兩個向量數(shù)量積說課

1、遼寧省大連市第三十六高級中學(xué) 說課教師 王 昕兩個向量的數(shù)量積 兩個向量的數(shù)量積教材分析學(xué)情分析目標(biāo)設(shè)計方法手段過程設(shè)計教學(xué)評價Company Logo空間兩個向量的夾角、數(shù)量積是高中數(shù)學(xué)向量的重要內(nèi)容，也是高考的重要考查內(nèi)容. 從知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上看，空間向量夾角、數(shù)量積既是平面向量夾角、數(shù)量積概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)空間向量數(shù)量積的計算坐標(biāo)化和空間向量在立體幾何中應(yīng)用的教學(xué)基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用.同時，用向量處理立體幾何問題，可使學(xué)生克服空間想象力的障礙而順利解題，為研究立體幾何提供了新的思想方法和工具，具有相當(dāng)大的優(yōu)越性，而且在豐富學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的同時，應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力也得到了鍛煉和提高.

2、教材分析教學(xué)內(nèi)容地位作用兩個向量的數(shù)量積是新課標(biāo)人教版選修 2-1第三章第一大節(jié)里第三小節(jié)的內(nèi)容,根據(jù)教學(xué)大綱,本節(jié)共1課時,主要內(nèi)容是空間兩個向量的夾角的概念和空間兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、運算率及簡單應(yīng)用 兩個向量的數(shù)量積教材分析學(xué)情分析目標(biāo)設(shè)計方法手段過程設(shè)計教學(xué)評價Company Logo學(xué)情分析知識準(zhǔn)備能力儲備學(xué)生情況高二年級學(xué)生在掌握了平面向量夾角、數(shù)量積以及平面向量數(shù)量積的性質(zhì)、運算率的基礎(chǔ)上，又學(xué)習(xí)了空間向量的線性運算及空間向量的基本定理等有關(guān)知識，具有了一定的知識儲備.但用向量解決立體幾何問題時，要將幾何問題等價轉(zhuǎn)化為向量問題，這是本小節(jié)的一個難點.學(xué)生經(jīng)過初中以及高一的

3、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已具有一定的推理能力，數(shù)學(xué)思維也逐步向理性層次躍進，逐步形成了辯證思維體系但學(xué)生自主探究問題的能力，由特殊到一般的歸納能力普遍還不夠理想 考慮到任課實驗班級學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點，加深了對概念的理解，并對例題的選擇進行了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和延展，為向量在立體幾何中的綜合應(yīng)用打好基礎(chǔ) 兩個向量的數(shù)量積教材分析學(xué)情分析目標(biāo)設(shè)計方法手段過程設(shè)計教學(xué)評價Company Logo 兩個向量的數(shù)量積教學(xué)目標(biāo)知識與技能過程與方法情感態(tài)度價值觀掌握空間向量夾角的概念及表示方法，掌握空間向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計算方法及運算率；初步掌握空間向量數(shù)量積的用途，會用它解決立體幾何中的一些簡單問題.通

4、過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣；讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、基礎(chǔ)、系統(tǒng)、實用的魅力.教材分析學(xué)情分析目標(biāo)設(shè)計方法手段過程設(shè)計教學(xué)評價經(jīng)歷概念的形成過程,經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的幾何問題的思維過程，體驗數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)作用，體會向量是一種解決幾何問題的有利工具，并鼓勵學(xué)生靈活選擇運用向量法解決立體幾何問題，使學(xué)生親身體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念以及對教材、學(xué)情的分析 Company Logo 兩個向量的數(shù)量積重點難點教學(xué)重點教學(xué)難點空間兩個向量的夾角、數(shù)量積的概念、計算方法及其應(yīng)用教材分析學(xué)情分析目標(biāo)設(shè)計方法手段過程設(shè)計教學(xué)評價空間兩個向量數(shù)量

5、積的幾何意義以及把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量計算問題.為更好地完成教學(xué)目標(biāo)，設(shè)置教學(xué)重、難點.Company Logo 兩個向量的數(shù)量積方法手段教學(xué)方法教學(xué)手段教學(xué)中使用多媒體投影和計算機來輔助教學(xué)目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識教材分析學(xué)情分析目標(biāo)設(shè)計方法手段過程設(shè)計教學(xué)評價為達到教學(xué)目標(biāo)，突出重點，突破教學(xué)難點，闡述方法手段.根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的認(rèn)知水平，本節(jié)課主要采取教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法.教學(xué)過程中，根據(jù)教材提供的線索，安排適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生獨立自主地開展思維活動，并讓學(xué)生展示相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維過程，深

6、入探究，并合作交流，創(chuàng)造性地解決問題，最終獲得方法，培養(yǎng)能力.Company Logo 兩個向量的數(shù)量積教材分析學(xué)情分析目標(biāo)設(shè)計方法手段過程設(shè)計教學(xué)評價 根據(jù)課改的精神，本著“以學(xué)生發(fā)展為本”的教學(xué)理念，結(jié)合學(xué)生實際，對教學(xué)過程作了如下的設(shè)計： 首先，通過步步設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生掌握教材所要求的基本面：空間向量夾角的概念和空間向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計算方法及運算率；其次，鑒于向量兼容了代數(shù)、幾何的特色，有著其獨特的魅力和發(fā)展前景，為進一步讓學(xué)生感受“向量法”的優(yōu)勢，安排了可以分別運用“幾何法” 和“向量法”來處理空間幾何問題的例題.同時，為日后解決空間的度量、位置關(guān)系問題尋求一種新的方法，進一步拓展

7、了學(xué)生的思維渠道. 我把教學(xué)過程設(shè)計為四個階段：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題；類比探究，獲得新知；回味建構(gòu)，應(yīng)用拓展；歸納小結(jié)，提高認(rèn)識.Company Logo時間安排教材分析學(xué)情分析目標(biāo)設(shè)計方法手段過程設(shè)計教學(xué)評價 兩個向量的數(shù)量積引入課題（1分鐘）獲得新知（15分鐘）應(yīng)用拓展（27分鐘）課堂小結(jié)（分鐘）Company Logo教材分析學(xué)情分析目標(biāo)設(shè)計方法手段過程設(shè)計教學(xué)評價過程設(shè)計 兩個向量的數(shù)量積第一階段:創(chuàng)設(shè)情境,引入課題第二階段:類比探究,獲得新知第三階段:回味建構(gòu),應(yīng)用拓展第四階段:歸納小結(jié),提高認(rèn)識Company Logo 概念的形成主要依靠對感性材料的抽象概括，只有學(xué)生對學(xué)習(xí)對象有了豐

8、富具體經(jīng)驗以后，才能使學(xué)生對學(xué)習(xí)對象進行主動的、充分的理解，因此在本階段的教學(xué)中，我從分析具體例子出發(fā)，而不是從抽象語言入手來引入空間向量的相關(guān)概念. 第一階段:創(chuàng)設(shè)情境,引入課題(設(shè)計意圖: 以學(xué)生熟悉的正方體做為教學(xué)背景，預(yù)計學(xué)生應(yīng)聯(lián)想到平面向量的夾角和數(shù)量積，由此類比猜想引入新課，溫故知新從而有效調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性)BCDB1C1AA1D1FE引例：已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AE=EA1， D1F=如何確定的夾角？如何求？ Company Logo第二階段:類比探究,獲得新知第一環(huán)節(jié):回顧舊知,類比猜想第二環(huán)節(jié):探究原因,理性認(rèn)識第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念 在本階段的

9、教學(xué)中，為使學(xué)生加深對空間向量的夾角和空間向量的數(shù)量積概念的本質(zhì)的認(rèn)識，我設(shè)計了三個環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生分別完成對空間向量夾角、數(shù)量積概念的三次認(rèn)識，形成并掌握空間向量的夾角和空間向量的數(shù)量積概念，以及掌握空間兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)、計算方法及運算率.Company Logo第一環(huán)節(jié):回顧舊知,類比猜想第二環(huán)節(jié):探究原因,理性認(rèn)識第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念（設(shè)計意圖：是從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，即從學(xué)生已具備的平面向量相關(guān)知識出發(fā)，為類比出空間向量夾角和數(shù)量積概念做鋪墊，以備完成對空間向量夾角和數(shù)量積概念的第一次認(rèn)識. ）問題1.平面向量的夾角和平面向量的數(shù)量積的概念？ ,第二階段:類比探究,獲得新知C

10、ompany Logo第一環(huán)節(jié):回顧舊知,類比猜想問題2.能否根據(jù)自己的理解說說什么是空間向量的夾角、數(shù)量積?（設(shè)計意圖：對于概念教學(xué),若學(xué)生能用自己的語言來表述概念, 則能更好的理解和掌握概念.） 教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述空間向量的相關(guān)概念，至此，學(xué)生對空間向量的夾角和數(shù)量積的概念就有了第一次直觀、描述性的認(rèn)識第二階段:類比探究,獲得新知Company Logo第一環(huán)節(jié):回顧舊知,類比猜想第二環(huán)節(jié):探究規(guī)律,理性認(rèn)識第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念第二環(huán)節(jié):探究原因,理性認(rèn)識第二階段:類比探究,獲得新知問題1:引例中如何確定的夾角?為什么?BC DB1C1AA1D1FEMN預(yù)測對于問題

11、1中如何確定的夾角學(xué)生的回答主要有兩種： （1）取A1B1的中點M連結(jié)AM, 的夾角即為 的夾角； （2）取D1D的中點N連結(jié)CN, 的夾角即為 的夾角.通過對問題的研究、交流、討論，使學(xué)生對空間兩個向量夾角概念的認(rèn)識由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的高度，使學(xué)生完成對概念的第二次認(rèn)識 Company Logo第二環(huán)節(jié):探究原因,理性認(rèn)識問題2：還有其它平移向量的方法嗎？ （設(shè)計意圖:對于問題1中確定兩個空間向量的夾角，學(xué)生易根據(jù)空間向量相等的定義通過平移向量來解決，困難是如何選擇平移向量所到的確切位置再通過問題2的討論，使學(xué)生感受到空間向量平移的任意性，從而將對空間向量夾角的描述性認(rèn)識過渡到理性的高

12、度. ）第二階段:類比探究,獲得新知BC DB1C1AA1D1FEMNCompany Logo第一環(huán)節(jié):回顧舊知,類比猜想第二環(huán)節(jié):探究原因,理性認(rèn)識第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出空間兩個向量夾角的的概念： 第二階段:類比探究,獲得新知已知兩非零向量 ,在空間任取一點, 作 ，則 叫做向量 與 的夾角，記作 .且規(guī)定 ，顯然有 .若，則稱與互相垂直，記作： 使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認(rèn)知過程,完成對概念的第三次認(rèn)識.Company Logo（設(shè)計意圖：通過三個判斷題，加深學(xué)生對概念理解的同時指出：求向量的夾角注意向量的方向性；兩個共線向

13、量的夾角為0或；空間任意兩個向量必共面，但是基線不一定共面，進而引出異面直線以及異面直線所成的角的概念.）第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念設(shè)計了：第二階段:類比探究,獲得新知BCDB1C1AA1D1問題1：判斷題：在正方體中ABCD-A1B1C1D1中：向量們的基線為共面直線 為共面向量，它Company Logo第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念第二階段:類比探究,獲得新知異面直線的概念和異面直線所成的角： 我們把不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.把異面直線平移到一個平面內(nèi), 這時兩條直線的夾角（銳角或直角）叫做兩條異面直線所成的角.Company Logo第二階段:類比探究,獲得新知第三環(huán)節(jié)

14、:抽象思維,形成概念設(shè)計了：問題1變式：在正方體中ABCD-A1B1C1D1中：求(1)直線AB與直線C1A1所成的角；(2)直線BD與直線直線C1A1所成的角. BCDB1C1AA1D1（設(shè)計意圖：通過問題加深學(xué)生對概念的理解，指出：求兩條異面直線所成的角的步驟；異面直線所成角的取值范圍；什么叫兩條異面直線互相垂直；兩條異面直線成角和向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.）Company Logo第二階段:類比探究,獲得新知第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念（設(shè)計意圖：學(xué)生們在掌握了空間向量夾角概念的基礎(chǔ)上容易把空間向量的數(shù)量積用平面向量數(shù)量積來定義，從而形成空間兩個向量數(shù)量積的概念.）設(shè)計了：問題2：如何解決引

15、例中？已知空間兩個向量，總可以把它們平移到一個平面叫做兩個空間內(nèi)，把平面向量數(shù)量積，即向量 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作Company Logo第二階段:類比探究,獲得新知第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念（設(shè)計意圖：主要是考慮到任課實驗班級學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點，加深對概念的理解. ）Company Logo第二階段:類比探究,獲得新知第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念（設(shè)計意圖：學(xué)生們在掌握了空間向量的數(shù)量積概念的基礎(chǔ)上，會自主探究得到空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及其滿足的運算率與平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其滿足的運算率相同的結(jié)論. ）設(shè)計了：問題3：空間向量數(shù)量積的性質(zhì)？空間向量數(shù)量積滿足的運算率？C

16、ompany Logo第三階段:回味建構(gòu),應(yīng)用拓展本階段的教學(xué)，主要是通過對教材例題的講解并延展，引導(dǎo)學(xué)生思考交流、分析探究、歸納反思，逐步體會向量在立體幾何中的作用.（設(shè)計意圖： 使學(xué)生們通過空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算率掌握向量數(shù)量積的計算方法, 同時為例題2 的解決打好基礎(chǔ).）Company Logo第三階段:回味建構(gòu),應(yīng)用拓展第一環(huán)節(jié):突破難點第二環(huán)節(jié):詳細(xì)板書第三環(huán)節(jié):歸納方法 這是學(xué)生初次體會向量關(guān)系與立體幾何空間位置關(guān)系的關(guān)聯(lián),對拓展學(xué)生思維渠道作用非凡.Company Logo第一環(huán)節(jié):突破難點第二環(huán)節(jié):詳細(xì)板書第三環(huán)節(jié):歸納方法第一環(huán)節(jié):突破難點組織討論 引導(dǎo)回顧第三階段:回

17、味建構(gòu),應(yīng)用拓展 對于該題的證明，問題主要集中在兩個方面:一方面部分學(xué)生不知道該如何處理,不敢動筆；另一方面部分學(xué)生處理方法不科學(xué)，陷入困境.困難出現(xiàn)在如果直接使用空間向量數(shù)量積的概念證明等式成立，向量 的夾角不易求，同時向量模的關(guān)系不易找. Company Logo第一環(huán)節(jié):突破難點組織討論 引導(dǎo)回顧第三階段:回味建構(gòu),應(yīng)用拓展（1）如何把已知的幾何條件轉(zhuǎn)化為 向量表示？（2）引導(dǎo)學(xué)生回顧例1,并考慮一些未知的向量能否用 基向量或其他已知向量表示？（3）如何對已經(jīng)表示出來的向量進行運算，才能獲得 需要的結(jié)論？Company Logo第一環(huán)節(jié):突破難點第二環(huán)節(jié):詳細(xì)板書第三環(huán)節(jié):歸納方法第二環(huán)

18、節(jié):詳細(xì)板書引導(dǎo)學(xué)生注意證明過程的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.第三階段:回味建構(gòu),應(yīng)用拓展Company Logo第一環(huán)節(jié):突破難點第二環(huán)節(jié):詳細(xì)板書第三環(huán)節(jié):歸納步驟第三環(huán)節(jié):歸納方法第三階段:回味建構(gòu),應(yīng)用拓展 在解決三個問題以及板書的基礎(chǔ)上，我引導(dǎo)學(xué)生體會、歸納解決問題的方法.“傳統(tǒng)解法”需作輔助線，有時不易作出；而使用“向量解法”，程序化強，便于操作. （設(shè)計意圖：目的在于說明用向量解決立體幾何中一些典型問題的基本思考方法，同時為后續(xù)借助向量坐標(biāo)運算法則及公式解決立體幾何問題做了一定的鋪墊.）Company Logo第三階段:回味建構(gòu),應(yīng)用拓展（設(shè)計意圖：鞏固方法，鼓勵

19、學(xué)生選擇運用向量方法解決立體幾何問題，形成并提高解題能力；通過學(xué)生板演、學(xué)生講解進行隨堂反饋.）Company Logo（設(shè)計意圖：再次讓學(xué)生感受到單純用立體幾何知識解答較繁，而利用向量法去思考，思路清晰，目標(biāo)明確，從而大大降低了求解的難度，同時亦可激發(fā)他們不斷求知、不斷探索的欲望.） 第三階段:回味建構(gòu),應(yīng)用拓展例4.在空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,AOC=450,OAB=600,求OA與BC夾角的余弦值.Company Logo第四階段:歸納小結(jié),提高認(rèn)識課堂小結(jié)布置作業(yè)板書設(shè)計學(xué)生自主歸納總結(jié)Company Logo第四階段:歸納小結(jié),提高認(rèn)識課堂小結(jié)布置

20、作業(yè)板書設(shè)計課堂小結(jié)(1)在知識層面上:總結(jié)空間向量夾角和數(shù)量積的概念; 利用空間向量性質(zhì)、運算率計算和證明幾何問題的方法與步驟.(2)在方法層面上:引導(dǎo)學(xué)生回顧知識探究過程中用到的思想方法和思維方法,如數(shù)形結(jié)合,等價轉(zhuǎn)化，類比等, 強調(diào)用“向量法”解決立體幾何問題的優(yōu)勢,同時引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程作必要的反思,為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.（設(shè)計意圖：通過學(xué)生自主歸納、總結(jié),對本節(jié)所學(xué)的知識系統(tǒng)化、條理化, 可進一步鞏固知識,明確方法.）Company Logo第四階段:歸納小結(jié),提高認(rèn)識課堂小結(jié)布置作業(yè)板書設(shè)計（設(shè)計意圖：實施分層設(shè)置，安排基本練習(xí)題、鞏固理解題和深化探究題三層使學(xué)生在完成教材基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個學(xué)生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發(fā)學(xué)生飽滿的學(xué)習(xí)興趣.補充題同