模型12 與正方形有關的三垂線

1、專題12 與正方形有關的三垂線一、單選題 1如圖，點，點在射線上勻速運動，運動的過程中以為對稱中心，為一個頂點作正方形，當正方形的面積為40時，點的坐標是（ ）ABCD【答案】D【分析】作軸于，軸于E，根據(jù)的坐標求得直線的斜率，進一步得出直線的斜率為，通過證得，得出，可設，則，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線的斜率為，整理得，然后根據(jù)勾股定理得出，代值求解即可【詳解】解：作軸于，軸于E，設直線的解析式為，點四邊形是正方形，直線的斜率為又，又，設，則設直線的解析式為，解得：整理得：正方形面積為40在中，即：解得：故答案選B【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，

2、全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應用等，根據(jù)直線的斜率列出方程是解題的關鍵二、解答題2探究證明：（1）如圖1，正方形ABCD中，點M、N分別在邊BC、CD上，AMBN求證：BN=AM；（2）如圖2，矩形ABCD中，點M在BC上，EFAM，EF分別交AB、CD于點E、F求證：；（3）如圖3，四邊形ABCD中，ABC=90，AB=AD=10，BC=CD=5，AMDN，點M、N分別在邊BC、AB上，求的值【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）由矩形的性質(zhì)結合等角的余角相等，可證明NBC=MAB，進而證明BCNABM，最后根據(jù)相似三角形對應邊成比例解題即可；（2）過點B作B

3、GEF交CD于G，由兩組對邊分別平行判定四邊形BEFG是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可證明GBCMAB，最后根據(jù)相似三角形對應邊成比例解題即可；（3）過點D作平行于AB的直線交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，連接AC，可得四邊形ABSR是平行四邊形，再由含有一個90角的平行四邊形是矩形，證明四邊形ABSR是矩形，進而得到R=S=90，RS=AB=10，AR=BS，結合（2）中結論可證明ACDACB，由全等三角形對應角相等得到ADC=ABC，再由等角的余角相等，證明RADSDC，根據(jù)相似三角形對應邊成比例，設SC=x，解得DR、DS的長，再結合勾股定理解題即可【詳解】（1

4、）證明四邊形ABCD是矩形，ABC=C=90NBA+NBC=90AMBN，MAB+NBA=90，NBC=MAB，BCNABM，=（2）結論：=理由：如圖2中，過點B作BG/EF交CD于G，四邊形ABCD是矩形，ABCD，四邊形BEFG是平行四邊形，BG=EFEFAM，BGAM，GBA+MAB=90ABC=C=90，GBC+GBA=90，MAB=GBC，GBCMAB，=，=（3）過點D作平行于AB的直線交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，連接AC，則四邊形ABSR是平行四邊形ABC=90，四邊形ABSR是矩形，R=S=90，RS=AB=10，AR=BSAMDN，由（2）中結論可得：

5、=AB=AD，CB=CD，AC=AC，ACDACB，ADC=ABC=90，SDC+RDA=90RAD+RDA=90，RAD=SDC，RADSDC，=，設SC=x，=RD=2x，DS=10-2x，在RtCSD中，52=（10-2x）2+x2，x=3或5（舍棄），BS=5+x=8，=【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度一般，正確作出輔助線、掌握相關知識是解題關鍵3如圖，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，點D是BC的中點作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG（1）試猜想

6、線段BG和AE的關系（直接寫出答案，不用證明）；（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉 （060），判斷（1）中的結論是否仍然成立？請利用圖證明你的結論；（3）若BCDE4，當?shù)扔诙嗌俣葧r，AE最大？并求出此時AF的值【答案】（1）BGAE，BGAE，見解析；（2）結論成立，BGAE，BGAE，見解析；（3）當為270時，AE最大，AF【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出ADEBDG就可以得出結論（2）如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出ADEBDG就可以得出結論（3）由（2）可知BG=AE，當BG取得最大值時，AE取得最大值，由勾股定理

7、就可以得出結論【詳解】解：（1）結論：BGAE，BGAE理由：如圖1，延長EA交BG于KABC是等腰直角三角形，BAC90，點D是BC的中點，ADBC，BDCD，ADBADC90四邊形DEFG是正方形，DEDG在BDG和ADE中，BDGADE（SAS），BGAE，BGDAED，GAKDAE，AKGADE90，EABG（2）結論成立，BGAE，BGAE理由：如圖2，連接AD，延長EA交BG于K，交DG于O在RtBAC中，D為斜邊BC中點，ADBD，ADBC，ADG+GDB90四邊形EFGD為正方形，DEDG，且GDE90，ADG+ADE90，BDGADE在BDG和ADE中，BDGADE（SAS）

8、，BGAE，BGDAED，GOKDOE，OKGODE90，EABG（3）BGAE，當BG取得最大值時，AE取得最大值如圖3，當旋轉角為270時，BGAEBCDE4，BG2+46AE6在RtAEF中，由勾股定理，得AF，AF【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉的性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，正方形的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關鍵4如圖，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點，DEAG于點E，BFDE，且交AG于點F（1）求證：；（2）求證：DEBFEF；（3）若AB2，BG1，求線段EF的長【答案】（1）見解析；（2）見解析；

9、（3）【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得ABAD，ABCBAD90，根據(jù)DEAG，利用直角三角形兩銳角互余的關系可得BAFADE，利用AAS即可證明ADEBAF；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE=AF，BF=AE，根據(jù)線段的和差關系即可得結論；（3）利用勾股定理可求出AG的長，利用面積法可求出BF的長，進而利用勾股定理可求出AF的長，根據(jù)BF=AE，EF=AF-AE即可得答案【詳解】（1）四邊形ABCD是正方形，ABAD，ABCBAD90，DEAG，AEDDEF90，BFDE，AFBDEFAED90，BAFDAEADEDAE90BAFADE在ABF和DAE中，ADEBAF（2）DAEABF，A

10、EBF，DEAFAFAEEF，DEBFEF（3）ABC90，AG2AB2BG212225，SABG，在RtABF中，AF2AB2BF222，AF=，AE=BF，EF=AF-AE，【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，解答本題的關鍵是根據(jù)AAS證明ABFDAE，此題難度一般5如圖所示，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點（點G與不重合），于E，交DG于F.求證：.【答案】見解析.【分析】首先證明AEDDFC，則能得出DE=FC，AE=DF，進而得出結論【詳解】證明：四邊形ABCD是正方形，AD=DC，ADC=90又AEDG，CFAE，AED=DFC=

11、90，EAD+ADE=FDC+ADE=90，EAD=FDC，在AED和DFC中，AEDDFC（AAS）AE=DF，ED=FCDF=DE+EF，AE=FC+EF【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)以及三角形全等的判定方法是解題的關鍵6四邊形是邊長為的正方形，點在邊所在的直線上，連接，以為直角頂點在右側作等腰，連接（1）如圖1，當點在點左側，且三點共線時，_；（2）如圖2，當點在點右側，且時，求的長：（3）若點在邊所在直線上，且，求的長【答案】（1）6；（2）；（3）1或3【分析】（1）易證得四邊形CDMF和四邊形ANEM都是矩形，證得RtEMNRtFCM，

12、得到MF= NE=BF=2，EM=FC=4，即可求得BN的長；（2）易證得四邊形CDGH和四邊形ANHG都是矩形，證得RtCDMRtMGN，求得NH=，BH=AG=AM+MG，利用勾股定理即可求得BN的長；（3）分點M在點A左側、點M在點D右側、點M在線段AD上三種情況討論，分別利用勾股定理構造方程即可求解【詳解】（1）過M作EFAB，過N 作NEEF于E，延長CB交EF于F，如圖所示：又四邊形是邊長為的正方形，四邊形CDMF和四邊形ANEM都是矩形，MF=CD=2，NE=BF，BN=EF，NMC=90，MN=MC，NMC=NEM=MFC=90，EMN+CMF=90，F(xiàn)CM +CMF=90，E

13、MN=FCM，RtEMNRtFCM，MF= NE=2，則NE=BF=2，EM=FC=BF+BC=2+2=4，BN=EF=EM+MF=4+2=6；（2）過N作GHAB，延長AD、BC交GH于G、H，如圖所示：又四邊形是邊長為的正方形，四邊形CDGH和四邊形ABHG都是矩形，GH=CD=2，AG=BH，DG=CH，AM=，DM=，同理可證得RtCDMRtMGN，GN=DM=，MG=CD=2，NH= GH-GN=2-，BH=AG=AM+MG=，BN=；（3）點M在點A左側，過M作EFAB，過N 作NEEF于E，延長CB交EF于F，延長BA交NE于G，如圖所示：又四邊形是邊長為的正方形，四邊形CDMF

14、、四邊形BFEG和四邊形AMEG都是矩形，MF=CD=2，AG=ME，EG=FB=AM，同理可證得RtNEMRtMFC，MF= EN=2，EM=FC，設，則，在中，整理得：，(舍去)，；點M在點D右側，過N作EFAB，延長AD、BC交EF于F、E，如圖所示：同理可得：EF=CD=2，BE=AF，同理可證得RtCDMRtMFN，F(xiàn)N=DM，MF=CD=2，設，則，在中，整理得：解得：(舍去)，；點M在線段AD上，過M作EFAB，過N 作NEEF于E，延長BA交NE延長線于H，如圖所示：同理可得：MF=CD=2，HE=AM=BF，BH=EF，同理可證得RtEMNRtFCM，EN=MF=2，F(xiàn)M=F

15、C，設，則，F(xiàn)C=BC-BF=,，在中，解得：(舍去)，(舍去)，綜上所述AM的值為1或3【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，作出合適的輔助線構建全等三角形是解題的關鍵7在正方形中，點是邊上的一點，點是直線上一動點，于，交直線于點（1）當點運動到與點重合時(如圖1)，線段與的數(shù)量關系是_（2）若點運動到如圖2所示的位置時，（1）探究的結論還成立嗎？如果成立，請給出證明：如果不成立，請說明理由（3）如圖3，將邊長為的正方形折疊，使得點落在邊的中點處，折痕為，點、分別在邊、上，請直接寫出折痕的長【答案】（1）EF=AG；（

16、2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）利用ASA證明ABEDAG全等即可得到結論；（2）過點F作FMAE，垂足為M，利用ASA證明ADGFME，即可得到結論；（3）過點Q作QHAD于H，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得PQAM，然后求出APQ=AMD，再利用“角角邊”證明ADMQHP，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得QP=AM，再利用勾股定理列式求出AM，從而得解【詳解】解：（1）四邊形ABCD是正方形，BAE=ADG=90，AB=AD，ABE+AEB=90，EFAG，AEB+DAG=90，ABE=DAG，ABEDAG（ASA），EF=BE=AG；（2）成立，理由是：過點F作FMAE，垂足為M，四邊形A

17、BCD是正方形，BAE=ADG=90，AD=CD，MF=CD=AD，EMF=90，E+EFM=90，EFAH，HAE+E=90，HAE=EFM，ADGFME（ASA），EF=AG；（3）如圖，過點Q作QHAD于H，則四邊形ABQH中，HQ=AB，由翻折變換的性質(zhì)得PQAM，APQ+DAM=90，AMD+DAM=90，APQ=AMD，四邊形ABCD是正方形，AD=AB，HQ=AD，在ADM和QHP中，ADMQHP（AAS），QP=AM，點M是CD的中點，DM=CD=3，在RtADM中，由勾股定理得，AM=，PQ的長為【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換的問題，折疊問題其實質(zhì)是軸對稱

18、，對應線段相等，對應角相等，找到相應的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關鍵8如圖1，點C在線段AB上，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側作正方形ACDE和正方形BCMN， 連結AM、BD （1）AM與BD的關系是：_ （2）如果將正方形BCMN繞點C順時針旋轉銳角(如圖2)(1) 中所得的結論是否仍然成立？請說明理由 （3）在(2)的條件下，連接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值【答案】（1）相等且垂直；（2）成立， 理由詳見解析；（3）40【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AC=DC，CM=CB，ACM=DCB=90，利用SAS可證出ACMDCB，根據(jù)全等三角形的

19、性質(zhì)即可得出AM=BD，MAC+DBC=90，進而得出AMBD；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AC=DC，CM=CB，ACD=MCB=90，通過等量相加即可得到ACM=DCB，利用SAS可證出ACMDCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出AM=BD，MAC=BDC，設AM與CD交于點P，即可證出DPM+BDC=90，進而得出AMBD；（3）連接AD、BM，設AM與BD交于點Q，根據(jù)AMBD，即可利用勾股定理即可求出答案.【詳解】（1）相等且垂直.（1）在正方形ACDE和正方形BCMN中，AC=DC，ACM=DCB=90，CM=CB，ACMDCB（SAS），AM=BD，MAC=BDC，MAC+AMC=9

20、0，MAC+DBC=90，AMBD；故答案為相等且垂直；（2）第（1）問中的結論仍然成立，即AM與BD的關系是：相等且垂直；理由如下：如圖所示，設AM與CD交于點P，在正方形ACDE和正方形BCMN中，AC=DC，ACD=MCB=90，CM=CB，ACD+DCM=MCB+DCM,即ACM=DCB，ACMDCB（SAS），AM=BD，MAC=BDC，MAC+APC=90，BDC+APC =90，APC =DPM，BDC+DPM =90，AMBD；AM與BD的關系是：相等且垂直；（3）如圖所示，連接AD、BM，設AM與BD交于點Q，AC=4，BC=2，AD2=42+42=32，BM222+228，

21、由（2）可知，AMBD，AB2=AQ2+BQ2，DM2=DQ2+MQ2；AD2=AQ2+DQ2，BM2=BQ2+MQ2，AB2+DM2AQ2+BQ2+DQ2+MQ2，AD2+BM2AQ2+DQ2+BQ2+MQ2，AB2+DM2AD2+BM2=40.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識.結合圖形綜合運用所學知識是解題的關鍵.9如圖，在正方形中，對角線、相交于點，、分別在、上，且，連接、，的延長線交于點（1）求證：；（2）求證：【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)及SAS定理證AOEDOF，得出AE=DF即可；（2）由AOE

22、DOF得出OEA=OFD，證出OAE+OFD=90，得出AMF=90，即可得出結論【詳解】（1）四邊形是正方形， 又，即， 在和中， ； （2）由（1）得：， ， ，【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識；解答本題的關鍵是通過全等的證明和利用等角代換解題，屬于中考?？碱}型10如圖1，正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點P是線段AO上（不與點A，O重合）的一個動點，過點P作PEPB且PE交邊CD于點E（1）求證：PEPB；（2）如圖2，若正方形ABCD的邊長為2，過點E作EFAC于點F，在點P運動的過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這

23、個不變的值；若變化，請說明理由；（3）用等式表示線段PC，PA，CE之間的數(shù)量關系【答案】（1）見解析；（2）在P點運動的過程中，PF的長度不發(fā)生變化PF的長為定值；（3）理由見解析【分析】（1）做輔助線，構建全等三角形，根據(jù)ASA證明即可求解（2）如圖，連接OB，通過證明，得到PF=OB，則PF為定值是（3）根據(jù)AMP和PCN是等腰直角三角形，得，整理可得結論【詳解】（1）證明：如圖，過點P作MNAD，交AB于點M，交CD于點NPBPE，BPE90，MPB+EPN90四邊形ABCD是正方形，BADD90ADMN，BMPBADPNED90，MPB+MBP90，EPNMBP在RtPNC中，PCN

24、45，PNC是等腰直角三角形，PNCN，BMCNPN，BMPPNE（ASA），PBPE（2）解：在P點運動的過程中，PF的長度不發(fā)生變化理由：如圖2，連接OB點O是正方形ABCD對角線AC的中點，OBAC，AOB90，AOBEFP90，OBP+BPO90BPE90，BPO+OPE90，OBPOPE由（1）得PBPE，OBPFPE（AAS），PFOBAB2，ABO是等腰直角三角形，PF的長為定值（3）解：理由：如圖1，BAC45，AMP是等腰直角三角形，由（1）知PMNE，PCN是等腰直角三角形，【點睛】本題主要考查了四邊形綜合應用，通過對三角形全等的證明找出邊之間的關系，準確分析代換求解是解題

25、的關鍵11平面直角坐標系中，四邊形OABC是正方形，點A，C 在坐標軸上，點B（，），P是射線OB上一點，將繞點A順時針旋轉90，得，Q是點P旋轉后的對應點.（1）如圖（1）當OP = 時，求點Q的坐標；（2）如圖（2），設點P（，）（），的面積為S. 求S與的函數(shù)關系式，并寫出當S取最小值時，點P的坐標；（3）當BP+BQ = 時，求點Q的坐標（直接寫出結果即可）【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)、解直角三角形可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得出答案；（2）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，再根據(jù)旋轉的性質(zhì)、勾股定理可得，然后根據(jù)直角三角形的

26、面積公式可得S與x的函數(shù)關系式，最后利用二次函數(shù)的解析式即可得點P的坐標；（3）先根據(jù)旋轉的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)得出，從而得出點P在OB的延長線上，再根據(jù)線段的和差可得，然后同（1）的方法可得，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)、線段的和差可得，由此即可得出答案【詳解】（1）如圖1，過P點作軸于點G，過Q點作軸于點H四邊形OABC是正方形在中，繞點A順時針旋轉得到，在和中，則點Q的坐標為；（2）如圖2，過P點作軸于點G繞點A順時針旋轉得到，在中，由勾股定理得：整理得：整理得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，S隨x的增大而減??；當時，S隨x的增大而增大則當時，S取得最小值，最小值為9此時故點P的坐標為；（3）繞

27、點A順時針旋轉得到四邊形OABC是正方形，且邊長對角線點P在OB的延長線上解得如圖3，過P點作軸于點G，過Q點作軸于點H同（1）可得：，則點Q的坐標為 【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），正確得出點P的位置是解題關鍵12在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和點.（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線上的一個動點，點關于原點的對稱點為.當點落在該拋物線上時，求的值；（3）是拋物線上一動點，連接，以為邊作圖示一側的正方形，隨著點的運動，正方形的大小與位置也隨之改變，當頂點或恰好落在軸上時，求對應的點坐標.【答案

28、】（1）.（2）或.（3）點的坐標為，.【分析】（1）將和點代入解析式解方程即可；（2）將的坐標表示，把坐標代入解析式求m即可；（3）利用正方形性質(zhì)和一線三直角幾何模型，找到全等三角形，根據(jù)直角邊解方程即可.【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點和點.得，解得拋物線的解析式為.（2）與關于原點對稱，的坐標為.，都在拋物線上，.解得或.（3）當點落在軸上時，如圖1，過點作軸于點，四邊形是正方形，.，.又，.，有，解得或（舍去）.點坐標為.如圖2，過點作軸于點，同理可以證得，.，有，解得或（舍去）.點坐標為.當點落在軸上時，如圖3，過點作軸于點，過點作于點，同理可以證得，有，解得或（舍去）.點坐標為.如圖4，

29、過點作軸于點，過點作，交的延長線于點，同理可以證得，有，解得或（舍去）.點坐標為.綜上所述，點的坐標為，.【點睛】本題是經(jīng)典的二次函數(shù)題目，涉及待定系數(shù)法求解析式，點的表示及代入，以及與一線三直角模型的點的存在性問題，是典型的綜合性題目.13如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別位于邊長為a的正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，AGx，正方形EFGH的面積為y（1）當a2，y3時，求x的值；（2）當x為何值時，y的值最??？最小值是多少？【答案】（1）x；（2）當xa（即E在AB邊上的中點）時，正方形EFGH的面積最小，最小的面積為a2【分析】（1）設正方形ABCD的邊長為a，AEx，則BE

30、ax，易證AHEBEFCFGDHG，再利用勾股定理求出EF的長，進而得到正方形EFGH的面積；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出面積的最小值【詳解】解：設正方形ABCD的邊長為a，AEx，則BEax，四邊形EFGH是正方形，EHEF，HEF90，AEH+BEF90，AEH+AHE90，AHEBEF，在AHE和BEF中，AHEBEF（AAS），同理可證AHEBEFCFGDHG，AEBFCGDHx，AHBECFDGaxEF2BE2+BF2（ax）2+x22x22ax+a2，正方形EFGH的面積yEF22x22ax+a2，當a2，y3時，2x24x+43，解得：x；（2）y2x22ax+a22（xa）

31、2+a2，即：當xa（即E在AB邊上的中點）時，正方形EFGH的面積最小，最小的面積為a2【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，題目的綜合性較強，難度中等14如圖所示，以為邊作正方形，求點、的坐標.【答案】；【解析】【分析】過B作BEy軸，過C作CFx軸，垂足分別為E、F，可證明ABEDAOCDF，可求得OE、BE、CF、OF的長，可求得B、C的坐標【詳解】解：如圖，過B作BEy軸，過C作CFx軸，垂足分別為E、F，四邊形ABCD為正方形，A=D=90，AB=CD，BAE+DAO=DAO+ADO=90，BAE=ADO，在ABE和DAO中，AB

32、EDAO（AAS），同理可得DAOCDF，A（0，2），D（1，0），BE=DF=OA=2，AE=CF=OD=1，OE=OA+AE=2+1=3，OF=OD+DF=1+2=3，B點坐標為（2，3），C點坐標為（3，2）【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，利用正方形的四邊相等找到條件通過證明三角形全等求得BE、AE、CF、OF的長是解題的關鍵15如圖所示，四邊形為正方形，交軸于.求點的坐標.【答案】【解析】【分析】作軸于E，作于F，易證，得，即可求出點B坐標.【詳解】解：作軸于E，作于F，在正方形ABCD中，【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)以及全等三角形的判定與

33、性質(zhì)；通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關鍵當正方形的部分點在坐標軸上，往往過另外的點向坐標軸作垂線，從而得到“形外三垂直”的基本圖形. 利用正方形邊角的性質(zhì)構造全等三角形求點的坐標.三、填空題16如圖，正方形的邊長為4，點在邊上，若點在正方形的某一邊上，滿足，且與的交點為則_【答案】或【分析】分兩種情況進行討論，點F在AD上或點F在AB上，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，即可得到CM的長【詳解】解：分兩種情況：如圖1所示，當點F在AD上時，由CF=BE，CD=BC，BCE=CDF=90可得，RtBCERtCDF（HL），DCF=CBE，又BCF+DCF=90，BCF+CBE=90，B

34、MC=90，即CFBE，BC=4，CE=3，BCE=90，BE=5，CM=；如圖2所示，當點F在AB上時，同理可得，RtBCFRtCBE（HL），BF=CE，又BFCE，四邊形BCEF是平行四邊形，又BCE=90，四邊形BCEF是矩形，CM=BE=5=故答案為：或【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件17如圖，四邊形中，則_【答案】45【分析】作AEBC于E，AFCD延長線于點F，易證四邊形AECF為矩形，可得FAE90，再根據(jù)DAB90，可得DAFB

35、AE，即可證明BAEDAF，可得AEAF，即可判定矩形AECF為正方形，即可解題【詳解】解：作AEBC于E，AFCD延長線于點F，AECAFCBCD90，四邊形AECF為矩形，F(xiàn)AE90，即DAFDAE90，DAEBAE90，DAFBAE，在BAE和DAF中，AEBF，BAEDAF，ABAD，BAEDAF（AAS），AEAF，矩形AECF為正方形，ACB45；故答案為：45【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵18如圖，平面直角坐標系中有一正方形，點的坐標為點坐標為_【答案】【分析】過點作軸于

36、，過點作軸，過點作交CE的延長線于先證明，得到，根據(jù)點的坐標定義即可求解【詳解】解：如圖，過點作軸于，過點作軸，過點作交CE的延長線于，四邊形是正方形，易求又，點的坐標為，點到軸的距離為，點的坐標為故答案為：【點睛】本題考查了平面直角坐標系點的坐標，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意，添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵19如圖在直線上一次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別為1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S12S22S3S4=_【答案】6【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到ABD=90，AB=DB，再根據(jù)等角的余角相等得到CAB=DBE，則可根據(jù)“A

37、AS”判斷ABCBDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代換后有DE2+AC2=BD2，根據(jù)正方形的面積公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同樣方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通過計算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6【詳解】解：如圖，圖中的四邊形為正方形，ABD=90，AB=DB，ABC+DBE=90，ABC+CAB=90，CAB=DBE，在ABC和BDE中， ，ABCBDE（AAS），AC=BE，DE2+BE2=BD2，DE2+AC2=BD2，S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，S1+S2=1，同

38、理可得S2+S3=2，S3+S4=3，S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6故答案為：6【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì)20如圖，點A，B，E在同一條直線上，正方形ABCD，BEFG的邊長分別為2，3，H為線段DF的中點，則BH_【答案】【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理可以求得DF的長，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到DBF的形狀，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到BH的長【詳解】解：延長DC交FE于點M，連接BD、BF，正方形ABCD，BEFG的邊長分別為2，3，DM5，MF1，DMF90，DF，BD、BF分別是正方形ABCD，BEFG的對角線，DBC=GBF=90，DBF90，DBF是直角三角形， 點H為DF的中點，BHDF，故答案為：【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關系、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答21如圖，邊長一定的正方形ABCD，Q為CD上一個動點，AQ交BD于點M，過M作MNAQ交BC于點N，作NP