指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)-完整課件PPT

1、2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第1課時(shí) 指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)一、指數(shù)函數(shù)的概念1.解析式：_.2.自變量：_.思考：指數(shù)函數(shù)的解析式具有的三個(gè)結(jié)構(gòu)特征是什么？提示：(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù).(2)指數(shù)位置是自變量x，且x的系數(shù)是1.(3)ax的系數(shù)是1.y=ax(a0,且a1)x二、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的圖象請(qǐng)?jiān)谙铝薪o出的平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出a1和0a1時(shí)的指數(shù)函數(shù)的圖象2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)定義域_值域_定點(diǎn)_,即x=_時(shí),y=_單調(diào)性當(dāng)0a1時(shí),在R上是_R(0,+)(0,1)01減函數(shù)增函數(shù)判斷：(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸的上方.(

2、 )(2)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于任意xR總有ax1.( )(3)函數(shù)f(x)=2-x在R上是增函數(shù).( )提示：(1)正確.直接觀察指數(shù)函數(shù)的圖象知指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸的上方.(2)1時(shí)，對(duì)于任意x0有ax1，但是對(duì)任意x0有0ax1.(3)(x)=2-x可化為y=( )x，其底數(shù)是 所以函數(shù)f(x)=2-x在R上是減函數(shù).答案：(1) (2) (3)【知識(shí)點(diǎn)撥】0,且a1的原因(1)如果a=0,當(dāng)x0時(shí)，ax恒等于0；當(dāng)x0時(shí)，ax無(wú)意義.(2)如果a0，且a1.2.指數(shù)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)3.指數(shù)函數(shù)值的變化規(guī)律(1)根據(jù)底數(shù)的不同指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值有以下兩類變化規(guī)律：當(dāng)a1時(shí)，若x0，則y1；若

3、x0，則0y1.當(dāng)0a1時(shí)，若x0，則0y1；若x0，則y1.(2)指數(shù)函數(shù)中函數(shù)值的“有界性”：當(dāng)a0,且a1時(shí)，對(duì)于任意xR總有ax0.4.指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的巧記(1)指數(shù)函數(shù)圖象的記憶方法：一定二近三單調(diào)，兩類單調(diào)正相反.(2)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的巧記方法：非奇非偶是單調(diào)，性質(zhì)不同因?yàn)閍，分清是0a1，還是a1，依靠圖象記性質(zhì).類型 一 指數(shù)函數(shù)的概念 【典型例題】(填序號(hào)).(1)y=4x；(2)y=x4；(3)y=4x；(4)y=(4)x；(5)y=4x+1；(6)y=xx；(7)y= (8)y=(2a1)x(a 且a1).=(a2-5a+5)ax是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=_.【解題探究】1

4、.判斷一個(gè)函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)的依據(jù)是什么？2.題2中根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可知，實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足哪些條件？探究提示：1.判斷一個(gè)函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)的依據(jù)是指數(shù)函數(shù)的解析式具有的三個(gè)特征：(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)，不含有自變量x.(2)指數(shù)位置是自變量x，且x的系數(shù)是1.(3)ax的系數(shù)是1.+5=1,a0且a1.【解析】1.(1)(8)為指數(shù)函數(shù).(2)不是指數(shù)函數(shù),因?yàn)樽宰兞坎辉谥笖?shù)上.(3)不是指數(shù)函數(shù),因?yàn)?x的系數(shù)是-1.(4)不是指數(shù)函數(shù),因?yàn)榈讛?shù)41時(shí)，函數(shù)y=ax和y=(a-1)x2的圖象只可能是( )=ax的圖象，已知a的值取四個(gè)值，則相應(yīng)的曲線c1,c2,c3,c4的a的

5、值依次為( )A.B.C.D.3.(2013雙鴨山高一檢測(cè))當(dāng)a0且a1時(shí)，函數(shù)f(x)=ax23必過(guò)定點(diǎn)_.【解題探究】1.題1中指數(shù)函數(shù)的圖象自左向右是上升的還是下降的？二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向是向上還是向下？2.底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)是如何分布的？3.指數(shù)函數(shù)的圖象恒過(guò)哪個(gè)點(diǎn)？為什么？探究提示：1,所以指數(shù)函數(shù)的圖象自左向右是上升的；二次函數(shù)y=(a-1)x2圖象的開(kāi)口方向向上.2.(1)當(dāng)a1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象從左到右是上升的，當(dāng)0a1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(2)在第一象限內(nèi)，沿直線x=1從下到上看，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)由小變大.3.指數(shù)函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)

6、.因?yàn)槿魏畏秦?fù)數(shù)的零次冪等于1，即a0=1.【解析】1知函數(shù)y=ax的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，分布在第一和第二象限，且從左到右是上升的.由a1知函數(shù)y=(a1)x2的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為y軸，頂正確. 因?yàn)橹本€x=1與函數(shù)y=ax的圖象相交于點(diǎn)(1,a).又因?yàn)?所以曲線c1,c2,c3,c4的a的值依次為0且a1時(shí)，總有f(2)=a223=a03=13=2，所以函數(shù)f(x)=ax23必過(guò)定點(diǎn)(2，-2).答案：(2，-2)【互動(dòng)探究】若題1中的“a1”改為“a0,且a1”，“y=(a1)x2”改為“ y=x+a”，則圖象可能是( )【解析】1時(shí)，函數(shù)y=ax的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，分布在第一、二

7、象限，且從左到右是上升的. 直線y=x+a過(guò)第一、二、三象限，與y軸的交點(diǎn)為(0,a),在點(diǎn)(0,1)的上方. A，B，C，D四項(xiàng)均不符合此要求.當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)y=ax的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，分布在第一、二象限，且從左到右是下降的. 直線y=x+a過(guò)第一、二、三象限, 與y軸的交點(diǎn)為(0,a)，在點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(0,0)項(xiàng)符合此要求.【拓展提升】1.處理指數(shù)函數(shù)圖象問(wèn)題的兩個(gè)要點(diǎn)(1)牢記指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，分布在第一和第二象限.(2)明確影響指數(shù)函數(shù)圖象特征的關(guān)鍵是底數(shù).2.底數(shù)變化對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象形狀的影響指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象如圖所示，由指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象與直線

8、x=1相交于點(diǎn)(1，a)可知：(1)在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變??；(2)在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小.如圖中的底數(shù)的大小關(guān)系為0a4a31a2a1.類型 三 指數(shù)函數(shù)的定義域和值域問(wèn)題 【典型例題】1.(2013廈門高一檢測(cè))已知f(x)=3xb(2x4，b為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)，則f(x)的值域?yàn)? )A.9,81 B.3,9C.1,9 D.1，)2.求函數(shù) 的定義域和值域.【解題探究】1.已知函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)某點(diǎn)，則此點(diǎn)與函數(shù)解析式的關(guān)系是什么？若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是增函數(shù)，則當(dāng)xa,b時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是什么？2.函數(shù) 與函數(shù) 定義域相同嗎？探

9、究提示：1.因?yàn)楹瘮?shù)圖象與解析式一一對(duì)應(yīng)，所以經(jīng)過(guò)函數(shù)圖象的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是增函數(shù)，則當(dāng)xa,b時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是f(a),f(b).2.函數(shù) 與函數(shù) 定義域相同.【解析】(x)=3xb的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)，所以32b=1，所以2b=0，b=2,所以f(x)=3x2.由2x4得0 x-22，因?yàn)楹瘮?shù)y=3x在區(qū)間0,2上是增函數(shù).所以303x232,即13x29，所以函數(shù)f(x)的值域是1,9.10得x1,所以函數(shù) 的定義域是x|x1.令 則tt|t0.根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2t的圖象可知y=2ty|y0且y1，所以函數(shù) 的值域是y|y0且y1.【拓展提升】1

10、.函數(shù)單調(diào)性在求函數(shù)值域中的應(yīng)用(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是增函數(shù)，則f(a)f(x)f(b)，值域?yàn)閒(a),f(b).(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是減函數(shù)，則f(a)f(x)f(b)，值域?yàn)閒(b),f(a).=af(x)定義域、值域的求法(1)定義域函數(shù)y=af(x)的定義域與y=f(x)的定義域相同.(2)值域換元，令t=f(x)；求t=f(x)的定義域xD；求t=f(x)的值域tM；利用y=at的單調(diào)性求y=at，tM的值域.【變式訓(xùn)練】求函數(shù)f(x)=( )x+1(x1,1)的值域.【解題指南】利用指數(shù)函數(shù)y=( )x的單調(diào)性,先求( )x的范圍，再求( )x+1的范

11、圍.【解析】因?yàn)閤1,1，且y=( )x在區(qū)間1,1上是減函數(shù)，所以( )1( )x 即2( )x所以 所以所求函數(shù)的值域?yàn)?3.【易錯(cuò)誤區(qū)】指數(shù)函數(shù)中忽視分類討論致誤【典例】(2013淮安高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=ax(a0,且a1)在0,1上的最大值與最小值的差為 則a=_.【解析】(1)當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)=ax在0,1上是增函數(shù).所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)取最大值；當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f(x)取最小值.由題意得f(1)f(0)= 即aa0= 解得a=(2)當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)f(x)=ax在0,1上是減函數(shù).所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)取最小值；當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f(x)取最大值.由題意得f(

12、0)f(1)= 即a0a= 解得a=綜上知a= 或答案： 或【類題試解】已知a0，且a1，若函數(shù)f(x)=2ax-4在區(qū)間-1，2上的最大值為10，則a=_.【解析】(1)若a1，則函數(shù)y=ax在區(qū)間-1，2上是遞增的，當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得最大值f(2)=2a2-4=10，即a2=7,又a1，a=(2)若0a1，則函數(shù)y=ax在區(qū)間-1，2上是遞減的，當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)取得最大值f(-1)=2a-1-4=10,a=綜上所述，a的值為 或答案： 或【誤區(qū)警示】【防范措施】1.加強(qiáng)分類討論的意識(shí)在解含字母的指數(shù)函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，(x)=ax在a1和0a1兩種情況下，最大值和最小值的取值情況是不同的.2.重視指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用對(duì)一些常用的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)要記準(zhǔn)、記牢，的大小，確定指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，就可以得到最大值、最小值，進(jìn)而列方程求解.=ax與y=bx的圖象如圖所示，則( )A.a0,b0 B.a0,b0C.0a1,b1 D.0a1,0b1【解析】選C.指數(shù)函數(shù)在底數(shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增，底數(shù)大于0小于1時(shí)單調(diào)遞減，因而選C.0,且a1時(shí)，函數(shù)f(x)=2-ax-1必過(guò)定點(diǎn)_.【解析】令x-1=0得x=1,f(1)=2-a0=1,故必過(guò)定點(diǎn)(1，1).答案：(1，1)=1,0，1，B=y|y=3x,xA