使得以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，如圖所示，找出滿足題意D的坐標即可【詳解】解：（1）把點A（3，4）代入y（x0），得kxy3412，故該反比例函數(shù)解析式為：y，把A（3，4），C（6，0）代入ymx+n中，可得：，解得：，所以直線AC的解析式為：yx+8；（2）點C（6，0）

12、，BCx軸，把x6代入反比例函數(shù)y，得y2，則B（6，2），所以ABC的面積；（3）如圖，當四邊形ABCD為平行四邊形時，ADBC且ADBCA（3，4）、B（6，2）、C（6，0），點D的橫坐標為3，yAyDyByC即4yD20，故yD2所以D（3，2）如圖，當四邊形ACBD為平行四邊形時，ADCB且ADCBA（3，4）、B（6，2）、C（6，0），點D的橫坐標為3，yDyAyByC即yD420，故yD6所以D（3，6）如圖，當四邊形ACDB為平行四邊形時，ACBD且ACBDA（3，4）、B（6，2）、C（6，0），xDxBxCxA即xD663，故xD9yDyByCyA即yD204，故yD2所

13、以D（9，2）綜上所述，符合條件的點D的坐標是：（3，2）或（3，6）或（9，2）【點睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的判定與性質，解答（3）題時，采用了“數(shù)形結合”和“分類討論”的數(shù)學思想7如圖所示，是的中點，求證【答案】見解析【分析】延長AM到F，使MFAM，交CD于點N，構造平行四邊形，利用條件證明ABFCAD，可得出BAFACD，再結合條件可得到ANC90，可證得結論【詳解】證明：延長AM到F，使MFAM，交CD于點N，BMEM，四邊形ABFE是平行四邊形，BFAE，ABFBAE180，BACDAE90，CADBAE180，ABFCAD

14、，BFAE，ADAE，BFAD，在ABF和CAD中，ABFCAD（SAS），BAFACD，BAC90，BAFCAF90，ACDCAF90，AHC90，AMCD【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，通過輔助線構造平行四邊形證明三角形全等得到BAFACD是解題的關鍵8如圖所示，是的中線，求證：.【答案】見解析【解析】【分析】要證，可設法將、集中到一個圖形中，由已知是的中線，故倍長中線可得到平行四邊形.【詳解】證明：延長至，使，連，又，四邊形為平行四邊形，.【點睛】中線倍長，利用平行四邊形的判定定理對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，據(jù)此達到轉移線段或角的目的.9如圖所示

15、，中，是的中點，.求證：.【答案】見解析【解析】【分析】過作交的延長線于，得四邊形為平行四邊形，由已知可得BDF三邊長，再由勾股定理可知BDF=90，即可證明結論.【詳解】證明：過作交的延長線于， ，又，四邊形為平行四邊形，.，.【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，平行四邊形的性質，關鍵是平移AE構造DBF，證出BDF是直角三角形10如圖所示，中，分別為，上一點，求證：.【答案】見解析【解析】【分析】過作，且，連，則ADBG為平行四邊形再證明，則GE=BE，得ADF為等腰直角三角形即可證明結論【詳解】證明：過作，且，連，則四邊形為平行四邊形，C=90，GAE=C=90，在AEG和CBE中，G

16、E=BE，GEA=EBC，GEB=90.為等腰直角三角形，【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，平角的性質的運用，平行四邊形的判定及性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵11如圖所示，四邊形中，以，為邊作平行四邊形，的延長線交于，求證：.【答案】見解析【解析】【分析】延長FC交AD于點G，可證明四邊形CEDG為平行四邊形，可得FC=DE=CG，可知BC為FAG的中位線，可證明AB=FB【詳解】證明：如圖，延長FC交AD于點G，四邊形CDEF為平行四邊形，CFDE，CF=DE，又CEAD，四邊形CEDG為平行四邊形，CG=DE，CF=CG，且BCAG，BC是

17、FAG的中位線，B為AF的中點，即AB=FB【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質和判定，掌握平行四邊形的性質和判定是解題的關鍵，即兩組對邊分別平行的四邊形平行四邊形，兩組對邊分別相等的四邊形平行四邊形，一組對邊分別平行且相等的四邊形平行四邊形，兩組對角分別相等的四邊形平行四邊形，對角線互相平分的四邊形平行四邊形12如圖所示，中，于，平分交于，交于，交于.求證：.【答案】見解析【解析】【分析】要證，可設法將、集中到一個圖形中，由已知，故過作，從而得到平行四邊形.【詳解】證明：過作交于，又，四邊形是平行四邊形，由，又平分，又，.【點睛】此題主要考查平行四邊形性質和判斷理解及運用利用平行四邊形的判定

18、定理作平行線，可構造平行四邊形來達到轉移線段或角的目的. 正確作出輔助線是解答本題的關鍵13如圖所示，四邊形中，以，為邊作平行四邊形，的延長線交于，求證：.【答案】見解析【解析】【分析】過作交的延長線于，連結，先證明四邊形是平行四邊形，再證明四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質即可得證.【詳解】證明：過作交的延長線于，連結，四邊形是平行四邊形，=，四邊形是平行四邊形，DECF,DE=CF,平行且等于，四邊形為平行四邊形，.【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，平行四邊形的判定方法有：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊

19、形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.14如圖所示，在三角形中，是中線及角平分線，求證：.【答案】見解析【解析】【分析】延長至，使，連結，證四邊形是平行四邊形，得到BE=AC，BEAC，再證明ABE是等腰三角形即可.【詳解】證明：延長AD到E，使AD=DE，連接BE，CE， BC、AE，相互平分， ABEC是平行四邊形，BE=AC，BEAC，BAD=DAC=BED， AB=BE， AB=AC.【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，及等腰三角形的判定，正確作出輔助線是解答本題的關鍵.15如圖所示，中，于，平分交于，交于，交于.求證：.【答案】見解析【解析】【分析】過作 交于，可

20、證四邊形為平行四邊形，從而，再證明，可證，再證明CE=CF，即可得出結論.【詳解】證明：過作 交于，四邊形為平行四邊形，ACD+BAC=90，B+BAC=90，B=ACD，.平分，CAF=BAF，.又，CE=CF， .【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質及等腰三角形的的判定，正確作出輔助線是解答本題的關鍵.16如圖，已知AD為ABC的中線，點E為AC上一點，連接BE交AD于點F，且AEFE.求證：BFAC【答案】證明見解析【分析】方法一：當題中有三角形中線時，常加倍中線構造平行四邊形，利用平行四邊形和等腰三角形的性質證得結論方法二：向中線作垂線，證

21、明，得到，再根據(jù)AEFE，得到角的關系，從而證明，最終得到結論.【詳解】方法一：延長AD到G，使DGAD，連接BG，CG，DGAD，BDDC，四邊形ABGC是平行四邊形，AC/BG，CADBGD，又AEFE，CADAFE，BGDAFEBFG，BGBF，BGAC，BFAC 方法二：如圖，分別過點、作，垂足為、，則.，.，又，.【點睛】本題是較為典型的題型，至少可以用到兩種方法來解題，此題的特點就是必須有中線這個條件才能構造平行四邊形或雙垂線.17如圖，D為ABC的AB邊上一點，E為AC延長線上的一點，且CE=BD（1）當AB=AC時，求證：DEBC（2）當ABAC時，DE與BC有何大小關系？給出

22、結論，畫出圖形，并證明【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】試題分析：（1）如圖1，過點D作DFBC，過點C作CFAB，連接EF，從而可得DF=BC，這樣就把分散的線段集中到了DEF中，只需證DEDF即可；易證1=2，3=4，35，從而可得DFEDEF，DEDF，從而得到：DEBC；（2）當ABAC時，我們要分ABAC和ABAC，且AB=AE時，如圖2，結合已知條件此時我們易證ABCAED，從而得到BC=DE；當ABAC，且ABAE時，如圖3，延長AE到F，使AF=AB，在AB上截取AN=AC，易證ABCAFN，得到F=B；再過D作DMBC，過C作CMBD，得到四邊形DBCM是平行四邊形，

23、由此可得DMC=B=F，DM=BC；連接ME，則法通過在DME中證DEMDME得到DMDE，從而得到BCDE；當ABAC，且ABF得到ABCAED；再作DMBC，CMAB，可得四邊形DBCM是平行四邊形，得到DM=BC，DMC=ABC，就可得DMCAED；連接ME，在DME中通過證DMEDEM，得到DEDM，就可得到DEBC；當ABACBC.試題解析：（）作DFBC，CFBD（如圖1），得BCFD，從而DFCB，DFBC，CFBD又BDCE，CFCE，12 ABAC，ACBB而DFEDFC1B1ACB2AED2DEF， 即在DEF中，DFEDEF，DEDF，即DEBC （）當ABAC時，DE與

24、BC的大小關系如下：當ABAC但ABAE時，DEBC；當ABAC且ABAE時，DEBC；當ABAC但ABAE時，DEBC；當ABAC時，DEBC證明如下：當ABAC但ABAE時（如圖2），BDCE，ABBDAECE，即ADAC在ABC和AED中，ABAE，AA，ACAD，ABCAED（SAS），BCED； 當ABAC且ABAE時，延長AE到F，使AFAB，在AB上截取ANAC（如圖3），連結NF在ABC和AFN中，ABAF，AA，ACAN，ABCAFN（SAS），BFAEDF，AEDB過D點作DMBC，過點C作CMAB，連結EM，則四邊形DBCM為平行四邊形，DMCB，CMBD，DM=BC，BD=CE，CMCE，CMECEM，DMCBAED，CMEDMCAEDCEM，即DMEDEM，DEDM，DEBC；當ABAC但ABAE時，延長AB到F，使AFAE，在AE上截取ANAD（如圖4），連結NF,在AFN