《大學(xué)物理學(xué)》習(xí)題解答(第12章靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì))

1、第12章靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)12.11半徑為K的金屬球A位于同心的金屬球殼內(nèi),球殼的內(nèi)、外半徑分別為尺2、尺3（血尺3）。現(xiàn)在使金屬球A帶電屋為+0,則此球殼的電勢(shì)為多少?-Oe【12.1解】根據(jù)高斯定理，可求得B球殼外的電場(chǎng)強(qiáng)度：E（R3r）B球殼為等勢(shì)體，其電勢(shì)為V=|R、4磯廣4磯*廣4磯篤【12.2】一導(dǎo)體球半徑為心,外罩一半徑為心的同心薄導(dǎo)體球殼，外球殼所帶總電荷為0,而內(nèi)球的電勢(shì)為Vq.求此系統(tǒng)的電勢(shì)和電場(chǎng)分布。12-2解】已知內(nèi)球電勢(shì)為,外球殼帶電0。（1）先求各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度：設(shè)內(nèi)球帶電荷g。由高斯定理，有球的電勢(shì)為:CDV0=Edr=E1-dr+jE2dr-q坨A他+=亠+

2、丄4兀祁24%4亦0鳥(niǎo)(q+0q解得：q=（4龍%-所以，球外殼內(nèi)電場(chǎng)呂=學(xué)_%。、風(fēng)rR.）廣4乃心尼廣殼外電場(chǎng)仔譽(yù)-怦（Z）（2）求各區(qū)域的電勢(shì)：球外殼內(nèi)電勢(shì)V=?Edr=f耳dr+jdr二砒什丄（尺svE）rrk4磯鳥(niǎo)廠殼外電勢(shì)112.3】有兩個(gè)同心球而，半徑分別為=10.0cm,/?2=12.0cm,兩球面都均勻帶電。已知兩球而之間的電勢(shì)差=%-%=90V,外球而的電勢(shì)是V/?j=750Vo求各球而的帶電量?！?2.3解】設(shè)內(nèi)球面帶電0】，外球而帶電。先用高斯定理求得空間各處場(chǎng)強(qiáng)E產(chǎn)。，24E廠跆（WAE廠先縈（尼/?）處放置一點(diǎn)電荷不計(jì)丄+出=丄+丄收“40r*4%R4兀知4%RJs

3、由此求得感應(yīng)電荷總量q=r=-半g【12.6】地球和電離層可當(dāng)作一個(gè)球形電容器，它們Z間相距約為100km,試估算地球電離層系統(tǒng)的電容,設(shè)地球與電離層之間為真空。【12.8解】地球半徑為=6.37xl06m；電離層半徑/?2=1.00 xlOn+Z?!=6.47xl06m根據(jù)球形電容器的電容公式，得:C=40=4.58x102F尼-K【12.7】半徑分別為。和b的兩個(gè)金屬球，球心間距為r（rf/,rb）,今用一根電容可忽略的細(xì)導(dǎo)線將兩球相連，試求：（1）該系統(tǒng)的電容；（2）當(dāng)兩球所帶的總電荷是0時(shí)，每一球上的電荷是多少？【12.7解】由于rci,rb9可也認(rèn)為兩金屬球互相無(wú)影響。設(shè)a球帶電4,

4、b球帶電的，兩球電勢(shì)均為V。（1）對(duì)球而言=v4磯a刈J：6球而言-=v4開(kāi)少刈J：a、b兩球這個(gè)系統(tǒng)而言4=47rsQaV=4%卓=上耳；q2=4才訥=4噸琴=Ca+bCa+b12.8兩線輸電線的線徑為3.26mm,兩線中心和距離050m,輸電線位丁地面上空很高處，因而人地影響可以忽略，求輸電線單位長(zhǎng)度的電容。z4d-打*iuE1-幾x0兄5（12.8解】設(shè)輸電線半徑為人，兩線軸心和距d,單位長(zhǎng)度分別帶電2、兩線電勢(shì)差為o取坐標(biāo)如圖。輸電線單位長(zhǎng)度電容為c=（1）一根帶電2的輸電線在兩線之間、距其軸心x處卩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為另一根帶電-兄的輸電線在p點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為E_=亦（_P點(diǎn)的總電場(chǎng)強(qiáng)度為E

5、=E+E_=(-+-)i2%xd-xd_Rd_Rjnr兩輸電線的電勢(shì)差為U=Ed=Edt=lnLi隔R輸電線單位長(zhǎng)度的電容C=o/In/In=4.86xlO_12FURR【12.9半徑為&的導(dǎo)體球被圍在內(nèi)半徑為尺j、外半徑為/?3、相對(duì)電容率為6的介質(zhì)球殼內(nèi)，它們是同球心的。若導(dǎo)體帶電為0，則導(dǎo)體內(nèi)球表面上的電勢(shì)為多少？【12.9解】先求各區(qū)域電場(chǎng)d=0(/*)Er=*(RfcRJ_4磯廠-在介質(zhì)球殼區(qū)域，應(yīng)用介質(zhì)內(nèi)的高斯定理4龍產(chǎn)0=0,D=如工3,(R3r)4磯廣8R8(5)求金屬球的電勢(shì)V=jEdr=jE2-dr+j3-dr+j，E4dr%陽(yáng)Rj二0(11)1Q(11門Q初勺&R-,4穴

6、眷,.R2R34開(kāi)6R312.10蓋革一米勒管可用來(lái)測(cè)最電離輻射，該管的基本結(jié)構(gòu)是由半徑為Ri的長(zhǎng)直導(dǎo)體和同軸的半徑為心的圓筒組成。半徑為2的長(zhǎng)直導(dǎo)體作為一個(gè)電極，半徑為心的同軸圓柱筒為另一個(gè)電極，它們之間允以相對(duì)電容率6=1的氣體。當(dāng)電離粒子通過(guò)氣體時(shí)，能使其電離，若兩極間有電勢(shì)差時(shí)，極間有電流，從而可測(cè)出電離粒子的數(shù)量。若以&表示半徑為川的長(zhǎng)直導(dǎo)體附近的電場(chǎng)強(qiáng)度。(1)求兩極間電勢(shì)差的關(guān)系式；(2)若Ex=2.0 xl06Vnr1,&=0.30mm,/?=20.00mm,兩極間的電勢(shì)差為多少？【12.10解】(1)利用高斯定理可得EmrL=兩極間的電場(chǎng)強(qiáng)度導(dǎo)線表面(廣=坨)電場(chǎng)強(qiáng)度兩極間的

7、電勢(shì)差R】Ror(2)當(dāng)Ej=2.0 xl06VnrRx=0.3mm,R.=20.0mm時(shí)，7=2.52xl03V一片相對(duì)電容率=173的二氧化鈦晶片，其面積為1.0cm3,厚度為010mm,把平行平板電容器的兩極板緊貼在晶片兩側(cè)。求：（1）電容器的電容；（2）電容器兩極加上12V電壓時(shí)，極板上的電荷為多少，此時(shí)自由電荷和極化電荷的面密度各為多少？（3）求電容器內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度。Q12.11解】（1）充滿此介質(zhì)的平板電容器的電容C=T=l53xl（）TFa（2）電容器加上的電壓時(shí)，極板上的電荷e=Cf/=1.84xlOC極板上的自由電荷而密度為0-o=y=1-84xloc-m_2晶片表面極化電荷密

8、度磯=（1-）To=1.83xlO-4Cnr2（3）晶片內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度f(wàn)=1.2xlO5Vnr1a有一個(gè)平板電容器，充電后極板上電荷面密為a0=4.5xlO_5Cnr2,現(xiàn)將兩極板與電源斷開(kāi),然后再把和對(duì)電容率為6=2.0的電介質(zhì)插入兩極板之間，此時(shí)電介質(zhì)中的DE和P各為多少?12.12解】允電后斷開(kāi)電源插入介質(zhì)前后，極板上的電荷不變。利用介質(zhì)中的高斯定理可得介質(zhì)中電位移欠量的數(shù)值D=-=（y0=4.5xlO5Cnr2AS0介質(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度的數(shù)值為E=丄一=2.5xl06Vnr16）6介質(zhì)中極化強(qiáng)度的數(shù)值為P=P-6-o=23xlO5Cnr2D.E.P方向相同，均由正極板指向負(fù)極板?！?2.13】

9、在一半徑為&的長(zhǎng)直導(dǎo)線外套有氯J橡膠絕緣護(hù)套，護(hù)套外半徑為心，相對(duì)電容率為耳，設(shè)沿軸線單位長(zhǎng)度上導(dǎo)線的電荷密度為入，試求介質(zhì)層內(nèi)的D、E和氏12.3解】由介質(zhì)中的高斯定理，有&D6S=D17rrL=AL,得：D=er,171Y/）212在各向同性的均勻介質(zhì)中E=丄=-:P=D-qE=（1-）2兀辱jrInr12.141如題圖所示，設(shè)有兩個(gè)薄導(dǎo)體同心球殼A與B,它們的半徑分別為/?1=10cm與/?3=20cm,并分別帶有電荷40 x10%與1610叱，球殼間有兩層介質(zhì)，內(nèi)層介質(zhì)的相對(duì)電容率61=40,外層介質(zhì)的相對(duì)電容率r2=2.0,其分界面的半徑為/?2=15cm,球殼B外的介質(zhì)為空氣，求:

10、習(xí)題12-14圖（1）兩球間的電勢(shì)差ab：（2）離球心30cm處的電場(chǎng)強(qiáng)度；（3）球A的電勢(shì)。12.14解】（1）由介質(zhì)中的高斯定理Pd5=n-W=e1得Dl=D2=er4龍廠E、=2=七(%rRJ4磯WE.=-=s(RrrR3)TOC o 1-5 h z4亦苗乜廠一RR】付兩球殼間的電勢(shì)差朋=jEdr=jEdr+jEydr%Ri二念骨訃念僉僉=-沖同理，由高斯定理得I絆。皿嚴(yán)十（3）A球的電勢(shì)coRQi+4吋3=2.1x103V【12.15】如圖，有一空氣平板電容器極板面積為S,間距為d,現(xiàn)將該電器接在端電壓為（/的電源上充電。當(dāng)（1）充足電后；（2）然后平行插入一塊而積相同，厚為為5,相對(duì)

11、電容率為的電介質(zhì)板；（3）將上述電介質(zhì)換為相同大小的導(dǎo)體板時(shí)，分別求極板上的電荷0,極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度E和電容器的電容C。112.15解】無(wú)論在極板間插入介質(zhì)還是導(dǎo)體，插入前后電容器極板間的電壓不變，但極板電荷、板間電場(chǎng)、以及電容都要變。丄8/t習(xí)題12-15圖（1）充電后，板間場(chǎng)強(qiáng)0=電壓U=Ed%得電容廣QoEgoSsQScUUd電荷2=尋二竽;（2）插入介質(zhì)后，可由介質(zhì)中的高斯定理求得板間電位移欠鼠得各區(qū)域電場(chǎng)，在空氣中咕沁；板間電壓U=El(d-6)+Elf6=得電容c_Qi_2i_1U_(d_)+016(d_6+d電荷a-c.u-曲11w,(d-5)+5空氣中的場(chǎng)強(qiáng)_a_叨1Sw,(d

12、-5)+5介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)ea=jS556(d-5)+5（3）插入金屬后，相當(dāng)丁電容器板間距縮小了5,變?yōu)閐-d。此時(shí)，電容c穴丹；電荷Q廠”胃板間空氣中的場(chǎng)強(qiáng)=板間金屬中的場(chǎng)強(qiáng)EJ=O-d-5-12.16有一平行平板電容器，兩極板被厚度為0.01mm的聚四氯乙烯薄膜所隔開(kāi).求該電容器的額定電壓.【12.16解】査表可知聚四氟乙烯的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度E=1.9xl（）7vm-】。當(dāng)電容器不被擊穿時(shí)，電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度EEhO因此，由均勻電場(chǎng)中電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，可得電容器最人電勢(shì)差（即額定電壓）為u_=Ehd=190V【12.17】空氣中半徑為10cm和0.10cm的長(zhǎng)直導(dǎo)線上表面電荷的最人電荷而密度

13、分別為多少？【12.17解】設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線上單位長(zhǎng)度所帶電荷為；L則導(dǎo)線周闈的場(chǎng)強(qiáng)為E=2隔r心式中導(dǎo)體表面電荷而密度T=o顯然，在導(dǎo)體表面附近電場(chǎng)強(qiáng)度最人。查表可知空氣的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)Inr度=3.0 xl06Vnr1,只有EEb,空氣才不會(huì)被擊穿，故O的極限值q=cQEh=2.66xlO_5C-m_2它與導(dǎo)體半徑無(wú)關(guān)。112.18】半徑為K的導(dǎo)體球上帶有電量+Q,其外有一與它同心的導(dǎo)體球殼，半徑為篤，中間充滿兩種均勻電介質(zhì)，分界面的半徑為鳥(niǎo)，（&R2R3）,坨與鳥(niǎo)之間電介質(zhì)的相對(duì)電容率為，/?2與人3之間電介質(zhì)的相對(duì)電容率為6,。試求（1）兩介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度El、E（2）導(dǎo)體球與球殼間的電壓V-嶺

14、；（3）盡與鳥(niǎo)之間電場(chǎng)的能量。【12.18解】（1）先求兩種介質(zhì)內(nèi)的電位移欠吊:和電場(chǎng)強(qiáng)度欠鼠:（盡rR2）0=且4廠（2）導(dǎo)體球與球殼的電勢(shì)差RR2Ryl/-K=j，d/-=jE1dr+jE2-dr=%R】（3）儲(chǔ)存的能量%1111+4磯1川7?16占2r22r23）八2忌場(chǎng)W,=-ED.dV+-iE.D.6V=-222_-24rdV+LQdV2g廠初廠（尼rR3）=號(hào)斗他気+廿命卄里（4+3）2,m*2450廠8亦061尼K2尼人312.19一平行板空氣電容器，極板面積為S,板間距為d,充電至帶電0后與電源斷開(kāi)，然后用外力緩緩地把兩極間距拉開(kāi)到2d,求（1）電容器能量的改變；（2）在此過(guò)程

15、中外力所作的功，并討論此過(guò)程中的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系?！?2.19解】斷開(kāi)電源后，極板上的電荷固定，拉動(dòng)極板的過(guò)程中電荷仍不變，根據(jù)E=知，電場(chǎng)強(qiáng)度%也不變，因此，電容器內(nèi)的能量密度也不變We=-：QE但是，極板間距增人后，電場(chǎng)存在的區(qū)域增人,2因此電容器儲(chǔ)存的總能最增加。所增加的能帚應(yīng)該等r拉開(kāi)極板的過(guò)程中外力克服極板間的靜電引力所作的功。（1）拉開(kāi)后，增加的能鼠等j:能量密度乘以增加的體積AW=vv.AV=卡屛=卡屛Sd=訊（掙Sd=g（2）兩導(dǎo)體極板帶等最異號(hào)電荷。假設(shè)正極板固定，外力F把負(fù)極板緩緩拉開(kāi)，此時(shí)，負(fù)極板受到Qd2S的靜電力應(yīng)為F嚴(yán)_QE,外力F=-Fe做的功為W=FAr=-FjAr=QEA