數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)化簡ppt課件

1、數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第二章邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)化簡ppt課件 與邏輯2.1 基本邏輯運(yùn)算和復(fù)合邏輯運(yùn)算或邏輯非邏輯數(shù)碼0, 1相反的邏輯狀態(tài)1. 與邏輯：當(dāng)決定一事件的所有條件都具備時(shí)，這個(gè)事件才發(fā)生,這樣的邏輯關(guān)系稱為與邏輯。功能表2.1.1 基本邏輯運(yùn)算滅滅滅亮斷斷斷合合斷合合與邏輯關(guān)系開關(guān)A開關(guān)B燈Y電源ABY真值表與邏輯的表示方法：000100011011功能表滅滅滅亮斷斷斷合合斷合合ABYABY開關(guān)斷用0表示, 開關(guān)閉合用1表示燈亮用1表示, 滅用0表示（Truth table）真值表邏輯函數(shù)式邏輯符號ABY&000100011011ABY 見0為0 全1為1 與門（AND gate)2.

2、 或邏輯： 決定某一事件的條件只要有一個(gè)或一個(gè)以上具備時(shí)，這個(gè)事件就會(huì)發(fā)生,這樣的邏輯關(guān)系稱為或邏輯?；蜻壿嬯P(guān)系開關(guān)A開關(guān)B燈Y電源真值表011100011011ABY開關(guān)斷用0表示, 開關(guān)閉合用1表示燈亮用1表示, 滅用0表示真值表邏輯函數(shù)式邏輯符號011100011011ABYABY1 見1為1 全0為0或門（OR gate)例：根據(jù)輸入波形畫出輸出波形ABY1見“0”為“0”，全“1”為“1”見 “1”為“1”，全“0”為“0”&ABY1 1ABY2Y23. 非邏輯： 只要條件具備，事件便不會(huì)發(fā)生；條件不具備，事件一定發(fā)生的邏輯關(guān)系。真值表邏輯函數(shù)式邏輯符號非邏輯關(guān)系1001AY1開關(guān)A

3、燈Y電源RAY非門（NOT gate)(1) 與非邏輯 AB&2. 1. 2 復(fù)合邏輯運(yùn)算真值表 0 0 0 100 0 11011ABY Y1 1 1 1 0 見0為1 全1為0邏輯函數(shù)式邏輯符號(2) 或非邏輯 2. 1. 2 復(fù)合邏輯運(yùn)算真值表 0 1 1 10 0 0 11 01 1ABY Y2 1 0 0 0 見1為0 全0為1邏輯函數(shù)式邏輯符號AB1(3) 與或(非)邏輯 (真值表略)AB&CD1與或非邏輯與或邏輯(4) 異或邏輯(5) 同或邏輯(異或非)AB=101100 00 11 01 1 AB=1= ABABY410010 00 11 01 1ABY5曾用符號美國符號ABY

4、ABYABYAAY國標(biāo)符號AB&A1ABYAB12. 1. 3 邏輯符號對照國標(biāo)符號曾用符號美國符號AB&ABYABYABYAB=1ABABYABYAB1或：0 + 0 = 01 + 0 = 11 + 1 = 1 與：0 0 = 00 1 = 01 1 = 1 非：二、變量和常量的關(guān)系(變量：A、B、C)或：A + 0 = AA + 1 = 1與:A 0 = 0A 1 = A 非：2. 2. 1 邏輯代數(shù)的基本定律一、 常量之間的關(guān)系(常量：0 和 1 ) 2.2 邏輯代數(shù)的基本定律及規(guī)則三、與普通代數(shù)相似的定理交換律結(jié)合律分配律 證明公式方法一：公式法 證明公式方法二：真值表法 (將變量的各

5、種取值代入等式兩邊，進(jìn)行計(jì)算并填入表中) A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100 0 1 0 0 0 1 000111110001111100 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 1 相等四、邏輯代數(shù)的一些特殊定理同一律A + A = AA A = A還原律證明：德 摩根定理 A B 0 0 0 1 1 0 1 100 0 1 111011 0 0 10101110011110001000相等相等德 摩根定理五、若干常用公式推廣推論分配律 (5)即= AB同理可證AB六、關(guān)于異或運(yùn)算的一些公式異或同或AB(1) 交換律(2)

6、 結(jié)合律(3) 分配律= ABAB(4) 常量和變量的異或運(yùn)算(5) 因果互換律如果則有證明課 前 回 顧劉雪婷郵箱：liuxuet163. com2.2.2 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則1. 代入規(guī)則：等式中某一變量都代之以一個(gè)邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。例如：已知2.反演規(guī)則：求邏輯函數(shù)的反函數(shù)則 將 Y 式中“.”換成“+”,“+”換成“.” “0”換成“1”,“1”換成“0” 原變量換成反變量，反變量換成原變量已知?jiǎng)t運(yùn)算順序：括號 與 或不屬于單個(gè)變量上的反號應(yīng)保留不變3. 對偶規(guī)則：如果兩個(gè)表達(dá)式相等，則它們的對偶式也一定相等。將 Y 中“. ”換成“+”,“+”換成“.”“0” 換成“1”,“

7、1”換成“0” 例如對偶規(guī)則的應(yīng)用：證明等式成立0 0 = 01 + 1 = 1運(yùn)算順序：括號 與 或 2.3.1 邏輯表達(dá)式 2.3 邏輯函數(shù)的表示方法及其轉(zhuǎn)換2.3.2 真值表2.3.3 卡諾圖2.3.4 邏輯圖2.3.6 邏輯函數(shù)表示方法間的相互轉(zhuǎn)換2.3.5 波形圖邏輯函數(shù)的基本概念邏輯函數(shù)：如果輸入邏輯變量 A、B、C 的取值確定之后，輸出邏輯變量 Y 的值也被唯一確定，則稱 Y 是 A、B、C 的邏輯函數(shù)。并記作 邏輯函數(shù)具有以下特點(diǎn)：1. 輸入變量與輸出變量之間的邏輯關(guān)系；2. 函數(shù)由三種基本邏輯運(yùn)算組成；3. 輸入和輸出邏輯變量的取值只能是0或1。邏輯函數(shù)的相等 若兩邏輯函數(shù)具

8、有相同的真值表，則這兩個(gè)邏輯函數(shù)相等。 從邏輯問題建立邏輯函數(shù)的過程 在現(xiàn)實(shí)生活中，為了解決實(shí)際邏輯問題，應(yīng)根據(jù)提出的問題，確定哪些是邏輯自變量，哪些是邏輯因變量，然后研究他們之間的因果關(guān)系，列出真值表，再根據(jù)真值表寫出邏輯表達(dá)式。通過一個(gè)簡單的例子加以介紹。 右圖是一個(gè)控制樓梯照明燈的電路。為了省電，人在樓下開燈，上樓后可關(guān)燈；反之亦然。A、B是兩個(gè)單刀雙擲開關(guān)，A裝在上，B裝在樓下。只有當(dāng)兩個(gè)開關(guān)同時(shí)向上或向下時(shí)，燈才被點(diǎn)亮。試用一個(gè)邏輯函數(shù)來描述開關(guān)A、B與照明燈之間的關(guān)系。 解：(1) 設(shè)開關(guān)A、B為輸入變量:開關(guān)接 上面為 “1”，開關(guān)接下面為“0”設(shè)電燈L為輸出變量，燈亮L=1，燈

9、滅L=0。(3) 根據(jù)真值表，寫出邏輯表達(dá)式：(2) 列出A、B所有狀態(tài)及對應(yīng)輸出L的狀態(tài)，即真值表。 把對應(yīng)函數(shù)值為“1”的變量組合挑出（即第1、4）組合，寫成一個(gè)乘積項(xiàng)；凡取值為“1”的寫成原變量 A，取值為“0”的寫成反變量 A ；最后，將上述乘積項(xiàng)相或，即為所求函數(shù)：ABL00 0 1 1 0 1 11001優(yōu)點(diǎn)：書寫簡潔方便，易用公式和定理進(jìn)行運(yùn)算、變換。缺點(diǎn)：邏輯函數(shù)較復(fù)雜時(shí)，難以直接從變量取值看出函數(shù)的值。2. 3. 1 邏輯表達(dá)式 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過三種最基本的邏輯運(yùn)算：邏輯與；邏輯或；邏輯非，用他們，可以解決所有的邏輯運(yùn)算問題，因此可以稱之為一個(gè)“完備邏輯集”?；蚺c式與或非式1.

10、 邏輯表達(dá)式的類型與或式 與非-與非式或與非式或非-或非式或非-或式核心標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式2. 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式1 ） 最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)與或式標(biāo)準(zhǔn)與或式就是最小項(xiàng)之和的形式最小項(xiàng)（1） 最小項(xiàng)的概念： 包括所有變量的乘積項(xiàng)，每個(gè)變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。( 2 變量共有 4 個(gè)最小項(xiàng))( 4 變量共有 16 個(gè)最小項(xiàng))( n 變量共有 2n 個(gè)最小項(xiàng))( 3 變量共有 8 個(gè)最小項(xiàng))對應(yīng)規(guī)律：1 原變量 0 反變量（2） 最小項(xiàng)的性質(zhì)：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1

11、00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B Ca 任一最小項(xiàng)，只有一組對應(yīng)變量取值使其值為 1 ；A B C 0 0 1A B C 1 0 1b 任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為 0 ；c 全體最小項(xiàng)之和為 1 ；d 任何兩個(gè)相鄰項(xiàng)均可合并成一項(xiàng)并消去一個(gè)互補(bǔ)因子。（3） 最小項(xiàng)的編號： 把與最小項(xiàng)對應(yīng)的變量取值當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與之相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的編號，用 mi 表示。對應(yīng)規(guī)律：原變量 1 反變量 00 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m72） 最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式 任何邏輯函數(shù)都是由其變

12、量的若干個(gè)最小項(xiàng)構(gòu)成，都可以表示成為最小項(xiàng)之和的形式。例 寫出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：解或m6m7m1m3例 寫出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：m7m6m5m4m1m0m8m0與前面m0相重ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111優(yōu)點(diǎn)：直觀明了，便于將實(shí)際邏輯問題抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)式。缺點(diǎn)：難以用公式和定理進(jìn)行運(yùn)算和變換；變量較多時(shí)，列函數(shù)真值表較繁瑣。2. 3. 2 邏輯真值表2. 3. 3 卡諾圖優(yōu)點(diǎn)：便于求出邏輯函數(shù)的最簡與或表達(dá)式。缺點(diǎn)：只適于表示和化簡變量個(gè)數(shù)比較少的邏輯函數(shù)，也不便于進(jìn)行運(yùn)算和變換。ABC01000111101111

13、00001. 變量卡諾圖的畫法卡諾圖：最小項(xiàng)方格圖(按循環(huán)碼排列)（1）變量卡諾圖一般都化成正方形或矩形（2）按循環(huán)碼 (格雷碼)排列變量取值順序?？ㄖZ圖：(按循環(huán)碼排列)G2 G1 G0B2 B1 B0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 02. 變量 的卡諾圖(四個(gè)最小項(xiàng))ABAB0101AB0101三變量 的卡諾圖：八個(gè)最小項(xiàng)ABC01000110111110卡諾圖的實(shí)質(zhì)：邏輯相鄰幾何相鄰邏輯不相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰緊挨著行或列的兩頭對折起

14、來位置重合邏輯相鄰：兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同 邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。如：m0m1m2m3m4m5m6m7五變量 的卡諾圖：四變量 的卡諾圖：十六個(gè)最小項(xiàng)ABCD0001111000011110 當(dāng)變量個(gè)數(shù)超過六個(gè)以上時(shí)，無法使用圖形法進(jìn)行化簡。ABCDE00011110000001011010110111101100以此軸為對稱軸（對折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28

15、m29m22m23m20m21幾何相鄰幾何相鄰幾何相鄰三十二個(gè)最小項(xiàng)3. 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1）. 根據(jù)變量個(gè)數(shù)畫出相應(yīng)的卡諾圖；2）. 將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式； 3）. 在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對應(yīng)的位置上填入 1 ， 其余位置填 0 或不填。例ABC010001111011110000ABYC&優(yōu)點(diǎn)：最接近實(shí)際電路。缺點(diǎn)：不能進(jìn)行運(yùn)算和變換，所表示的邏輯關(guān)系不直觀。&12. 3. 4 邏輯圖波形圖輸入變量和對應(yīng)的輸出變量隨時(shí)間變化的波形ABY優(yōu)點(diǎn)：形象直觀地表示了變量取值與函數(shù)值在時(shí)間上的對應(yīng)關(guān)系。缺點(diǎn)：難以用公式和定理進(jìn)行運(yùn)算和變換，當(dāng)變量個(gè)數(shù)增多時(shí)，畫圖較麻煩。2. 3. 5 波

16、形圖2. 3. 6 邏輯函數(shù)各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換1.真值表函數(shù)式邏輯圖 例 設(shè)計(jì)一個(gè)舉重裁判電路。在一名主裁判(A) 和兩名副裁判 (B、C) 中，必須有兩人以上(必有主裁判)認(rèn)定運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)作合格，試舉才算成功。(1) 真值表函數(shù)式 將真值表中使邏輯函數(shù) Y = 1 的輸入變量取值組合所對應(yīng)的最小項(xiàng)相加，即得 Y 的邏輯函數(shù)式。ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111函數(shù)式卡諾圖化簡ABC010001111011010000(2) 函數(shù)式邏輯圖ABY&C&1真值表函數(shù)式2.邏輯圖0110ABY00011011BA&2.4 邏輯

17、函數(shù)的化簡方法2.4.1 關(guān)于邏輯函數(shù)化簡的幾個(gè)問題1. 化簡的標(biāo)準(zhǔn)（1）與項(xiàng)個(gè)數(shù)最少 （2）每個(gè)與項(xiàng)中變量個(gè)數(shù)最少卡諾圖法代數(shù)法2. 化簡的方法2. 4. 2 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法1. 并項(xiàng)法:例例（與或式最簡與或式）公式定理2. 吸收法： 例例 例3. 消去法：例 例4.配項(xiàng)消項(xiàng)法：或或例 例冗余項(xiàng)冗余項(xiàng)綜合練習(xí)：課 前 回 顧劉雪婷郵箱：liuxuet163. com2.4.3 利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)幾何相鄰：相接 緊挨著相對 行或列的兩頭相重 對折起來位置重合邏輯相鄰：例如兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同化簡方法：卡諾圖的缺點(diǎn)：函數(shù)的變量個(gè)數(shù)不宜超過 6 個(gè)。邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并成一

18、項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。1. 卡諾圖中最小項(xiàng)合并規(guī)律：(1) 兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去一個(gè)因子ABC01000111100432ABCD00011110000111101946(2) 四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去兩個(gè)因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315BD02810(3) 八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去三個(gè)因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315B02810151394612142n 個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去 n 個(gè)因子總結(jié)：2、 用卡諾圖化簡

19、邏輯函數(shù)化簡步驟:(1) 畫函數(shù)的卡諾圖(2) 合并最小項(xiàng)： 畫包圍圈(3) 寫出最簡與或表達(dá)式 例ABCD000111100001111011111111解ABCD000111100001111011111111畫包圍圈的原則： (1) 先圈孤立項(xiàng)，再圈僅有一種合并方式的最小項(xiàng)。 (2) 圈越大越好，但圈的個(gè)數(shù)越少越好。 (3) 最小項(xiàng)可重復(fù)被圈，但每個(gè)圈中至少有一個(gè)新的最小項(xiàng)。 (4) 必需把組成函數(shù)的全部最小項(xiàng)圈完，并做認(rèn)真比較、檢查才能寫出最簡與或式。不正確的畫圈例解(1) 畫函數(shù)的卡諾圖ABCD000111100001111011111111(2) 合并最小項(xiàng)： 畫包圍圈(3) 寫出

20、最簡與或表達(dá)式多余的圈注意：先圈孤立項(xiàng)利用圖形法化簡函數(shù)利用圖形法化簡函數(shù)例解(1) 畫函數(shù)的卡諾圖ABCD00011110000111101111111111(2) 合并最小項(xiàng)： 畫包圍圈(3) 寫出最簡與或 表達(dá)式例用圖形法求反函數(shù)的最簡與或表達(dá)式解(1) 畫函數(shù)的卡諾圖ABC010001111011110000(2) 合并函數(shù)值為 0 的最小項(xiàng)(3) 寫出 Y 的反函數(shù)的 最簡與或表達(dá)式2. 4. 4 具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡1. 無關(guān)項(xiàng)（約束）的概念和約束條件(1) 約束：輸入變量取值所受的限制例如，邏輯變量 A、B、C，分別表示電梯的 升、降、停 命令。A = 1 表示升，B =

21、1 表示降，C = 1 表示停。ABC 的可能取值(2) 約束項(xiàng)：不會(huì)出現(xiàn)的變量取值所對應(yīng)的最小項(xiàng)。不可能取值001010100000011101110111(3) 約束條件：(2) 在邏輯表達(dá)式中，用等于 0 的條件等式表示。000011101110111由約束項(xiàng)相加所構(gòu)成的值為 0 的邏輯表達(dá)式。約束項(xiàng)：約束條件：或2. 約束條件的表示方法(1) 在真值表和卡諾圖上用叉號()表示。例如，上例中 ABC 的不可能取值為3. 具有約束的邏輯函數(shù)的化簡例 化簡邏輯函數(shù)化簡步驟:(1) 畫函數(shù)的卡諾圖，順序 為：ABCD0001111000011110先填 1 0111000000(2) 合并最小項(xiàng)，畫圈時(shí) 既可以當(dāng) 1 ，又可以當(dāng) 0(3) 寫出最簡與或表達(dá)式解例 化簡邏輯函數(shù)約束條件解(1) 畫函數(shù)的卡諾圖ABCD00011110000111101111(2) 合并最小項(xiàng)(3) 寫出最簡與或表達(dá)式合并時(shí)，究竟把 作為 1 還是作為 0 應(yīng)以得到的包圍圈最大且個(gè)數(shù)