最優(yōu)化方法(試題 答案)(2).doc

1、填空題1.假設(shè),那么 V/(x)= , V2/(x)=.設(shè)/連續(xù)可微且可工0,假設(shè)向量d滿足，那么它是/在X處的 一個(gè)下降方向。.向量(123)關(guān)于3階單位方陣的所有線性無關(guān)的共輾向量有.設(shè)廠肥一氏二次可微，那么/在處的牛頓方向?yàn)?舉出一個(gè)具有二次終止性的無約束二次規(guī)劃算法：.以下約束優(yōu)化問題：min f (x) = x.t. (x) = x2 - xf + = 0g(x) =-x2 0的K-K-T條件為：7.以下約束優(yōu)化問題:min f (x) = x； +s.t. x + x2 =由于無2飛0,故得所求二次規(guī)劃問題的最優(yōu)解為相應(yīng)的Lagrange乘子為 萬=(2,0,0)4.解：計(jì)算梯度得

2、Nf (x) = (2x)-x2- 2,2x2 一 )當(dāng)左=0時(shí)，”)=(0,0),“(燈=(-2,0)：y是下面線性規(guī)劃問題的解:必2，歹220解此線性規(guī)劃(作圖法)得/)=(2/3,0),，于是 小。)=。)。)=(2/3,0)，.由線性搜索min/(%+) = %04閆93得，。=1.因此，x(1)=x(0)+/0 0, ze； = 1,.hj(x) = 0? j e E = 叫 +1,回是凸規(guī)劃問題。2.設(shè)廣朋-R連續(xù)可微，R, cR, i = i，2,加，考察如下 的約束條件問題：min /(x) Ts.t. ai x-bi 0,z e / = 1,2-wjTai x-bi = 0,

3、z g = Wj +min fxTdTs.t. ai d 0.i e Ia： d = 0,1 e EII陽區(qū)1的解，求證：d是/在處的一個(gè)可行方向。三、計(jì)算題（每題12分）.取初始點(diǎn)”）=（1，1）采用精確線性搜索的最速下降法求解下 面的無約束優(yōu)化問題（迭代2步）：min /（x） = x； + 2xf.采用精確搜索的BFGS算法求解下面的無約束問題:min /（x） = - X）2 +x； -x1x2.用有效集法求解下面的二次規(guī)劃問題:min f (x) = X +x2 - 2xl - 4x2S.t. X芍 +1 0X 0,x2 0.用可行方向算法（Zoutendijk算法或Frank Wo

4、lfe算法） 求解下面的問題（初值設(shè)為”）=（，）,計(jì)算到工即可）：min /(x) - gx： -X|x2 +x- 2xs.t.s.t.3x1 + x2 0,x2 0.參考答案、填空題42 + 2x2 +11.1.2項(xiàng)+4+3八2 4力,V/(x)rt/Z X； +1=0A O,x, -x2 O,A(x1 -x2) = 07.22 I、F (x) = x + (X + x2 -1)二、證明題.證明：要證凸規(guī)劃，即要證明目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)且可行域 是凸集。一方面，由于/二次連續(xù)可微，P/（x）= 2/正定，根據(jù)凸函數(shù) 等價(jià)條件可知目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)。另一方面，約束條件均為線性函數(shù)，假設(shè)任意可行域，

5、那么gj 3 + (1 - a)y) = agi (x) + (1 - a)gi(y)0 iel hj(ax + (1- a)y) = ahj(x) + (1 - a)hj(y) = 0 i e E故+ (1-從而可行域是凸集。.證明：要證是/在處的一個(gè)可行方向，即證當(dāng)xw。， eR時(shí)，mbO,使得 x + ade。，ae(O,b當(dāng) iw/時(shí)，ax-biNO, a：dNG,故a (x + ad) - bj = a % 4 + aa； d 0 9當(dāng) ME時(shí)，a/x-bj =0 , a；d = U ,故a： (x + ad)_bj = ajrx-bi +aa- d = 0因此，d是/在處的一個(gè)可行

6、方向。三、計(jì)算題.解：0(a) - /(1 + )=(玉 + oz/J2 + 2(x2 + oz/2)2.=_4;+2 可 a)/2匹、令 9) = 0 得 G+242 ；k”）w(A)%0(M)7(2,4)7(-2-4)75/18Vf（x（o） =第一次迭代：。2、4/。）=_（工（。）=-2、1一 4,。=/(x(0) +ad ),令“(a) =。，求得出 =5/18；第二次迭代:十。）、9守（”）=8、9_2d =可(/)=-929 ，0(a) = /(x(l) +ad ),令“3) = 0,求得% =1/2,故或（鐘）=,由于000,故戶為最優(yōu)解。1(4/9, 一1/91(8/9,2/

7、9)7(一8/9,2/9) ,1/22(0,0)r.解：取W)=第一步迭代：W(0) =V 7 + adw ) = - + (1- )2 + a,令“(a)=。,求得 =1/2；第二步迭代：1、X=”)+)= 1工W(，)= 26,(a) = f(x(l) +ad ),令“3) = 0,求得/ =2。故/)=”+aW J。、Vf(x(2) =，由于故”)為最優(yōu)解。k”)W(A,)d(k)%0(I“(0,1)7(0,7)71/21(1,1/2)r(1/2,0)/(1/2,1/4)/22DO)73.解：取初始可行點(diǎn) 公)=(0,0)，4=4公) = 2,3. 求解等式約束子問題min d； + d； 2d、 4d?s工.di 0, d2 0得解和相應(yīng)的Lagrange乘子/。）=（0,0）、4 = （-2,-4）r故得/）=/。）=（0,0）7,4=43 = 2轉(zhuǎn)入第二次迭代。求解等式約束子問題rnin d； + 2d、 4d?sLd = 0得解d二(0,2)/ w0 計(jì)算. =minl，三at a. =minl，三at ak 一 J丫7 = 1,3,67 0二 J a. a%