七年級數(shù)學一元一次方程(教師講義帶答案)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)一元一次方程(韓老師)本章知識網(wǎng)絡結構圖3.1一元一次方程的概念和性質【本講主要內(nèi)容】1. 等式與方程 表示相等關系的式子叫做等式。含有未知數(shù)的等式叫做方程?？梢姺匠瘫仨毦邆鋬蓚€條件：一是必須含有未知數(shù)，二是必須是一個等式。2. 等式的性質 等式的性質1：等式兩邊加（減）同一個數(shù)（式子）。結果仍相等。 等式的性質2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結果仍相等。 應用等式的性質對等式進行變形時，必須注意“同”字。要對等式進行變形，就要保證等式兩邊始終相等，也就

2、是說，運用等式的性質時，等式兩邊必須同時進行變形。3. 一元一次方程的概念我們把含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的最簡形式是（0）。方程中的未知數(shù)叫做“元”，一個方程中有幾個未知數(shù)，就稱這個方程為幾元方程。方程中含未知數(shù)的項的最高次數(shù)叫做方程的次數(shù)，這一點和多項式的次數(shù)有類似的地方。例如是一元一次方程，是一元二次方程，是二元一次方程，是二元二次方程。4. 方程的解與解方程方程是一個有待研究的等式，即研究這個等式中的未知數(shù)取什么值時等式才成立。解方程就是確定使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，我們把這樣的未知數(shù)的值叫做方程的解。這樣的值可能有一個或多個

3、，也可能沒有，所以方程可能有一個解、多個解，也可能無解。如方程3x-5=4x+3只有一個解x=-8。方程2x-7=5x-（3x+7）有無數(shù)個解，而方程2x-3=2x+2無解。求方程的解或判定方程無解的過程叫做解方程。利用等式的性質，對方程進行一系列的變形，就可以求出方程的解。5. 思想方法（本單元常用到的數(shù)學思想方法小結）建模思想：通過對實際問題中的數(shù)量關系的分析，抽象成數(shù)學模型，建立一元一次方程的思想. 方程思想：用方程解決實際問題的思想就是方程思想. 化歸思想：解一元一次方程的過程，實質上就是利用去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為1等各種同解變形，不斷地用新的更簡單的方程來

4、代替原來的方程，最后逐步把方程轉化為x=a的形式. 體現(xiàn)了化“未知”為“已知”的化歸思想. 數(shù)形結合思想：在列方程解決問題時，借助于線段示意圖和圖表等來分析數(shù)量關系，使問題中的數(shù)量關系很直觀地展示出來，體現(xiàn)了數(shù)形結合的優(yōu)越性. 分類思想：在解含字母系數(shù)的方程和含絕對值符號的方程過程中往往需要分類討論，在解有關方案設計的實際問題的過程中往往也要注意分類思想在過程中的運用. 【典型例題】例1. 已知方程2xm3+3x=5是一元一次方程，則m= . 解析：由一元一次方程的定義可知m3=1，解得m=4.或m3=0，解得m=3 所以m=4或m=3警示：很多同學做到這種題型時就想到指數(shù)是1，從而寫成m=1

5、，這里一定要注意x的指數(shù)是（m3）. 例2. 已知是方程ax2（2a3）x+5=0的解，求a的值. 解析：x=2是方程ax2（2a3）x+5=0的解將x=2代入方程，得 a（2）2（2a3）（2）+5=0化簡，得 4a+4a6+5=0 a=點撥：要想解決這道題目，應該從方程的解的定義入手，方程的解就是使方程左右兩邊值相等的未知數(shù)的值，這樣把x=2代入方程，然后再解關于a的一元一次方程就可以例3.已知a、b為定值，無論k為何值，關于x的一元一次方程的解總是1，試求a、b的值。分析：因為無論k為何值，所給方程的解總是1，所以當，時，依然成立。這樣就把求a的值轉化為求方程的解，然后令，再把a的值代入

6、，得到關于b的一元一次方程，就可求出b的值。解：因為所給方程的解總是1，所以有。（*）當時，解得。將，代入（*）式，得。解得。所以，。評注：將所給條件進行多次轉化，把復雜的問題轉化為簡單的一元一次方程問題，然后利用相關知識解決，這是轉化思想的魅力所在。例4.（2011臺北13）若a：b：c2：3：7，且ab3c2b，則c值為何？(A) 7 (B) 63 (C) (D)【分析】：a：b：c2：3：7，設，ab3c2b ?！敬鸢浮浚篊例5. (2011江蘇鎮(zhèn)江，17，2分)把棱長為4的正方體分割成29個棱長為整數(shù)的正方體(且沒有剩余)，其中棱長為1的正方體的個數(shù)為_【解題思路】原正方體共可分割成6

7、4個棱長為1的正方體若分割后有1個棱長為3的正方體，則正方體的個數(shù)為1(6427)3829，不符合題意所以，29個正方體中只有棱長為1和2的兩種正方體設棱長為1的正方體有x個，由于8個棱長為1的正方體可拼成一個棱長為2的正方體，所以可列方程x29解得x24【答案】24例6. 參加某保險公司的醫(yī)療保險，住院治療的病人可享受分段報銷，保險公司制度的報銷細則如下表，某人今年住院治療后得到保險公司報銷的金額是1260元，那么此人的實際醫(yī)療費是（ ）住院醫(yī)療費（元）報銷率（%）不超過500的部分0超過5001000的部分60超過10003000的部分80 A. 2600元 B. 2200元 C. 257

8、5元 D. 2525元解析：設此人的實際醫(yī)療費為x元，根據(jù)題意列方程，得5000+50060%+（x500500） 80%=1260. 解之，得x=2200，即此人的實際醫(yī)療費是2200元. 故選B. 點撥：解答本題首先要弄清題意，讀懂圖表，從中應理解醫(yī)療費是分段計算累加求和而得的. 因為50060%1260200080%，所以可知判斷此人的醫(yī)療費用應按第一檔至第三檔累加計算. 例7. 足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分，一支足球隊在某個賽季中共需比賽14場，現(xiàn)已比賽了8場，輸了1場，得17分，請問：前8場比賽中，這支球隊共勝了多少場？ 這支球隊打滿14場比賽，最高

9、能得多少分？通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿14場比賽，得分不低于29分，就可以達到預期的目標，請你分析一下，在后面的6場比賽中，這支球隊至少要勝幾場，才能達到預期目標？ 解析：設這個球隊勝了x場，則平了（81x）場，根據(jù)題意，得 3x+（81x）=17. 解得x=5. 所以，前8場比賽中，這個球隊共勝了5場. 打滿14場比賽最高能得17+（148）3=35分. 由題意知，以后的6場比賽中，只要得分不低于12分即可. 勝不少于4場，一定能達到預期目標. 而勝了3場，平3場，正好達到預期目標. 所以在以后的比賽中，這個球隊至少要勝3場. 例8. 關于x的方程2x43m和x2m有相同的解，則m的

10、值是( ) A10 B8 C10 D8 解析：解方程2x4=3m，得x=解方程x2m，得xm2由兩方程解相同，得m2，解得m8 答案：B例9.已知y3是6(my)2y的解，那么關于x的方程2m(x1)(m1)(3x4)的解是多少?分析：把y3代入第一個方程，使這個方程轉化為關于m的方程，解出m的值，再代入第二個方程，求出x的值解：y3代入方程6(my)2y，得6(m3)6解得m3將m3代入2m(x1)(m1)(3x4)，得23(x1)(31)(3x4)解得x.例10. 揚子江藥業(yè)集團生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的側面展開圖如圖所示. 如果長方體盒子的長比寬多4，求這種藥品包裝盒的體積. 分析：從展開圖

11、上的數(shù)據(jù)可以看出，展開圖中兩高與兩寬和為14cm，所以一個寬與一個高的和為7cm，如果設這種藥品包裝盒的寬為xcm，則高為（7x）cm，因為長比寬多4cm，所以長為（x+4）cm，根據(jù)展開圖可知一個長與兩個高的和為13cm，由此可列出方程. 解：設這種藥品包裝盒的寬為xcm，則高為（7x）cm，長為（x+4）cm. 根據(jù)題意，得（x+4）+2（7x）=13，解得 x=5，所以7x=2，x+4=9. 故長為9cm，寬為5cm，高為2cm. 所以這種藥品包裝盒的體積為：952=90（cm3）. 例11. （2012無錫）某開發(fā)商進行商鋪促銷，廣告上寫著如下條款： 投資者購買商鋪后，必須由開發(fā)商代為

12、租賃5年，5年期滿后由開發(fā)商以比原商鋪標價高20%的價格進行回購，投資者可在以下兩種購鋪方案中做出選擇： 方案一：投資者按商鋪標價一次性付清鋪款，每年可以獲得的租金為商鋪標價的10% 方案二：投資者按商鋪標價的八五折一次性付清鋪款，2年后每年可以獲得的租金為商鋪標價的10%，但要繳納租金的10%作為管理費用（1）請問：投資者選擇哪種購鋪方案，5年后所獲得的投資收益率更高？為什么？（注：投資收益率=100%）（2）對同一標價的商鋪，甲選擇了購鋪方案一，乙選擇了購鋪方案二，那么5年后兩人獲得的收益將相差5萬元問：甲、乙兩人各投資了多少萬元？考點：一元一次方程的應用；列代數(shù)式。分析：（1）利用方案的

13、敘述，可以得到投資的收益，即可得到收益率，即可進行比較；（2）利用（1）的表示，根據(jù)二者的差是5萬元，即可列方程求解解答：解：（1）設商鋪標價為x萬元，則 按方案一購買，則可獲投資收益（120%1）x+x10%5=0.7x 投資收益率為100%=70% 按方案二購買，則可獲投資收益（120%0.85）x+x10%（110%）3=0.62x 投資收益率為100%72.9%投資者選擇方案二所獲得的投資收益率更高 （2）由題意得0.7x0.62x=5 解得x=62.5萬元甲投資了62.5萬元，乙投資了53.125萬元【模擬試題】一、選擇題：1.在2x+3y-1;1+7=15-8+1;1-x=x+1

14、x+2y=3中方程有( )個. ( ) A.1 B.2 C.3 D.42.若方程3-4=5(a已知,x未知)是一元一次方程,則a等于( ) A.任意有理數(shù) B.0 C.1 D.0或13.x=2是下列方程( )的解. A.2x=6 B.(x-3)(x+2)=0 C.x2=3 D.3x-6=04.x、y是兩個有理數(shù),“x與y的和的等于4”用式子表示為( ) A. B. C. D.以上都不對二、填空：5.列式表示: (1)比x小8的數(shù)：_;(2)a減去b的的差;(3)a與b的平方 和:_;(4)個位上的數(shù)字是a、十位上的數(shù)字是b的兩位數(shù):_.6.下列式子各表示什么意義? (1)(x+y)2:_;(2

15、)5x=y-15:_;(3) :_.7.甲乙兩運輸隊,甲隊32人,乙隊28人,若從乙隊調走x人到甲隊,那么甲隊人數(shù)恰好是乙隊人數(shù)的2倍,列出方程(32+x)=2(28-x)所依據(jù)的相等關系是_.(填寫題目中的原話)8.一根鐵絲用去后還剩下3米,設未知數(shù)x后列出的方程是x-=3,其中x是指_.9.甲乙兩人從相距40千米的兩地同時出發(fā),向相而行,三小時后相遇.已知甲每小時比乙多走3千米,求乙的速度,若設乙的速度為x千米/時,列出方程為3x+3(x+3)=40,其中3(x+3)表示_.三、解答題：10.某中學一、二年級共1000名學生,二年級學生比一年級少40人,求該中學一年級人數(shù)是多少?(設未知數(shù)

16、、列方程并估計問題的解).11.隨隨與州州約好1小時后到州州家去玩,他騎車從家出發(fā)半小時后發(fā)現(xiàn)時間不夠了便將速度提高到原來的2倍,半小時后準時到達州州的家.已知他們家相距30千米,求隨隨原來的騎車速度.(畫出路程示意圖,設未知數(shù)列方程并估計問題的解)12.甲乙兩個數(shù),甲數(shù)比乙數(shù)的2倍多1,乙數(shù)比甲數(shù)小4,求這兩個數(shù)(用不同的方法設元、列方程并估計解)13.方程17+15x=245, 2(x+1.5x)=24都只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的指數(shù)都是1,它們是一元一次方程,方程x2+3=4,x2+2x+1=0,x+y=5是一元一次方程嗎?若不是,它們各是幾元幾次方程?答案1.B 2.C 3.D 4.C

17、 5.(1)x-8;(2)a-b;(3)a2+b2;(4)10b+a 6.(1)x,y的和的平方;(2)x的5 倍比y的一半小15;(3)x與它的的和的一半等于24 7.甲隊人數(shù)恰好是乙隊人數(shù)的2倍 8.這根鐵絲的長 9.甲3小時所走的路程 10.設該中學一年級人數(shù)為x,列方程,得x+(x-40)=1000,x=520 11.設隨隨原來的騎車速度為x千米/時,列方程,得,x=20. 12.設甲數(shù)為x,則乙數(shù)為x-4,列方程得x=2(x-4)+1,x=7;設乙數(shù)為x,則甲數(shù)為x+4,列方程得x+4=2x+1,x=3 13.x2+3=4和x2+2x+1=0是一元二次方程;x+y=5是二元一次方程。

18、3.2 一元一次方程的解法【本講主要內(nèi)容】一. 教學內(nèi)容：一元一次方程和它的解法二. 教學目標和要求：1. 了解一元一次方程的概念，能寫出一元一次方程的標準形式。2. 熟練掌握利用等式性質解一元一次方程的基本過程，能熟練地求解一元一次方程。三. 重點、難點：1. 重點：移項法則、一元一次方程的概念及其解法。2. 難點：一元一次方程解法步驟的靈活運用。四. 知識要點：1. 一元一次方程的概念（1）定義：經(jīng)過去分母、去括號、移項、合并同類項等變形后，能化為最簡形式（），它只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于0，我們把這一類方程叫做一元一次方程。（2）一元一次方程的標準形式：方程（其中

19、是未知數(shù)，是已知數(shù)，且）叫做一元一次方程的標準形式（是未知數(shù)的系數(shù)，是常數(shù)項）。2. 一元一次方程的解法（1）解一元一次方程的一般思路 先經(jīng)過去分母、去括號、移項、合并同類項等變形，將方程化為最簡方程（）的形式，然后將方程兩邊都除以，得方程的解。（2）移項法則：方程中的任何一項，都可以在改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這類變形叫做移項，這個法則叫做移項法則。（3）解一元一次方程的一般步驟： 去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)。 去括號：先去小括號，再去中括號，最后去大括號。 移項：把含未知數(shù)的項都移到方程的左邊，不含未知數(shù)的項移到右邊。 合并同類項：把方程化成（）的形式。 系數(shù)化1

20、：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解。（4）檢驗方法：將所得的解分別代入原方程的左邊和右邊，如果左邊=右邊，說明所得的解是原方程的解；如果左邊右邊，說明解題過程有錯誤，應認真檢查，一定是哪一步的計算出了錯誤?！镜湫屠}】例1. 已知是關于的一元一次方程，求的值。解： 是關于的一元一次方程 且 且 例2. 若關于的方程的解為正整數(shù)，求正整數(shù)的值。解： 當時， 為正整數(shù) 必須是4的約數(shù) 4的約數(shù)是1，2，4 又 是正整數(shù) 只能是1或3例3. 解方程解： 去分母 去括號 移項 合并同類項 系數(shù)化1 說明：一見到此方程，許多同學立即想到老師介紹的方法，那就是把分母化成整數(shù)，即各分數(shù)分子分母都乘

21、以10，再設法去分母，其實，仔細觀察這個方程，我們可以將分母化成整數(shù)與去分母兩步一步到位，第一個分數(shù)分子分母都乘以2，第二個分數(shù)分子分母都乘以5，第三個分數(shù)分子分母都乘以10. 例4.解方程: +-+=2005.x=-2004*2006; 例5. 已知關于x的方程ax+5=的解x與字母系數(shù)a都是正整數(shù),求a的值.a=6.例6. 解方程 . 解析：方程兩邊乘以8，再移項合并同類項，得同樣，方程兩邊乘以6，再移項合并同類項，得方程兩邊乘以4，再移項合并同類項，得方程兩邊乘以2，再移項合并同類項，得x=3. 說明：解方程時，遇到多重括號，一般的方法是從里往外或從外往里運用乘法的分配律逐層去特號，而本

22、題最簡捷的方法卻不是這樣，是通過方程兩邊分別乘以一個數(shù)，達到去分母和去括號的目的。例7. (2009年貴州安順)在“五一”期間，小明、小亮等同學隨家長一同到某公園游玩，下面是購買門票時，小明與他爸爸的對話（如圖），試根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：小明他們一共去了幾個成人，幾個學生？請你幫助小明算一算，用哪種方式購票更省錢？說明理由?！痉治觥浚?）首先分別設出成人和學生的人數(shù)，再分別表示出兩者所需的費用，根據(jù)題意列出方程求解。（2）要確定哪種方式省錢，首先應求出團體票需要的費用，再比較即可【答案】（1）設成人人數(shù)為x人，則學生人數(shù)為(12-x)人. 則 35x + （12 x）= 350 解得：

23、x = 8 故：學生人數(shù)為12 8 = 4 人, 成人人數(shù)為8人. （2）如果買團體票，按16人計算，共需費用： 350.616 = 336元 336350 所以，購團體票更省錢。答：有成人8人，學生4人；購團體票更省錢?！军c評】運用數(shù)學知識解決現(xiàn)代經(jīng)濟生產(chǎn)中的實際問題是中考的熱點考查對象之一，同學們應多關心商品經(jīng)濟，生活中的規(guī)律、規(guī)則，把數(shù)學與生活有機結合起來例8. 解關于的方程【分析】由于所給方程中除外，還有另外一個變量，當取值不同時，方程的解發(fā)生變化，因而要針對進行分類討論。解：原方程可依次化為當a=2時，則方程化為故任意實數(shù)都是方程的解；當a=3時，則方程化為故方程無解；當時，方程的解

24、為。例9.一個商人以每3只16分錢的價格購進批量橘子，他又以每4只21分錢的價格購進比前一批數(shù)量多一倍的橘子。如果他以每3只k分錢的價格全部出售，可得到所投資的20%的收益，求k?！痉治觥砍齥作為一個要求的未知量之外，還可以引入一個設而不求的量-第一批橘子的只數(shù)，然后列出方程求解。解：設第一批橘子的只數(shù)有a只，則總值為分；第二批橘子有2a只，總值為分；全部售出可得分。有題設，有解得 例10. 若則x的取值范圍是？【模擬試題】一、選擇題： 1. 下列方程的變形，正確的個數(shù)有 （ ）個由3+x=5，得 x=5+3； 由7x= 4，得 x=；由，得 y=2； 由3=x 2，得 x= 23；A、1 B

25、、2 C、3 D、02. 當x=2時，代數(shù)式ax2的值是4，那么當x=2時，代數(shù)式的值是（ ）A、4 B、8 C、8 D、2 *3. 幾個同學在日歷縱列上圈出了三個數(shù)，算出它們的和，其中錯誤的一個是（ ）A、28 B、33 C、45 D、57 4. 下列各方程中，是一元一次方程的是（ ）A、3x+2y=5 B、y26y+5=0 C、 D、3x2=4x7 5. 已知y=1是方程2的解，則關于x的方程m（x+4）=m（2x+4）的解是（ ）A、x=1 B、x=1 C、x=0 D、方程無解*6. 某種商品的進價為1200元，標價為1750元，后來由于該商品積壓，商店準備打折出售，但要保持利潤不低于，

26、則至多可打（ ）A、6折 B、7折 C、8折 D、9折7. 某市為解決藥品價格過高的問題，決定大幅度降低藥品的價格，其中將原價a元的某種常用藥降價40，則降價后此藥的價格為（ ）A、元 B、元 C、60a元 D、40a 元8. 下列說法中，正確的是（ ）A、代數(shù)式是方程 B、方程是代數(shù)式 C、等式是方程 D、方程是等式9. 與方程的解相同的方程是（ ）A、 B、 C 、 D、10. 一個數(shù)的與2的差等于這個數(shù)的一半這個數(shù)是（ ） A、12 B、12 C、18 D、18*11. 母親26歲結婚，第二年生了兒子，若干年后，母親的年齡是兒子的3倍. 此時母親的年齡為（ ） A、39歲 B、42歲 C

27、、45歲 D、48歲 *12. A、B兩地相距240千米，火車按原來的速度行駛需要4小時到達目的地，火車提速后，速度比原來加快30，那么提速后只需要（ ）即可到達目的地。A、小時 B、小時 C、小時 D、小時二、填空題13. 如果x=4是方程ax=a+4的解，那么a的值為_. 14. 當x= 時，代數(shù)式4x5的值等于7. 15. 已知甲數(shù)比乙數(shù)的2倍大1，如果設甲數(shù)為x，那么乙數(shù)可表示為_；如果設乙數(shù)為y，那么甲數(shù)可表示為_. 16. 初一（3）班男女生人數(shù)的比為5：4，如果男生人數(shù)為a人，那么女生人數(shù)是_ 人，全班共有學生 人. 17. 歡歡的生日在8月份在今年的8月份日歷上，歡歡生日那天的

28、上、下、左、右4個日期的和為76，那么歡歡的生日是該月的 號. 18. 某工廠預計今年比去年增產(chǎn)15，達到年產(chǎn)量60萬噸，設去年的年產(chǎn)量為x萬噸，則可列方程 ；19. 甲、乙兩輛汽車從相隔400米的兩站同時同向出發(fā)，經(jīng)過2小時后，甲車追上乙車，若甲車的速度是a千米/時，則乙車的速度是 ；20. 從甲地到乙地，公共汽車原需行駛7小時，開通高速公路后，車速平均每小時增加了20千米，只需5小時即可到達。甲乙兩地的路程是 ；三、解答題21. 解下列方程 （1） （2）22. 為何值時，代數(shù)式的值等于3？23. 一家商店將某型號彩電先按原售價提高40，然后在廣告中寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠”. 經(jīng)顧客投訴后

29、，執(zhí)法部門按已得非法收入的10倍處以每臺2700元的罰款. 求每臺彩電的原價格. 24. 小明的爸爸三年前為小明存了一份 3000元的教育儲蓄. 今年到期時取出，得本利和為3243元. 請你幫小明算一算這種儲蓄的年利率. *25. 在社會實踐活動中，某校甲、乙、丙三位同學一起調查了高峰時段北京的二環(huán)路、三環(huán)路、四環(huán)路的車流量（每小時通過觀測點的汽車車輛數(shù)），三位同學匯報高峰時段的車流量情況如下：甲同學說：“二環(huán)路車流量為每小時10 000輛”. 乙同學說：“四環(huán)路比三環(huán)路車流量每小時多2000輛”. 丙同學說：“三環(huán)路車流量的3倍與四環(huán)路車流量的差是二環(huán)路車流量的2倍”. 請你根據(jù)他們所提供的

30、信息，求出高峰時段三環(huán)路、四環(huán)路的車流量各是多少？【試題答案】1. D. 提示：選項移項未變號；系數(shù)化1后，右邊的分母應為7；應是y=02. B. 提示：將x=2代入ax2=4得a=3，再將其與x=2代入得代數(shù)式的值為83. A. 提示：日歷上縱列上的三個數(shù)的和是中間一個數(shù)的3倍 4. D. 提示：A是二元，B是二次，C不是關于未知數(shù)的整式5. C. 提示：將y=1代入方程得m的值，再將m代入m（x+4）=m（2x+4）6. C. 提示：設至多可打x折，可得方程 解得x=0. 87. C. 提示：列式得a（140%），即60%a，選C8. D. 提示：方程是含未知數(shù)的等式9. A. 提示：原方

31、程的解是x=. 10. B. 提示：設這個數(shù)為x. 可得方程. 解得x=12. 11. A. 提示：設x年后，母親的年齡是兒子的3倍，可得方程27+x=3（1+x）12. B. 提示：設原來速度為x千米/時，則x=60千米/時13. . 提示：把x=4代入方程得關于a的一元一次方程14. 3. 提示：解關于x的一元一次方程4x5=715. ，2y+1 提示：根據(jù)等量關系甲數(shù)=2乙數(shù)+1來解此題16. ， 提示：共9份，男生占了5份，女生占4份17. 19 提示：設歡歡的生日為x號，可得方程x1+x+1+x+7+x7=7618. （1+15%）x=60 提示：注意是在去年的基礎上增產(chǎn)的19. （

32、a200）提示：根據(jù)速度差追及的時間=要追及的路程得方程20. 350千米 提示：設間接未知數(shù)，設原車速為x千米/時，則開通高速公路后，車速為（x+20）千米/時，列方程得7x=5（x+20），解得x=50，所以兩地路程為750=350（千米）. 21. 去括號，得5x+40=12x42+5移項合并同類項，得7x=77系數(shù)化1，得 x=11 去分母，得3（x+2）2（2x3）=12去括號，得3x+64x+6=12移項合并同類項，得 x=0 22. 根據(jù)題意，可得方程=3再解這個方程，得x=5所以，當x=5時，代數(shù)式的值等于3. 23. 設每臺彩電的原價格為x元，根據(jù)題意，列方程得（1+40%）

33、x0. 8x 10=2700解這個方程，得x=2250，答：每臺彩電的原價為2250元. 24. 設這種儲蓄的年利率為x，根據(jù)題意，列方程3000+3000 x3=3243，解這個方程，得x=0. 027，即x=2. 7%，答：這種儲蓄的年利率為2. 7%. 25. 設三環(huán)路的車流量是每小時x輛，則四環(huán)路為（x+2000）輛，根據(jù)題意，列方程，得3x（x+2000）=210000，解得x=11000，所以x+2000=13000，答：三環(huán)路的車流量為11000輛，四環(huán)路的車流量為13000輛. 3.3 一元一次方程的應用【本講主要內(nèi)容】【本講教育信息】一、教學內(nèi)容：1. 列方程解應用題. 2.

34、 用一元一次方程解決實際問題. 3. 用二元一次方程組解決實際問題. 二、知識要點：1.列方程解應用題，是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一。許多實際問題都歸結為解一種方程或方程組，所以列出方程或方程組解應用題是數(shù)學聯(lián)系實際，解決實際問題的一個重要方面；同時通過列方程解應用題，可以培養(yǎng)我們分析問題，解決問題的能力。因此我們要努力學好這部分知識。 列方程解應用題的主要步驟： （1）審題：認真審題，理解題意，弄清題目中的數(shù)量關系，找出其中的等量關系； （2）設未知數(shù)：用字母表示題目中的未知數(shù)，并用這個字母和已知數(shù)一起組成表示各數(shù)量關系的代數(shù)式； （3）列方程：利用這些代數(shù)式列出反映某個等量關系的方程（注意所使

35、用的單位一定要統(tǒng)一）； （4）解方程：求出所列方程的解； （5）檢驗：檢驗所求的解是否使方程成立，又能使應用題有意義，不符合實際的要舍去，并答題。2. 用一元一次方程解決實際問題的常見類型（1）行程問題：行程問題的基本關系：路程速度時間. 相遇問題：甲、乙相向而行，則有：甲走的路程乙走的路程總路程. 追及問題：甲、乙同向不同地，則：追趕者走的路程前者走的路程兩地間的距離. 環(huán)形跑道問題：若甲、兩人在環(huán)形跑道上同時同地同向出發(fā)：快者多跑一圈才能第一次追上慢者；若同時同地背向而行：兩人相遇時的總路程為環(huán)形跑道一圈的長度. （2）等積問題：正確應用面積和體積公式. 同一根繩子可以圍成不同的圖形，則有

36、：兩種圖形的周長不變；一個物體由一種形狀變成另一種形狀，變化前后體積不變；液體由一個容器倒入另一個容器，則有：液體體積不變. （3）打折問題：打折就是以商品原價為基礎，按一定比例降價出售. 如7折銷售，就是原價70%. 利潤：是指商品的售價減去進價. 利潤率：指商品的利潤與進價的比率，即利潤率 eq f(利潤,進價)100%. （4）利息問題，有以下基本關系式：利息本金利率期數(shù)；本息和本金利息；利息稅利息利稅稅率. 3. 利用方程組解決實際問題除1中所列外，還有以下幾種：（1）工程問題：工程問題中有三個量：工作效率、工作時間、工作量. 其關系式為工作效率工作時間工作量. 工作效率是單位時間的工

37、作量，同一題目中的時間單位必須統(tǒng)一，一般將工作總量設為1，也可設為A，應根據(jù)題目的特點合理運用. 工程問題也常借助列表格或圖象進行分析. （2）幾何問題：初中數(shù)學學習過程中，許多幾何問題借助代數(shù)知識解決，這樣就出現(xiàn)了幾何與代數(shù)的綜合性題目，這類題目是近幾年中考、競賽中常見的題型，學習中應引起注意. （3）濃度問題：濃度問題中也有三個量：混合物（溶液）、濃度、純物質（溶質）. 其關系式為：混合物濃度純物質（溶液濃度溶質）. 【典型例題】例1. 小明上學要經(jīng)過小亮的家，他們兩家相距1千米，小明騎自行車上學的時間比小亮步行上學的時間少10分鐘. 如果小明騎自行車的速度是9千米/時，小亮步行的速度是4

38、千米/時，問他們上學各用多少時間？分析：我們可以設小明上學用x小時，那么小亮上學用（x eq f(10,60)）小時，這里注意要統(tǒng)一單位. 等量關系是關于路程的，如圖所示，等量關系一目了然. 解：設小明上學用x小時，小亮上學用（x eq f(10,60)）小時，根據(jù)題意，得9x4（x eq f(10,60)）1. 解得，x eq f(1,3)，x eq f(10,60) eq f(1,3) eq f(1,6) eq f(1,2)（小時）. 答：小明上學用 eq f(1,3)小時，小亮上學用 eq f(1,2)小時. 評析：行程問題中，要搞清關系式：路程速度時間；時間 eq f(路程,速度)；速

39、度 eq f(路程,時間). 靈活應用上述關系，經(jīng)常以時間關系或路程間的關系列方程. 例2. 一項工程，甲獨做需8天，乙獨做要5天，丙獨做10天完成，甲、乙合做2天后，因乙有事離開，由甲、丙繼續(xù)做，還需幾天完成？分析：主要是設此工程為1，則甲、乙、丙三者的效率分別為 eq f(1,8)、 eq f(1,5)、 eq f(1,10). 解：設甲、丙繼續(xù)做還需x天完成. 依題意，得（ eq f(1,8) eq f(1,5)）2（ eq f(1,8) eq f(1,10)）x1解這個方程，得：x eq f(14,9)1 eq f(5,9). 答：甲、丙繼續(xù)做還需1 eq f(5,9)天完成. 評析：

40、一般把總工作量看成是1，工作量工作時間工作效率，工作效率 eq f(1,工作時間). 例3. 景華制衣廠接受了一批服裝訂貨任務，按計劃天數(shù)進行生產(chǎn)，如果每天平均生產(chǎn)20套服裝，就比訂貨任務少生產(chǎn)100套；如果每天生產(chǎn)23套服裝，就可超過訂貨任務20套，問這批服裝的訂貨任務是多少套？原計劃多少天完成？分析：仔細分析題意，本題有兩個不變量：（1）這批服裝的訂貨量不變；（2）計劃的天數(shù)不變. 由這兩條來尋求等量關系，則思路清晰，容易列出方程. 解法1：設這批服裝訂貨的任務為x套，由第一個條件可得計劃的天數(shù)為 eq f(x100,20)天，由第二個條件可得計劃的天數(shù)為 eq f(x20,23)天，于是

41、有 eq f(x100,20) eq f(x20,23). 解方程，得x900. eq f(x100,20) eq f(900100,2)40. 解法2：設計劃x天完成任務，那么由第一個條件可得這批服裝共（20 x100）套，由第二個條件可得這批服裝共（23x20）套，于是有20 x10023x20. 解方程，得x40. 20 x1002040100900. 答：這批服裝共900套，計劃40天完成. 評析：根據(jù)題目的問號設置未知數(shù)，是列方程解應用題的“直接設”；找出題目中所有不變的量，可以設這些不變量中的一個為未知數(shù)列一元一次方程，如果設的這個未知數(shù)（不變量）不是問號中的量，那么就是“間接設”

42、. 本例中兩種解法均為通法，比較兩種解法，解法2更簡潔. 例4. 有兩個容器，甲容器裝有47升水，乙容器裝有58升水，如果將乙容器的水倒?jié)M甲容器，那么乙容器剩下的水相當于這個容器容積的一半；如果將甲容器的水倒?jié)M乙容器，那么甲容器剩下的水相當于這個容器容積的 eq f(1,3)，問這兩個容器的容積各是多少？分析：由題意知，兩個容器共有水105升，若設甲容器的容積為x升，那么第一次倒?jié)M甲容器后，乙容器剩的水為（105x）升，則乙容器的容積為2（105x）升；同樣的道理，第二次將甲容器的水倒?jié)M乙容器，甲容器剩的水為1052（105x）升或 eq f(x,3)升，相等關系是甲容器剩水的關系，本例過程如

43、圖所示：解：設甲容器的容積為x升，則乙容器的容積為2（105x）升，根據(jù)題意，得1052（105x） eq f(1,3)x. 解得x63. 乙容器的容積為2（105x）2（10563）84. 答：甲容器的容積為63升，乙容器的容積為84升. 評析：本例中含有兩個等量關系，一般情況下，選取一個等量設未知數(shù)列代數(shù)式，另一個等量列方程. 例5. 某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經(jīng)粗加工銷售，每噸利潤可達4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元. 當?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸；如果進行

44、精加工，每天可加工6噸；但兩種加工方式不能同時進行. 受季節(jié)限制，公司必須在15天內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：方案一：將蔬菜全部進行粗加工；方案二：盡可能多的對蔬菜進行精加工，沒有來得及進行加工的蔬菜，在市場上銷售；方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成. 你認為選擇哪一種方案獲利最多？為什么？分析：這是一個開放題，即沒有給出答案，需要進行比較，再選擇最佳結果，因此必須對三個方案逐個計算. 解：方案一：全部粗加工，因為140168.75（天），可行. 獲利為4500140（元）；方案二：每天只能精加工6噸，15天可加工61590噸，還

45、有50噸在市場銷售. 獲利為750090100050（元）；方案三：設將x噸蔬菜精加工，y噸蔬菜粗加工，依題意有： eq blc (aalvs3(xy140,f(x,6)f(y,16)15) . 解得 eq blc (aalvs3(x60（噸）,y80（噸）) . 獲利為750060450080（元）. 答：方案三獲利最多，為元，比其他兩種方案獲利多. 例6. (2012江蘇省無錫市惠山區(qū)數(shù)學試題)(（本題滿分8分）某班將舉行 “慶祝建黨90周年知識競賽” 活動，班長安排小明購買獎品，下面兩圖是小明買回獎品時與班長的對話情境：請根據(jù)上面的信息， 試求兩種筆記本各買了多少本？答案：設單價為5元的

46、筆記本買了x本，則單價為8元的筆記本買了（40-x）本。 （1分） 由題意得：5x+8（40-x）=300+13-68 （3分）解得：x=25 （5分）則40-x=15 （7分）答：單價為5元的筆記本買了25本，則單價為8元的筆記本買了15本。（8分）例7.機械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？ 分析：列表法。每人每天人數(shù)數(shù)量大齒輪16個x人16x小齒輪10個人 等量關系：小齒輪數(shù)量的2倍大齒輪數(shù)量的3倍 解：設分別安排x名、名工人加工大、小齒輪 答：安

47、排25人加工大齒輪，安排60人加工小齒輪。例8、小王：“小李，你的生日是幾號？”小李：“我的生日連同上下左右5個日期之和為21. ”小張卻認為小李在說謊. 請你幫助判斷一下，小李有沒有說謊？分析：要判斷小李有沒有說謊，就要看小李所說的日期是否存在. 解：設小李的生日是號，則這個日期的上方的日期是，下方的日期是，左邊的日期是，右邊的日期是. 根據(jù)題意，得解得 . 因為日期只能是整數(shù)，不可能是分數(shù)，所以小李在說謊. 注意：用方程解應用題時，不僅要注意解方程的過程是否正確，還要檢驗方程的解是否符合問題的實際意義. 【方法總結】1. 在一道應用題中，往往含有幾個未知數(shù)，應恰當?shù)剡x擇其中的一個，用字母x

48、表示出來，然后根據(jù)數(shù)量之間的關系，將其他幾個未知量用含x的代數(shù)式表示出來. 2. 一般情況下，題中所給條件在列式時不能重復使用，也不能漏掉不用. 重復利用某一個條件，會得到一個恒等式，無法求得應用題的解. 3. 對于求得的解，還要看它是否符合實際意義，再寫“答”. 【模擬試題】一、選擇題1.（2009年臺灣）動物園的門票售價：成人票每張50元，兒童票每張30元。某日動物園售出門票700張，共得29000元.設兒童票售出x張，依題意可列出下列哪一個一元一次方程式？( )A30 x+50(700-x)=29000 B50 x+30(700-x)=29000C30 x+50(700+x)=29000 D50 x+30(700+x)=29000 。2（2009年深圳）班長去文具店買畢業(yè)留言卡50張，每張標價2元，店老板說可以按標價九折優(yōu)惠，則班長應付（）A45元B90元C10元D100元二、選擇題1.(2009年貴州安順)已知關于的方程的解是，則的值是_。2.（2009年湖南郴州）