線材切割問題最優(yōu)方案及對(duì)策探討

1、-PAGE . z. - w -數(shù)學(xué)建模論文 題目：線材切割問題最優(yōu)化方案探討 院系:數(shù)理學(xué)院 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)：數(shù)學(xué)091 ：奎 *：30908011322011/5/20摘要 本文討論多線材切割問題，通過整數(shù)規(guī)劃建立數(shù)學(xué)模型來解決線材切割的需要，使得線材利用率提高，減少浪費(fèi)。 首先，我們分析了*根線材的切割方案和實(shí)行切割方案，遵循全部用完，沒有剩余”的原則，從而確定了多線材切割一般模型來得到線材切割的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。其次，我們采取了三種模型：*根線材的切割方案模型。確定一根線材的幾種最優(yōu)切割方案，做到單根線材的最佳優(yōu)化。實(shí)行切割方案的模型。要求花費(fèi)原材料最少，即要求做到方案組合的最佳

2、優(yōu)化。多線材切割方案的一般模型。通過對(duì)*根線材切割方案和實(shí)行切割方案的分析，建立線材切割的一般模型，得到最優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。最后，我們對(duì)所設(shè)計(jì)的模型進(jìn)行了討論。關(guān)鍵詞語：多線材切割 整數(shù)規(guī)劃 數(shù)學(xué)模型 最優(yōu)化方案目錄一、問題重述3二、問題假設(shè)4三、符號(hào)說明4四、建立模型44.1*根線材的切割方案模型44.2實(shí)行切割方案的模型64.3 實(shí)行切割方案模型的求解64.4 結(jié)果分析74.5 多線材切割一般模型的建立7五、模型的分析與討論8六、線材切割問題的幾點(diǎn)建議9七、參考文獻(xiàn)10八、附錄11一、問題重述在很多工程領(lǐng)域，都有線材切割問題。這一問題可表述為:設(shè)能購(gòu)買到的不同長(zhǎng)度的原線材有m種，長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1

3、,.,Lm，這些原線材只是長(zhǎng)度不同，其它都相同。*工程中所要切割出的線材長(zhǎng)度分別為li,i=1,2,.,n(這里 li 所有Li)，對(duì)應(yīng)數(shù)量分別為Ni,i=1,2,.,n。設(shè)計(jì)優(yōu)化計(jì)算方案，求出分別需要購(gòu)買多少根不同長(zhǎng)度的原線材,并能給出切割方案及線材利用率。 現(xiàn)假設(shè)*裝修工程中需要對(duì)鋁合金線材進(jìn)行切割，工程能購(gòu)買到的同一規(guī)格的鋁合金線材有二種長(zhǎng)度，一種長(zhǎng)度是8米，另一種是12米?，F(xiàn)在假設(shè)要切割長(zhǎng)度和數(shù)量如下所示的鋁合金線材： 編號(hào)長(zhǎng)度(單位:米) 數(shù)量(單位:根) 1 6.20 90 2 3.60 120 3 2.80 136 4 1.85 310 5 0.75 2156 0.55 320應(yīng)

4、用所設(shè)計(jì)的計(jì)算方案，請(qǐng)問至少需要購(gòu)買多少根8米和12米的線材，使浪費(fèi)的線材比較少，并給出切割方案和計(jì)算線材利用率。二、問題假設(shè)兩種線材單位長(zhǎng)度的價(jià)格是固定的。貨源充足。在切割過程中不會(huì)出現(xiàn)人為造成的材料損失。三、符號(hào)說明Li:第i種原材料的長(zhǎng)度。lj:所需的第j種成品線材的長(zhǎng)度。Nj:所需的第j種成品線材的數(shù)量。*ij:第i種線材被實(shí)行第j種切割方案的次數(shù)或該方案本身。aj:*根線材切割出編號(hào)為j的線材成品數(shù)量，aj為整數(shù)。四、建立模型4.1*根線材的切割方案。確定一根線材的幾種最優(yōu)切割方案。第一，要保證有一種切割方案能夠切割出所需的第j種線材成品。第二，要遵循每根線材余料最少的原則，要求做到

5、單根線材的最佳優(yōu)化。模型M1*根8m線材的切割方案模型：min=8-6.20a1-3.60a2-2.80a3-1.85a4-0.75a5-0.55a6;s.t.*根12m線材的切割方案模型:min=126.20a1-3.60a2-2.80a3-1.85a4-0.75a5-0.55a6;s.t.在Lingo中執(zhí)行以上程序，分別得出12種切割方案，見表4.11和表4.12（表中空白處表示0）表4.11 *根8m線材的切割方案方案a1a2a3a4a5a6余料/m*11130.15*12210.05*132110*14410.05*15750*16750表4.12 *根12m線材的切割方案方案a1a2

6、a3a4a5a6余料/m*21 1140*2211150*23130*2411150*251140*2612310從表4.11中可以看出，方案*15和*16相同，因此可將切割方案歸為五種。從表4.12中可以看出，方案*21和方案*25相同，方案*22和*24相同，因此可將切割方案歸為四種。將兩種情況總結(jié)起來，可得到如表4.13所示的切割方案。表4.13 *根線材的切割方案方案a1a2a3a4a5a6余料/m *根8m線材的切割方案*11130.15*12210.05*132110*14410.05*15750*根12m線材的切割方案*211140*2211150*23130*24123104.

7、2實(shí)行切割方案的模型。 實(shí)行切割方案，第一，要求完成切割任務(wù)。第二，要求花費(fèi)原線材最少，即要求做到方案組合的最佳優(yōu)化。 實(shí)行切割方案模型 M2minZ=8+12s.t.4.3 實(shí)行切割方案模型的求解 在Lingo中求解，得到結(jié)果如表4.14所示。表 4.14 各種方案的執(zhí)行情況*11*12*13*14*15*16*17*18*1961564367529053min=2300m因此，我們得到結(jié)論：需要購(gòu)買8m線材的數(shù)量為=232根，其中有61根采用方案*11；56根采用方案*12；43根采用方案*13；67根采用方案*14；5根采用方案*15。需購(gòu)買12m線材的數(shù)量=37根，其中有29根采用方案

8、*21；5根采用方案*23；3根采用方案*24。采用上述方案的實(shí)際利用線材的總長(zhǎng)為2281.55m,線材的利用率為2281.55/2300=99.20%。結(jié)果分析經(jīng)分析可知，執(zhí)行上述切割方案后，實(shí)際得到所需各種線材的數(shù)量見表4.15。表4.15 實(shí)際得到各種成品線材的數(shù)量長(zhǎng)度/m6.203.602.801.850.750.55數(shù)量/根90120136311216321從表4.15中可知，長(zhǎng)度分別為1.85、0.75、0.55的線材均比實(shí)際要求多出1根，由此造成的浪費(fèi)為3.1m，而總的浪費(fèi)為23002281.55=18.45m?？梢娪嗔鲜窃斐删€材浪費(fèi)的主要原因，而這種浪費(fèi)是不能完全消除的。該問題

9、中，線材的實(shí)際利用率達(dá)到99.20%，相對(duì)是一個(gè)很高的利用率。因此這種方案對(duì)解決此類問題是可行的。我們可以將其擴(kuò)展到一般情況，建立一般模型。多線材切割一般模型的建立。*根線材切割方案的一般模型：模型 M3min=Li（i=1,2,，m）實(shí)行切割方案的一般模型：模型 M4min= s.t.五、模型的討論一、本次建模模型使用lingo進(jìn)行操作。lingo可以用于求解非線性規(guī)劃，也可以用于一些線性和非線性方程組的求解等，功能十分強(qiáng)大，是求解優(yōu)化模型的最佳選擇。其特色在于置建模語言，提供十幾個(gè)部函數(shù).二、主要任務(wù)是建模的過程，然后由lingo軟件進(jìn)行規(guī)劃。因?yàn)橐蟮米钌俚脑牧细鶖?shù)，考慮到全部用完，沒

10、有剩余”的原則，首先將切割后沒有剩余的情況全部列出，利用lingo軟件求出最優(yōu)結(jié)果。三、本次建模設(shè)計(jì)采用整數(shù)規(guī)劃，整數(shù)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。本模型經(jīng)過兩次優(yōu)化，但第二次優(yōu)化是在第一次優(yōu)化的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是對(duì)單根線材部分切割方案組合的優(yōu)化，而不是對(duì)所有方案的最佳優(yōu)化。采用這種辦法，減少了可能的方案，在一定程度上減少了計(jì)算量，同時(shí)使得具體切割方案易于實(shí)行。六、線材切割問題的幾點(diǎn)建議(1)實(shí)施少量多次加工。少量、多次切割可使加工工件具有單次切割不可比擬的表面質(zhì)量，是控制和改善加工工件表面質(zhì)量的簡(jiǎn)便易行的方法和措施。（2合理安排切割路線。該措施的指導(dǎo)思想是盡量避免破壞工件材料原有的部應(yīng)力平衡，防止工件材料

11、在切割過程中因在夾具等作用下，由于切割路線安排不合理而產(chǎn)生顯著變形，致使切割表面質(zhì)量下降。(3)正確選擇切割參數(shù)。對(duì)于不同的粗、精加工，其絲速、絲的力和噴流壓力應(yīng)以參數(shù)表為基礎(chǔ)作適當(dāng)調(diào)整，為了保證加工工件具有更高的精度和表面質(zhì)量，可以適當(dāng)調(diào)高線切割機(jī)的絲速和絲力，雖然制造線切割機(jī)床的廠家提供了適應(yīng)不同切割條件的相關(guān)參數(shù)，但由于工件的材料、所需要的加工精度以及其他因素的影響，使得人們不能完全照搬書本上介紹的切割條件，而應(yīng)以這些條件為基礎(chǔ)，根據(jù)實(shí)際需要作相應(yīng)的調(diào)整。(4)注意加工工件的固定。當(dāng)加工工件行將切割完畢時(shí)，其與母體材料的連接強(qiáng)度勢(shì)必下降，此時(shí)要防止因加工液的沖擊使得加工工件發(fā)生偏斜，因?yàn)?/p>

12、一旦發(fā)生偏斜，就會(huì)改變切割間隙，輕者影響工件表面質(zhì)量，重者使工件切壞報(bào)廢，所以要想辦法固定好被加工工件。七、參考文獻(xiàn)1 數(shù)學(xué)建模及典型案例分析 志林 歐宜貴 編著 化學(xué)工業(yè)2 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 靜 但琦 主編 高等教育3 數(shù)學(xué)建模（第三版）啟源，金星，葉俊編著高等教育出版4基于MCGS組態(tài)軟件線材切割控制系統(tǒng)旭; 鵬; 霞;ASPT來源刊CJFD收錄刊5 運(yùn)籌學(xué)與最優(yōu)化方法 吳祈宗 ：機(jī)械工業(yè)，2005 八、附錄設(shè)計(jì)方案*11和*21的程序。 model：min=86.20*a13.60*a22.80*a31.85*a40.75*a50.55*a6；6.20*a1+3.60*a2+2.80*

13、a3+1.85*a4+0.75*a5+0.55*a6=1；endmodel：min=126.20*a13.60*a22.80*a31.85*a40.75*a50.55*a6；6.20*a1+3.60*a2+2.80*a3+1.85*a4+0.75*a5+0.55*a6=1；end2）求解最優(yōu)實(shí)行方案的程序。Model：min=8*(*11+*12+*13+*14+*15)+12*(*21+*22+*23+*24)；*11+*21=90；2*12+*22+*23+*24=120；2*13+*22+3*23+*21+2*24=136；*13+4*14+*22=310；*12+7*15+4*21+5*22+3*24=215；3*11+*13+*14+5*15+*24=320；gin(*11)；gin（*12）；gin（*13）；gin（*14）；gin（*15）；gin（*21）；gin(*22)；gin（*23）；gin（*24）；3）運(yùn)行最優(yōu)實(shí)行方案程序的結(jié)果。Global optimal solution found at iteration： 260Objective value： 2300.000 Variable