彈性力學(xué)___應(yīng)力狀態(tài)分析

1、第二章 應(yīng)力狀態(tài)分析一、內(nèi)容介紹彈性力學(xué)的研究對(duì)象為三維彈性體，因此分析從微分單元體入手，本章的任 務(wù)就是從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，討論一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，建立平衡微分方程和面力邊界 條件。應(yīng)力狀態(tài)是本章討論的首要問題。由于應(yīng)力矢量與內(nèi)力和作用截面方位均有 關(guān)。因此，一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力是不同的。確定一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律稱 為應(yīng)力狀態(tài)分析。首先是確定應(yīng)力狀態(tài)的描述方法，這包括應(yīng)力矢量定義，及其 分解為主應(yīng)力、切應(yīng)力和應(yīng)力分量；其次是任意截面的應(yīng)力分量的確定轉(zhuǎn)軸公 式；最后是一點(diǎn)的特殊應(yīng)力確定，主應(yīng)力和主平面、最大切應(yīng)力和應(yīng)力圓等。應(yīng) 力狀態(tài)分析表明應(yīng)力分量為二階對(duì)稱張量。本課程分析中使用張量符號(hào)描述物

2、理 量和基本方程，如果你沒有學(xué)習(xí)過張量概念，請(qǐng)進(jìn)入附錄一，或者查閱參考資料。本章的另一個(gè)任務(wù)是討論彈性體內(nèi)一點(diǎn)微分單元體的平衡。彈性體內(nèi)部單 元體的平衡條件為平衡微分方程和切應(yīng)力互等定理；邊界單元體的平衡條件為面 力邊界條件。二、重點(diǎn)1、應(yīng)力狀態(tài)的定義：應(yīng)力矢量；正應(yīng)力與切應(yīng)力；應(yīng)力分量；2、平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理；3、面力邊界條件；4、應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)軸公式；5、應(yīng)力狀態(tài)特征方程和應(yīng)力不變量；知識(shí)點(diǎn)：體力；面力；應(yīng)力矢量；正應(yīng)力與切應(yīng)力；應(yīng)力分量；應(yīng)力矢量與應(yīng)力 分量；平衡微分方程；面力邊界條件；主平面與主應(yīng)力；主應(yīng)力性質(zhì)； 截面正應(yīng)力與切應(yīng)力；三向應(yīng)力圓；八面體單元；偏應(yīng)力張量不變量；

3、切應(yīng)力互等定理；應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式；平面問題的轉(zhuǎn)軸公式；應(yīng)力狀態(tài) 特征方程；應(yīng)力不變量；最大切應(yīng)力；球應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量2.1 體力和面力學(xué)習(xí)思路:本節(jié)介紹彈性力學(xué)的基本概念一一體力和面力，體力Fb和面力Fs的概念均 不難理解。應(yīng)該注意的問題是，在彈性力學(xué)中，雖然體力和面力都是矢量，但是它們均 為作用于一點(diǎn)的力，而且體力是指單位體積的力；面力為單位面積的作用力。體力矢量用Fb表示，其沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量用Fbi ( i=1 , 2 , 3 )或者Fbx、 Fb卜和Fbz表示，稱為體力分量。面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi( i=1，2，3)或者Fsx、Fsy和Fsz表示。體力和面力分量的方向均

4、規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、體力；2、面力。1、體力作用于物體的外力可以分為兩種類型：體力和面力。所謂體力就是分布在物體整個(gè)體積內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱為質(zhì)量力。例 如物體的重力，慣性力，電磁力等等。面力是分布在物體表面上的力，例如風(fēng)力，靜水壓力，物體之間的接觸力等。 為了表明物體在xyz坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)尸所受體力的大小和方向，在尸點(diǎn)的鄰 域取一微小體積元素V，如圖所示設(shè)V的體力合力為 F，則尸點(diǎn)的體力定義為令微小體積元素V趨近于0，則可以定義一點(diǎn)尸的體力為二lim各口 Zlf一般來講，物體內(nèi)部各點(diǎn)處的體力是不相同的。物體內(nèi)任一點(diǎn)的體力用Fb表示，稱為體力矢量，其方向由該

5、點(diǎn)的體力合力 方向確定。體力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量用Fbi( i = 1,2,3)或者Fbx, Fby, Fbz表示，稱為體力分 量。體力分量的方向規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。應(yīng)該注意的是：在彈性力學(xué)中，體力是指單位體積的力。2、面力類似于體力，可以給出面力的定義。對(duì)于物體表面上的任一點(diǎn)尸，在尸點(diǎn)的鄰域取一包含尸點(diǎn)的微小面積元素 S，如圖所示設(shè)S上作用的面力合力為 F，則尸點(diǎn)的面力定義為區(qū)=lim玄面力矢量是單位面積上的作用力，面力是彈性體表面坐標(biāo)的函數(shù)。一般條件 下，面力邊界條件是彈性力學(xué)問題求解的主要條件。面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi( i=1，2，3)或者Fsx、Fsy和Fsz

6、表示。面 力的方向規(guī)定以與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。彈性力學(xué)中的面力均定義為單位面積的面力。2.2 應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)學(xué)習(xí)思路:物體在外界因素作用下，物體內(nèi)部各個(gè)部分之間將產(chǎn)生相互作用，物體內(nèi)部 相互作用力稱為內(nèi)力。為討論彈性體的強(qiáng)度，將單位面積的內(nèi)力，就是內(nèi)力集度 定義為應(yīng)力。p n為過任意點(diǎn)M，法線方向?yàn)閚的微分面上的應(yīng)力矢量。應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn) 的位置改變而變化，而且即使在同一點(diǎn)，也由于截面的法線方向n的方向改變而 變化。一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。討論一點(diǎn)各個(gè)截面的 應(yīng)力變化趨勢稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。凡是應(yīng)力均必須說明是物體內(nèi)哪一點(diǎn)，并且通過該點(diǎn)哪一個(gè)微分面的應(yīng)力。 應(yīng)力

7、狀態(tài)對(duì)于研究物體的強(qiáng)度是十分重要的。顯然，作為彈性體內(nèi)部一個(gè)確定點(diǎn) 的各個(gè)截面的應(yīng)力矢量，就是應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。不可能也不必要寫 出一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力。為了準(zhǔn)確、明了地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，必須使用合理 的應(yīng)力參數(shù)。為了探討各個(gè)截面應(yīng)力的變化趨勢，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將 應(yīng)力矢量分解。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、應(yīng)力矢量；2、應(yīng)力矢量的分解；3、應(yīng)力分量。1、應(yīng)力矢量物體在外界因素作用下，例如外力，溫度變化等，物體內(nèi)部各個(gè)部分之間將 產(chǎn)生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力稱為內(nèi)力。內(nèi)力的計(jì)算可以采用截面法，即利用假想平面將物體截為兩部分，將希望計(jì) 算內(nèi)力的截面暴露出來，通過平

8、衡關(guān)系計(jì)算截面內(nèi)力F。內(nèi)力的分布一般是不均勻的。為了描述任意一點(diǎn)M的內(nèi)力，在截面上選取一 個(gè)包含M的微面積單元AS,如圖所示則可認(rèn)為微面積上的內(nèi)力主矢AF的分布是均勻的。設(shè)AS的法線方向?yàn)閚，則 定義：AF居二萬上式中pn為微面積AS上的平均應(yīng)力。如果令A(yù)S逐漸減小，并且趨近于零， 取極限可得 AF 取=Iuilt上述分析可見：pn是通過任意點(diǎn)M，法線方向?yàn)閚的微分面上的應(yīng)力矢量。應(yīng)力p n是矢量，方向由內(nèi)力主矢AF確定，又受AS方位變化的影響。應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化，而且即使在同一點(diǎn)，也由于截面的法 線方向n的方向改變而變化。這種性質(zhì)稱為應(yīng)力狀態(tài)。因此凡是應(yīng)力均必須說明 是物體內(nèi)哪

9、一點(diǎn)，并且通過該點(diǎn)哪一個(gè)微分面的應(yīng)力。一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于研究物 體的強(qiáng)度是十分重要的。顯然，作為彈性體內(nèi)部一個(gè)確定點(diǎn)的各個(gè)截面的應(yīng)力矢 量，就是應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。不可能也不必要寫出一點(diǎn)所有截面的應(yīng) 力。為了準(zhǔn)確、明了地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，必須使用合理的應(yīng)力參數(shù)。2、應(yīng)力矢量的分解討論一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化趨勢稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。為了探討各個(gè)截面應(yīng) 力的變化趨勢，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。應(yīng)力矢量的一種分解方法是將應(yīng)力矢量pn在給定的坐標(biāo)系下沿三個(gè)坐標(biāo)軸 方向分解，如用px, py, pz表示其分量，則pn =pxi + p

10、yj + pk，這種形式的分解并 沒有工程實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值。它的主要用途在于作為工具用于推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方 程。另一種分解方法，如圖所示，是將應(yīng)力矢量pn沿微分面AS的法線和切線方向分 解。與微分面AS法線n方向的投影稱為正應(yīng)力，用n表示；平行于微分面AS 的投影稱為切應(yīng)力或剪應(yīng)力，切應(yīng)力作用于截面內(nèi)，用。n表示。彈性體的強(qiáng)度與正應(yīng)力和切應(yīng)力息息相關(guān)，因此這是工程結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常使 用的應(yīng)力分解形式。由于微分面法線 n 的方向只有一個(gè)，因此說明截面方位就確定了正應(yīng)力On的方向。但是平行于微分面的方向有無窮多，因此切應(yīng)力Tn不僅需要確定 截面方位，還必須指明方向。3、應(yīng)力分量為了表達(dá)彈性體內(nèi)部任意一

11、點(diǎn)M的應(yīng)力狀態(tài)，利用三個(gè)與坐標(biāo)軸方向一致 的微分面，通過M點(diǎn)截取一個(gè)平行六面體單元，如圖所示。將六面體單元各個(gè)截面上的應(yīng)力矢量分別向3個(gè)坐標(biāo)軸投影，可以得到應(yīng)力 分量Oj。應(yīng)力分量的第一腳標(biāo) i 表示該應(yīng)力所在微分面的方向，即微分面外法線的方 向；第二腳標(biāo) j 表示應(yīng)力的方向。如果應(yīng)力分量與 j 坐標(biāo)軸方向一致為正，反 之為負(fù)。如果兩個(gè)腳標(biāo)相同，i = j,則應(yīng)力分量方向與作用平面法線方向一致，這是 正應(yīng)力，可以并寫為一個(gè)腳標(biāo)，例如。x。如果兩腳標(biāo)不同，i旬j，則應(yīng)力分量方向與作用平面法線方向不同，這是切應(yīng) 力，例如Txy。六面體單元的3對(duì)截面共有九個(gè)應(yīng)力分量Oj。應(yīng)該注意：應(yīng)力分量是應(yīng)力矢量

12、在坐標(biāo)軸上的投影，因此是標(biāo)量，而不是矢 量。在已知的坐標(biāo)系中應(yīng)力狀態(tài)通常用應(yīng)力張量表示。使用應(yīng)力張量可以完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。2.3 斜截面上的應(yīng)力 應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量學(xué)習(xí)思路:應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化，而且也由于截面的法線方向n的方向 改變而變化，研究這一變化規(guī)律稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。如果應(yīng)力分量能夠描述一點(diǎn) 的應(yīng)力狀態(tài)，那么應(yīng)力分量與其它應(yīng)力參數(shù)必然有內(nèi)在聯(lián)系。本節(jié)分析應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，為深入討論應(yīng)力狀態(tài)作準(zhǔn)備。利用三個(gè)坐標(biāo)平面和一個(gè)任意斜截面構(gòu)造微分四面體單元，通過四面體單元 探討坐標(biāo)平面的應(yīng)力分量和斜截面上的應(yīng)力矢量的關(guān)系。根據(jù)平衡關(guān)系，推導(dǎo)任意斜截面的應(yīng)力矢量、法

13、線方向余弦和各個(gè)應(yīng)力分量 之間的關(guān)系。分析表明：一點(diǎn)的應(yīng)力分量確定后，任意斜截面的應(yīng)力矢量是確定的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、分四面體單元；2、應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量。1、微分四面體單元一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量如果能夠完全確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，則其必須能夠表達(dá) 通過該點(diǎn)的任意斜截面上的應(yīng)力矢量。為了說明這一問題，在O點(diǎn)用三個(gè)坐標(biāo)面和一任意斜截面截取一個(gè)微分四面 體單元，如圖所示。斜截面的法線方向矢量為n，它的三個(gè)方向余弦分別為l, m和n。設(shè)斜截面上的應(yīng)力為pn , i,和k分別為三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量，pn 在坐標(biāo)軸上的投影分別為px,py,pz。則應(yīng)力矢量可以表示為pn = pxi+ pyj+ pz k同樣，把

14、單位體積的質(zhì)量所受的體積力Fb沿坐標(biāo)軸分解，有Fb = Fbxi+ Fbyj+ Fbz k設(shè)S為AABC的面積，則A OBC=lS, A OCA=mS, A OAB=nSABC的法線方向的單位矢量可表示為n = li+ lj + m k2、應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量微分四面體在應(yīng)力矢量和體積力作用下應(yīng)滿足平衡條件，設(shè)h為O點(diǎn)至斜面 ABC的高，由x方向的平衡，可得明=0 p-AOBC-AOAC-AOABhS =0將公式/口正。二AOCA = mS,4m二甩S代入上式，則一行/一 丁幫洗一匯澎冏十 :氏耳飄二口對(duì)于微分四面體單元，h與單元體棱邊相關(guān)，因此與1相比為小量，趨近于零， 因此p. = B F幽

15、F巴同理Py=丁尸W + 3Pz = 7/+% 耽 + b產(chǎn)如果采用張量記號(hào)，則上述公式可以表示為上式給出了物體內(nèi)一點(diǎn)的9個(gè)應(yīng)力分量和通過同一點(diǎn)的各個(gè)微分面上的應(yīng)力 之間的關(guān)系。這一關(guān)系式表明，只要有了應(yīng)力分量，就能夠確定一點(diǎn)任意截面的 應(yīng)力矢量，或者正應(yīng)力和切應(yīng)力。因此應(yīng)力分量可以確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。平衡微分方程學(xué)習(xí)思路:物體在外力作用下產(chǎn)生變形，最后達(dá)到平衡位置。平衡不僅是指整個(gè)物體， 而且彈性體的任何部分也是平衡的。本節(jié)通過微分平行六面體單元討論彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡。應(yīng)該注意：在討論微分單元體平衡時(shí)，考慮到坐標(biāo)的微小變化將導(dǎo)致應(yīng)力分 量的相應(yīng)改變。即坐標(biāo)有增量時(shí)，應(yīng)力分量也有對(duì)應(yīng)的增

16、量。這個(gè)增量作為高階 小量，如果不涉及微分單元體平衡時(shí)是可以不考慮的。微分平衡方程描述了彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡，確定了應(yīng)力分量與體力之 間的關(guān)系。又稱為納維（Navier）方程。平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部應(yīng)力分量與體力之間的微分關(guān)系，是彈性力學(xué) 的第一個(gè)基本方程。切應(yīng)力互等定理是彈性體力矩平衡的結(jié)果。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、微分單元體及平衡關(guān)系； 2、平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理。1、微分單元體及平衡關(guān)系物體在外力作用下產(chǎn)生變形，最后達(dá)到平衡位置。不僅整個(gè)物體是平衡的， 而且彈性體的任何部分也都是平衡的。為了考察彈性體內(nèi)部的平衡，通過微分平行六面體單元討論任意一點(diǎn)M的 平衡。在物體內(nèi)，通過任意點(diǎn)M，用

17、三組與坐標(biāo)軸平行的平面截取一正六面體單 元，單元的棱邊分別與x，y，z軸平行，棱邊分別長dx，dy，dz，如圖所示討論微分平行六面體單元的平衡：在x面上有應(yīng)力分量。x , T和T ;在x+dx面上，應(yīng)力分量相對(duì)x截面有一個(gè)增量，取一階增量，則對(duì)y , z方向的應(yīng)力分量作同樣處理。根據(jù)微分單元體x方向平衡，方x=0，則比（生 + dx）dydz - dydz + +-dy）dxdz-rdxdz+ （4+等也獨(dú)方-4改力十久付“也二。簡化并且略去高階小量，可得同理考慮y，z方向，有上述公式給出了應(yīng)力和體力之間的平衡關(guān)系，稱為平衡微分方程，又叫納維（Navier）方程。用張量形式表示，可以寫作如果考

18、慮微分單元體的力矩平衡，則可以得到T xy =T yx，T yz=Tzy，Tzx=Txz由此可見，切應(yīng)力是成對(duì)出現(xiàn)的，9個(gè)應(yīng)力分量中僅有6個(gè)是獨(dú)立的。上述關(guān)系式又稱作切應(yīng)力互等定理。用張量形式表示，則面力邊界條件學(xué)習(xí)思路:在彈性體內(nèi)部，應(yīng)力分量必須與體力滿足平衡微分方程；在彈性體的表面， 應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界條件，以維持彈性體表面的平衡。面力邊界條件的推導(dǎo)時(shí)，參考了應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量關(guān)系表達(dá)式。只要注意 到物體邊界任意一點(diǎn)的微分四面體單元表面作用應(yīng)力分量和面力之間的關(guān)系就 可以得到。面力邊界條件描述彈性體表面的平衡，而平衡微分方程描述物體內(nèi)部的平 衡。當(dāng)然，對(duì)于彈性體，這僅是靜力學(xué)

19、可能的平衡，還不是彈性體實(shí)際存在的平 衡。面力邊界條件確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分 量的關(guān)系。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、面力邊界條件。1、面力邊界條件物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)，不僅整體，而且任意部分都是平衡的。在 彈性體內(nèi)部，應(yīng)力分量必須與體力滿足平衡微分方程；在彈性體的表面，應(yīng)力分 量須與表面力滿足面力邊界條件，以滿足彈性體表面的平衡?？紤]物體表面任一微分四面體的平衡，如圖所示。由于物體表面受到表面力，如壓力和接觸力等的作用，設(shè)單位面積上的面力分量為Fsx、Fsy和F眨，物體外表面法線n的方向余弦為l , m ,n。參考應(yīng)力矢 量與應(yīng)力分量的關(guān)系可得冗X二山+匯制然+匯斑陽%

20、二%1+行產(chǎn)+ 3Q二工1十工聲制十仃產(chǎn)用張量符號(hào)可以表示為%二行冷上述公式是彈性體表面微分單元體保持平衡的必要條件，公式左邊表示物體表面 的外力，右邊是彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量。公式給出了應(yīng)力分量與面力 之間的關(guān)系，稱為靜力邊界條件或面力邊界條件。平衡微分方程和面力邊界條件都是平衡條件的表達(dá)形式，前者表示物體內(nèi)部 的平衡，后者表示物體邊界部分的平衡。顯然，若已知應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和面力邊界條件，則物體平衡；反 之，如物體平衡，則應(yīng)力分量必須滿足平衡微分方程和面力邊界條件。2.5 坐標(biāo)變換的應(yīng)力分量和應(yīng)力張量學(xué)習(xí)思路:一點(diǎn)的應(yīng)力不僅隨著點(diǎn)的位置改變而變化，而且由于截面的法線方向不同

21、， 截面上的應(yīng)力也不同。因此必須探討一點(diǎn)任意截面應(yīng)力之間的變化關(guān)系。應(yīng)力分 量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，因此確定不同截面應(yīng)力分量的變化規(guī)律，就可以確 定應(yīng)力狀態(tài)。本節(jié)分析坐標(biāo)系改變時(shí)應(yīng)力分量的變化規(guī)律。為了簡化分析，首先假設(shè)斜截 面的法線與新坐標(biāo)軸方向相同，建立斜截面應(yīng)力矢量表達(dá)式。然后利用斜截面應(yīng) 力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系，將應(yīng)力矢量投影于各個(gè)坐標(biāo)軸得到應(yīng)力分量表達(dá)式。應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)軸公式說明：應(yīng)力分量滿足張量變換條件。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，應(yīng)力張量是二階對(duì)稱張量。轉(zhuǎn)軸公式說明了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，盡管截面方位的變化導(dǎo)致應(yīng)力分量改變， 但是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不變的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、坐標(biāo)系的變換；2、坐標(biāo)平面

22、的應(yīng)力矢量；3、應(yīng)力分量的投影； 4、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式；5、平面問題的轉(zhuǎn)軸公式。1、坐標(biāo)系的變換一點(diǎn)的應(yīng)力不僅是坐標(biāo)的函數(shù)，隨著彈性體中點(diǎn)的位置改變而變化，而且即 使同一點(diǎn)，由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不相同。一點(diǎn)的應(yīng)力隨著 截面的法線方向的改變而變化稱為應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)分析就是討論一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律。由于應(yīng)力分量可以描 述應(yīng)力狀態(tài)，因此討論坐標(biāo)系改變時(shí)，一點(diǎn)的各個(gè)應(yīng)力分量的變化就可以確定應(yīng) 力狀態(tài)。當(dāng)坐標(biāo)系改變時(shí)，同一點(diǎn)的各個(gè)應(yīng)力分量將作如何的改變。容易證明，坐標(biāo)系僅作平移變換時(shí)，同一點(diǎn)的應(yīng)力分量是不會(huì)改變的，因此 只須考慮坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的情況。假設(shè)在已知坐標(biāo)系Oz中，彈性體

23、中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為匕4 U TOC o 1-5 h z CT. = TCTTV 陰 J 型Jex%4 /如果讓坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，得到一個(gè)新的坐標(biāo)系。/。設(shè)新坐標(biāo)系與原 坐標(biāo)系之間有如下關(guān)系：X y Zx I、總z1nz其中，4，mi，ni表示新坐標(biāo)軸0心2與原坐標(biāo)軸必”之間的夾角方向余弦。2、坐標(biāo)平面的應(yīng)力矢量如果用表示同一點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量。作斜截面ABC與V軸垂直，其應(yīng)力矢量為pn，則Pn = A = PJ + PjJ+PF 根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的表達(dá)式% =+%制+ %或ps = Q + 仃內(nèi)3、應(yīng)力分量的投影設(shè)i , j , k為新坐標(biāo)系Oxy/的三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量，如

24、圖所示 將Pn，即。向x軸投影就得到ox；“向y軸投影就得到t；xy向一軸投影就得到t,；xz所以行川二 = 9/ + 口才 + 取臉+版 lj+設(shè)松二 hPx* 涵 iPy +%Pn工力,二 PxT = kPx+%/工加,二 F 屋黛=沼 mPy+KmP,4、應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式將應(yīng)力矢量分量表達(dá)式代入上述各式，并分別考慮 y，z 方向，則可以得到 轉(zhuǎn)軸公式q、= q + 鬲 + 琉 q + 當(dāng)?shù)?+ 2 的弭% + 2 m 1%、=婷/+成%+Wq +叫% +2聲+ 2周出% %、= *% +煙。仃尸+電，+也嗎% +2附彳%萬聲+2%/工 %、= %仃* + % +% %+&%+/%）% +

25、 的1%+洗爐1）匯算+ +帖）%/、， = %仃* + 用口% 3 bp +%叫b + B用 了+4用口 ）匯制 +十-3內(nèi)/聲+（%4 +兩%）匯期W 、=I + 然w 附16, + 弭科 G + & 犯 + 陷+ q .,I1 X .-1! X V， q _1 X X -1 .口（然婷1 +洗1%）匯產(chǎn)+ （咽注意到，Tx，T,T/Tzy ,Txz尸Tzx用張量形式描述，則上述公式可以寫作應(yīng)力變換公式表明：當(dāng)坐標(biāo)軸作轉(zhuǎn)軸變換時(shí)，應(yīng)力分量遵循張量的變換規(guī)律。坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后，應(yīng)力分量的九個(gè)分量均有改變，但是作為一個(gè)整體所描述的應(yīng)力 狀態(tài)是不會(huì)發(fā)生變化的。應(yīng)力張量為二階對(duì)稱張量，僅有六個(gè)獨(dú)立分量

26、。新坐標(biāo)系下的六個(gè)應(yīng)力分量 可通過原坐標(biāo)系的應(yīng)力分量確定。因此，應(yīng)力張量的六個(gè)應(yīng)力分量就確定了一點(diǎn) 的應(yīng)力狀態(tài)。5、平面問題的轉(zhuǎn)軸公式對(duì)于平面問題，如Ox軸與Ox成 中角。則新舊坐標(biāo)系有如下關(guān)系：工 yxf cos - min 3yr sin pcos p根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，可得j = cr* cos2 + cr sin2 卯一 2匯潮 cossin ptFp .= cr min 3 卯 + 行尸 cos2 (p + 2r cossin p心、=(cr - cr) cos sin 十 :制(cos2 - sin2 ?)上述公式即材料力學(xué)中常用的應(yīng)力變換公式。應(yīng)該注意的問題是：材料力學(xué)是根據(jù)變形效應(yīng)定

27、義應(yīng)力分量的，而彈性力學(xué) 是根據(jù)坐標(biāo)軸定義應(yīng)力分量的符號(hào)的。因此對(duì)于正應(yīng)力二者符號(hào)定義結(jié)果沒有差 別，但是對(duì)于切應(yīng)力符號(hào)定義是不同的。例如對(duì)于兩個(gè)相互垂直的微分面上的切 應(yīng)力，根據(jù)彈性力學(xué)定義，符號(hào)是相同的，而根據(jù)材料力學(xué)定義，符號(hào)是相反的。2.7主應(yīng)力和應(yīng)力不變量學(xué)習(xí)思路:應(yīng)力狀態(tài)的確定，不僅需要描述一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化規(guī)律，而且需要確 定最大正應(yīng)力和切應(yīng)力，以及作用平面方位。本節(jié)討論應(yīng)力狀態(tài)的的重要概念主平面和主應(yīng)力。主平面是指切應(yīng)力為零 的平面；主平面法線方向稱為應(yīng)力主軸；主平面的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。主平面和 主應(yīng)力是描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的重要參數(shù)，關(guān)系彈性體的強(qiáng)度。根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定

28、義，可以建立其求解方程應(yīng)力狀態(tài)特征方程。對(duì)于應(yīng)力主軸，在主應(yīng)力求解后，再次應(yīng)用齊次方程組和方向余弦特性可以 得到。主應(yīng)力特征方程的系數(shù)具有不變性、實(shí)數(shù)性和正交性。因此稱為應(yīng)力不變量。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、主平面與主應(yīng)力；2、/ , m , n的齊次線性方程組；3、應(yīng)力狀 態(tài)特征方程；4、主應(yīng)力性質(zhì)；5、正交性證明。1、主平面與主應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)的確定，不僅需要描述一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化規(guī)律，而且需要確 定最大正應(yīng)力和切應(yīng)力，以及作用平面方位。物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力分量是隨坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)而改變的，那么，對(duì)于這個(gè)確定點(diǎn)， 是否可以找到這樣一個(gè)坐標(biāo)系，在這個(gè)坐標(biāo)系下，該點(diǎn)只有正應(yīng)力分量，而切應(yīng) 力分量為零。也就是說：對(duì)

29、于物體內(nèi)某點(diǎn)，是否能找到三個(gè)相互垂直的微分面， 面上只有正應(yīng)力而沒有切應(yīng)力。答案是肯定的，對(duì)于任何應(yīng)力狀態(tài)，至少有三個(gè) 相互垂直平面的切應(yīng)力為零。切應(yīng)力為零的微分面稱為主微分平面，簡稱主平面。主平面的法線稱為應(yīng)力主軸或者稱為應(yīng)力主方向。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義，可以建立其求解方程。設(shè)過點(diǎn)O與坐標(biāo)軸傾斜的微分面ABC為主微分面，如圖所示其法線方向神，既應(yīng)力主軸的三個(gè)方向余弦分別為l , m , n，微分面上的應(yīng) 力矢量pn，即主應(yīng)力的三個(gè)分量為px,py,pz。根據(jù)主平面的定義，應(yīng)力矢量pn的方向應(yīng)與法線方向n 一致，設(shè) 為主 應(yīng)力，則應(yīng)力矢量的三個(gè)分量與主應(yīng)力的關(guān)

30、系為px 二 o l, py = o m, pz = o n2、l，m，n的齊次線性方程組同時(shí)，根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量表達(dá)式，有Py = J +丐制+ %量3 = Q + w +仃門將上述公式聯(lián)立求解，可以得到(-T)/ + +/7 = 0+ (%-G 想 += oQ + %產(chǎn) + (q 6雇=。上述公式是一個(gè)關(guān)于主平面方向余弦l , m , n的齊次線性方程組。求解關(guān)于l，m，n的齊次線性方程組。這個(gè)方程組具有非零解的條件為系數(shù) 行列式等于零。即%-仃4%r cr - cr r = 0J工J邛加%巴一仃3、應(yīng)力狀態(tài)特征方程展開上述行列式，可得tT -+ 1?仃 - 73 0以上方程稱為應(yīng)力狀

31、態(tài)特征方程，是確定彈性體中任意一點(diǎn)主應(yīng)力的方程。 其中，占二%+%+凡，為應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式|仃?duì)t|主對(duì)角線元素之 和。是 =+%+巴巴-：一是 一%是燈/行列式按主對(duì)角線展 開的三個(gè)代數(shù)主子式之和。4 % % = % % %EK 工1即 Ce是行列式F3的值。由于一點(diǎn)的主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于物體所受載荷和約束條件等，而與 坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。因此特征方程的根是確定的，即/ 1,12,13的值是不隨坐標(biāo)軸 的改變而變化的。因此11,12,13分別稱為應(yīng)力張量的第一，第二和第三不變量。應(yīng)當(dāng)指出，所謂不變量是指同一點(diǎn)的應(yīng)力張量而言的，它們與坐標(biāo)軸的選取 無關(guān)。對(duì)于不同點(diǎn)，應(yīng)力狀態(tài)不同，這些

32、量當(dāng)然是要變化的4、主應(yīng)力性質(zhì)可以證明，特征方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，如用o 1, O2, O3分別表示這三個(gè)根， 則它們代表某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力。對(duì)于應(yīng)力主軸方向的確定，可以將計(jì)算所得的o 1, o2, o3分別代入齊次方 程組的任意兩式，并且利用關(guān)系式I2 + m2 + n2 = 1聯(lián)立求解，則可以求得應(yīng)力主方向。應(yīng)力不變量具有以下性質(zhì)：1、不變性：由于一點(diǎn)的正應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于彈性體所受的外力和約束條件，而 與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。因此對(duì)于任意一個(gè)確定點(diǎn)，特征方程的三個(gè)根是確定的， 因此/ 1，12，13的值均與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量的各個(gè) 分量變化，但該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不變。應(yīng)力

33、不變量正是對(duì)應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。2、實(shí)數(shù)性：特征方程的三個(gè)根，就是一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力，根據(jù)三次方程根的性質(zhì)，容易 證明三個(gè)根均為實(shí)根，所以一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)數(shù)。3、正交性：任一點(diǎn)的應(yīng)力主方向，即三個(gè)應(yīng)力主軸是正交的。下面證明主應(yīng)力的正交性： a、若o 1#o盧o 3，則特征方程無重根，因此，應(yīng)力主軸必然相互垂直； b、若o 1 = o2#o 3，則特征方程有兩重根，o 1和o2的方向必然垂直于o 3的方向。 而o 1和o2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；c、若o 1 = o 2 = o3，則特征方程有三重根，三個(gè)應(yīng)力主軸可以垂直，也可以不垂 直。這就是說，任何方向都是應(yīng)力主軸。5、正交性證

34、明證明應(yīng)力不變量的正交性。假設(shè)主應(yīng)力o 1 = o 2 = o 3的方向余弦分別為（/ 1，m 1，n 1），（ 12，m2，n 2） 和（13，m3，n3），由于滿足齊次方程組，有-力明+ “弱+%的=0“ + （叫一力）響+ %/ = 0 Qi + %溝 + （% 丐）的=o（仃* 一 仃2）% + 2 + V2 =0% +（% -療口）啊 + %強(qiáng)=0+ %冷+ 3 丐）的=o（% + %強(qiáng) +% = o %4 + （叫一5）碼+ %的=o+ %嗎+-三地=o將上述公式的前三式分別乘以12 ,m2和n2，中間三式分別乘以-11 -n1, -n 1 , 然后將六式相加，可得（由一仃2）8%

35、+附1次口 +的町）=0同理9工一仃+初3%+？的）=0（tr3 -5）（210 +啊凈3 +/內(nèi)三）=0根據(jù)上述關(guān)系式，如果O 1/0 2/0 3，有1112+m 1 m 2+n1n2 = 0 , 1213+m 2 m 3+n 2 n 3 = 0 , 1113+m 1 m 3+n1n3 = 0上式說明如果三個(gè)主應(yīng)力均不相等，則三個(gè)應(yīng)力主方向是相互垂直的。如果o 1 = 0 2/0 3，有1 L+m2m3+n2n3 = 0，1 L+m1m3+n1n3 = 0而1112m 1 m2+n 1 n2可以等于零，也可以不等于零。這說明0 3的方向同時(shí)與0 1和0 2的方向垂直，而0 1和0 2的方向可

36、以垂直， 也可以不垂直。因此所有與0 3垂直的方向都是0 1和0 2的應(yīng)力主方向。如果o 1 = 0 2=0 3，貝I1112 +m 1 m2+n 1 n2 , 1213 +m2m3+n2n3 和 1113 +m 1 m3+n 1 n3 均可以等于零，也可以不等于零。也就是說任何方向都是應(yīng)力主方向。由此證明應(yīng)力不變量的正交性。應(yīng)力圓和最大切應(yīng)力學(xué)習(xí)思路:應(yīng)力狀態(tài)的確定，還需要討論一點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力之間的變化關(guān)系。本節(jié)通過討論任意截面正應(yīng)力與切應(yīng)力的關(guān)系，建立三向應(yīng)力圓概念，并且 通過應(yīng)力圓確定一點(diǎn)的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力。分析中應(yīng)用任意斜截面上的應(yīng)力矢量可以通過應(yīng)力分量的特殊形式主應(yīng) 力表達(dá)，也

37、可以分解為正應(yīng)力和切應(yīng)力，建立主應(yīng)力與正應(yīng)力和切應(yīng)力的關(guān)系。 考慮斜截面法線的三個(gè)方向余弦，則可以確定一點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力與三個(gè)主應(yīng) 力的關(guān)系。構(gòu)造一個(gè)以正應(yīng)力為橫軸，切應(yīng)力為豎軸的應(yīng)力平面，則一點(diǎn)的正應(yīng)力和切 應(yīng)力位于應(yīng)力平面的三個(gè)由主應(yīng)力確定的應(yīng)力圓之內(nèi)。為了進(jìn)一步探討應(yīng)力狀態(tài)，最后分析八面體單元應(yīng)力。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、截面正應(yīng)力與切應(yīng)力；2、斜截面方向余弦；3、三向應(yīng)力圓；4、最大切應(yīng)力；5、八面體單元；6、八面體單元應(yīng)力。1、截面正應(yīng)力與切應(yīng)力一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以通過六個(gè)應(yīng)力分量確定，主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是描述應(yīng)力 狀態(tài)的重要參數(shù)。但僅僅這些，對(duì)于應(yīng)力狀態(tài)分析還不夠，本節(jié)將進(jìn)一步討論任 意斜截面

38、的正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化。以三個(gè)相互垂直的應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)三個(gè)主應(yīng)力為 應(yīng)力分量為o 1, o2, o 3,，即巧 00 ?% 二 0J 0為O點(diǎn)附近有任意斜截面ABC，它的法線方向?yàn)閚 ( l , m , n )。斜截面上的應(yīng) 力矢量p n可分解為兩部分：沿法線方向的正應(yīng)力On和沿切線方向的切應(yīng)力T n，如圖所示根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系% = + %機(jī)+ 3 =%機(jī) ps = Q + W +，巴=可crn = 6產(chǎn) + 行沙 2 + cr3M展開可得因?yàn)楦鶕?jù)應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式還有l(wèi)2+ m2 + f72 =12、斜截面方向余弦關(guān)于l , m , 聯(lián)立求解上述公式，可以得到尸

39、 _ （/ /）（/-三）什：（5一3）（丐一外）點(diǎn)_d一牛）伍一卬十72&一巧）應(yīng)_）m _d_巧）（/_巧）+:/（% 一巧】（%-引當(dāng)斜截面方位變更時(shí)，法線的方向余弦n隨著改變，因此正應(yīng)力on和切應(yīng) 力T n也隨之變化。這里有正應(yīng)力o n和切應(yīng)力T n兩個(gè)變量，如果建立一個(gè)平面坐 標(biāo)系，以on為橫軸，T n為縱軸，則斜截面上的兩個(gè)應(yīng)力分量（on，T n）恰好是 這個(gè)坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)。如圖所示設(shè)O1三o2三o3，則因?yàn)?2 ,m2，n2均大于或等于零，因此根據(jù)上述公式的第一 式，可以得到3、三向應(yīng)力圓上式可以改寫為上述不等式表示在應(yīng)力平面上，圓心在橫軸，橫坐標(biāo)為（O 2+0 3） /2，半

40、徑 為（o2-03）/2的圓。1圓周及其以外的區(qū)域。同理考慮公式的第二式，可得值 一號(hào)f巧可它表達(dá)了圓C2的圓周及其內(nèi)部區(qū)域。對(duì)于公式的第三式，可得5一安力汽號(hào)它表達(dá)了圓C3圓周及其外部區(qū)域。綜上所述，斜截面的方位改變時(shí)，截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力（on , T n ）只 能位于圓C1，C2和C3的圓周所圍成的區(qū)域之內(nèi)。這三個(gè)圓C1，C2和C3是兩兩相切的，稱為應(yīng)力圓。4、最大切應(yīng)力根據(jù)應(yīng)力圓，對(duì)于一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，不難得到下列結(jié)論：仃2二01， 仃后二仃三， 二刖 =（5 一仃.根據(jù)應(yīng)力圓，縱坐標(biāo)最大處即最大切應(yīng)力的值，它的橫坐標(biāo)為（。1+o3）/2 ,將 它們回代到公式，可得最大切應(yīng)力作用平面的方向余弦為l2= 0.5, m2= 0, n2= 0.5m=0表示最大切應(yīng)力作用面的法線與應(yīng)力主軸2相互垂直，因此這一作用面必然 通過應(yīng)力主軸2。12= 0,n2= 05說明最大切應(yīng)力作用面的法線與應(yīng)力主軸1和3 都成45角。根據(jù)上述分析，彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的最大正應(yīng)力為烏，