高考數(shù)學(xué)常用公式結(jié)論200條

1、高考數(shù)學(xué)常用公式 結(jié)論200條 集合 元素與集合的關(guān)系,.德摩根公式 .包含關(guān)系容斥原理.集合的子集個(gè)數(shù)共有 個(gè)；真子集有1個(gè)；非空子集有 1個(gè)；非空的真子集有2個(gè).集合A中有M個(gè)元素，集合B中有N個(gè)元素，則可以構(gòu)造M*N個(gè)從集合A到集合B的映射；二次函數(shù)，二次方程二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式;(2)頂點(diǎn)式;(3)零點(diǎn)式.解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式.方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,與不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi),等價(jià)于,或且,或且.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：(1)當(dāng)a0時(shí)，若，

2、則；，.(2)當(dāng)a0)（1），則的周期T=a；（2），或，或,或,則的周期T=2a；(3)，則的周期T=3a；(4)且，則的周期T=4a；(5),則的周期T=5a；(6)，則的周期T=6a.指數(shù)與對數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)（，且）.(2)（，且）.根式的性質(zhì)（1）.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1) .(2) .(3).注： 若a0，p是一個(gè)無理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式 .對數(shù)的換底公式 (,且,且, ).推論 (,且,且, ).對數(shù)的四則運(yùn)算法則若a0，a1，M0，N0，則(1);(2) ;(3

3、).設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則，且;若的值域?yàn)?則，且.對于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).對數(shù)換底不等式及其推廣 若,則函數(shù) (1)當(dāng)時(shí),在和上為增函數(shù).， (2)當(dāng)時(shí),在和上為減函數(shù).推論:設(shè)，且，則（1）.（2）.平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時(shí)間的總產(chǎn)值，有.39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系( 數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).數(shù)列等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；其前n項(xiàng)和公式為.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；其前n項(xiàng)的和公式為或.等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為；其前n項(xiàng)和公式為.分期付款(按揭貸款) 每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).三角函數(shù)常見三角不等式（1）若，則.(2) 若，則.

4、(3) .同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ，=，.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù)) 和角與差角公式 ;.(平方正弦公式);.=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ).半角正余切公式：二倍角公式 .三倍角公式 .三角函數(shù)的周期公式 函數(shù)，xR及函數(shù)，xR(A,為常數(shù)，且A0，0)的周期；函數(shù)，(A,為常數(shù)，且A0，0)的周期.正弦定理.余弦定理;.面積定理（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.(3).三角形內(nèi)角和定理 在ABC中，有.在三角形中有下列恒等式： 簡單的三角方程的通解 . .特別地,有. .最簡單的三角不等式及其解集 . . . .角的變形：向量實(shí)

5、數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么(1) 結(jié)合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1) ab= ba （交換律）;(2)（a）b= （ab）=ab= a（b）;(3)（a+b）c= a c +bc.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)1、2，使得a=1e1+2e2不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底向量平行的坐標(biāo)表示 設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0).a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)ab=|a|b|cosab的幾何意義數(shù)

6、量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a=,b=，則a+b=.(2)設(shè)a=,b=，則a-b=. (3)設(shè)A，B,則.(4)設(shè)a=，則a=.(5)設(shè)a=,b=，則ab=.兩向量的夾角公式(a=,b=).平面兩點(diǎn)間的距離公式 =(A，B).向量的平行與垂直 設(shè)a=,b=，且b0，則A|bb=a .ab(a0)ab=0.線段的定比分公式 設(shè)，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則（）.三角形的重心坐標(biāo)公式 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,則ABC的重心的坐標(biāo)是.點(diǎn)的平移公式 .注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形上的對應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為.“按向量平

7、移”的幾個(gè)結(jié)論（1）點(diǎn)按向量a=平移后得到點(diǎn).(2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.(3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對邊長分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.（5）為的的旁心.不等式常用不等式：（1）(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”號)（2）(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”號)（3）（4）柯西不等式（5）.極值定理已知都是正數(shù)，則有（1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)

8、和有最小值；（2）若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值.推廣 已知，則有（1）若積是定值,則當(dāng)最大時(shí),最大；當(dāng)最小時(shí),最小.（2）若和是定值,則當(dāng)最大時(shí), 最??；當(dāng)最小時(shí), 最大.一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.；.含有絕對值的不等式 當(dāng)a 0時(shí)，有.或.75.無理不等式（1） .（2）.（3）.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式 (1)當(dāng)時(shí),; .(2)當(dāng)時(shí),;直線方程斜率公式 （、）. k=tan(為直線傾斜角）直線的五種方程 （1）點(diǎn)斜式 (直線過點(diǎn)，且斜率為)（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).（3）兩點(diǎn)式 ()(、

9、 ().(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式 (其中A、B不同時(shí)為0).兩條直線的平行和垂直 (1)若，;.(2)若,且A1、A2、B1、B2都不為零,；兩直線垂直的充要條件是 ；即：夾角公式 (1).(，,)(2).(,).直線時(shí)，直線l1與l2的夾角是.到的角公式 (1).(，,)(2).(,).直線時(shí)，直線l1到l2的角是.四種常用直線系方程 (1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點(diǎn)的直線系方程為(除)，其中是待定的系數(shù)(3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k

10、一定而b變動時(shí)，表示平行直線系方程與直線平行的直線系方程是()，是參變量(4)垂直直線系方程：與直線 (A0，B0)垂直的直線系方程是,是參變量點(diǎn)到直線的距離 (點(diǎn),直線：).或所表示的平面區(qū)域設(shè)直線，若A0,則在坐標(biāo)平面內(nèi)從左至右的區(qū)域依次表示 ，若A0,則在坐標(biāo)平面內(nèi)從左至右的區(qū)域依次表示 ，可記為“x 為正開口對，X為負(fù)背靠背“。（正負(fù)指X的系數(shù)A，開口對指”，背靠背指0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于圓錐曲線共性問題兩個(gè)常見的曲線系方程(1)過曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是(為參數(shù)).(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓; 當(dāng)時(shí),表示雙曲線.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或

11、（弦端點(diǎn)A由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）. 涉及到曲線上的 點(diǎn)A，B及線段AB的中點(diǎn)M的關(guān)系時(shí)，可以利用“點(diǎn)差法：，比如在橢圓中：圓錐曲線的兩類對稱問題（1）曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的曲線是.（2）曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是.“四線”一方程 對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.立體幾何109證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.110證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)

12、化為直線與平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.111證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.112證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.113證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.114證明平面與平面的垂直的思考

13、途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律：ab=ba(2)加法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)(3)數(shù)乘分配律：(ab)=ab116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所表示的向量.117.共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a、b(b0 )，ab存在實(shí)數(shù)使a=b三點(diǎn)共線.、共線且不共線且不共線.118.共面向量定理 向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對,使推論 空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使

14、，或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對，使.119.對空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足（），則當(dāng)時(shí)，對于空間任一點(diǎn)，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)時(shí)，若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面四點(diǎn)共面與、共面（平面ABC）.120.空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使pxaybzc推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影，作B點(diǎn)在上的射影，則a，e=ae

15、122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a，b則(1)ab；(2)ab；(3)a (R)；(4)ab；123.設(shè)A，B，則= .124空間的線線平行或垂直設(shè)，則；.125.夾角公式 設(shè)a，b，則cosa，b=.推論 ，此即三維柯西不等式.126. 四面體的對棱所成的角四面體中, 與所成的角為,則.127異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）128.直線與平面所成角(為平面的法向量).129.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則.特別地,當(dāng)時(shí),有.130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則

16、.特別地,當(dāng)時(shí),有.131.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.132.三余弦定理設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，且BCAC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為則.133. 三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,與二面角的棱所成的角是，則有 ;(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立).134.空間兩點(diǎn)間的距離公式 若A，B，則 =.135.點(diǎn)到直線距離(點(diǎn)在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).136.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).137.點(diǎn)到平面的距離 （為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜

17、線，）.138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式 .（）. (兩條異面直線a、b所成的角為，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，,). 139.三個(gè)向量和的平方公式 140. 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.141. 面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則.143作截面的依據(jù)三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.144棱錐的平行截面的

18、性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比145.歐拉定理(歐拉公式) (簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；（2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.146.球的半徑是R，則其體積,其表面積147.球的組合體 (1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球

19、的直徑是長方體的體對角線長. (2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長. (3) 球與正四面體的組合體: 棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.148柱體、錐體的體積（是柱體的底面積、是柱體的高）.（是錐體的底面積、是錐體的高）.排列組合分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）.排列數(shù)公式 =.(，N*，且)注:規(guī)定.排列恒等式 (1）;（2）;（3）; （4）;（5）.(6) .組合數(shù)公式 =(N*，且).組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1)= ;(2) +=.注:規(guī)定.組合恒

20、等式（1）;（2）;（3）; （4）=;（5）.(6).(7). (8).(9).(10).排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 .單條件排列以下各條的大前提是從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列.（1）“在位”與“不在位”某（特）元必在某位有種；某（特）元不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）定位緊貼：個(gè)元在固定位的排列有種.浮動緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（），把它們合在一起來作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.（3）兩組元素各相同的插空 個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？

21、當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，有種排法.（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為.分配問題（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個(gè)物件等分給個(gè)人，各得件，其分配方法數(shù)共有.（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有.（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，件，且，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有.（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，件，且，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有 .（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為

22、任意的，件無記號的堆，且，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為任意的，件無記號的堆，且，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有.（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個(gè)物體分給甲、乙、丙，等個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，時(shí)，則無論，等個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有.“錯(cuò)位問題”及其推廣貝努利裝錯(cuò)箋問題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為.推廣: 個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為.不定方程的解的個(gè)數(shù)(1)方程（）的正整數(shù)解有個(gè).(2) 方程（）的非負(fù)整數(shù)解有 個(gè).(3) 方程（）

23、滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).(4) 方程（）滿足條件(,)的正整數(shù)解有個(gè).二項(xiàng)式定理 ;二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.概率等可能性事件的概率.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(AB)=P(A)P(B)個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)= P(A)P(B).n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率期望與方差.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)（1）;（2）.數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）.（2）若,則.(3) 若服從幾何分布,且，則.方差標(biāo)準(zhǔn)差=.方差的性質(zhì)(1)；(2）若，則.(3) 若服從幾何分布,且，則.方差與期望的關(guān)系.正態(tài)分布密度函數(shù)，式中的實(shí)數(shù)，（0）是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù).對于，取值小于x的概率.回歸直線方程 ，其中.相關(guān)系數(shù) .|r|1，且|r|越