柯西不等式—于茂源_第1頁
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1、2.1.1 平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式 柯西(Cauchy, 17891857)是法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家。他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功底是相當(dāng)深厚的，很多數(shù)學(xué)的定理、公式都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式、柯西中值定理。在數(shù)學(xué)寫作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書?？挛鞑坏仁绞怯煽挛髟谘芯繑?shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的?？挛骱喗樵O(shè) 都是實(shí)數(shù)， 則 定理1：(柯西不等式的代數(shù)形式)柯西不等式當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.證明：方法：比較法定理證明當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.兩組數(shù)：兩組數(shù)平方和的乘積對應(yīng)項(xiàng)乘積和的平方不小于溫故知新已知兩個非

2、零向量 和 ， 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.溫故知新令：當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.定理2：(柯西不等式的向量形式)柯西不等式設(shè) 為平面上的兩個向量， 則 ， 當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.例1.填空：牛刀小試（答案不唯一）牛刀小試?yán)?.設(shè) 求 的最大值.法1：由均值不等式當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.牛刀小試?yán)?.設(shè) 求 的最大值.法2：由柯西不等式當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.牛刀小試?yán)?.設(shè) 求 的最大值.解：由柯西不等式變式1.當(dāng)且僅當(dāng) 即 時，等號成立.牛刀小試?yán)?.設(shè) 求 最大值.變式2. 解：由柯西不等式當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.牛刀小試思考.設(shè) 求 的最大值.解：由柯西不等式由條件可知 ，因此 一定小于1，問題在哪？練習(xí).求函數(shù) 的最大值.解：函數(shù) 的定義域?yàn)?由柯西不等式當(dāng)且僅當(dāng) 即 時，等號成立.牛刀小試平方和為定值！例3.已知 ，求：牛刀小試（1） 的最小值；（2） 的最小值.鏈接高考已知 證明：2017全國2理23題：法1：鏈接高考法2：柯西不等式已知 證明：2017全國2理23題：課堂小結(jié)柯西不等式利用柯西不等式求最值：學(xué)會構(gòu)造、注意取等拓展延伸1.三維形式下的柯西不等式？2

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