典型數(shù)學問題、物理問題、數(shù)學物理問題

1、比這經更充典分的數(shù)理由學。問題:歌德巴赫猜想第一部分.經典數(shù)學問題、數(shù)學中最重要的未解決的問題“黎曼假設”對一般人而言，數(shù)學中最著名的問題無疑是費馬定理。但對于職業(yè)數(shù)學家都知道：在整個數(shù)學領域中唯一最重要的未解決的問題是什么，你肯定會得到這樣的回答：“黎曼假設”英國偉大的數(shù)學家哈代(GHHardy)顯然是這樣想的。一次他要從斯勘的納維亞渡海到英格蘭，臨行時北海的天氣出奇地糟糕，在臨危時他給一位同事的明信片中寫道：“已經證明了黎曼假設，你的哈代?！惫囊馑紵o疑是指，不證明這么重要的結果，上帝是不會讓他離去的，所以一定會保佑他平安回家。后來哈代安全返回了(他是個地道的無神論者!！但他所期望的“哈

2、代大定理”卻未能叫響。直至今天，黎曼假設仍未得以證明。下面先給出黎曼函數(shù)，然后給出著名的“黎曼假設”先給出黎曼函數(shù)的定義上式中的積分路徑C從a沿正實軸向左，止于原點附近，然后沿逆時針方向的圓繞過原點,再沿正實軸回到g。乘積丄丄(s)為二limN*(s+l)(s+2)(s+N)這里的s可以是所有不為負整數(shù)的數(shù)?！菊f明】對任意等于2-4,-6,的s,(s)值為零。也就是說負偶數(shù)是函數(shù)的零點。此外，還有無數(shù)個其它的復數(shù)s使得(s)=。其實數(shù)部分的值介于0和1之間(即它們有形式s=a+ib，a介于和1之間)。黎曼假設是黎曼在他的文章中對有關函數(shù)的這些復零點的猜想。他說(幾乎沒有任何根據)函數(shù)的所有復零

3、點實數(shù)部分恰等于(即,若(s),則s具有2+b的形式)?！袄杪僭O”或“黎曼的猜想”：如果對一復數(shù)s,使得(s)，那么S一定具有形如1+bi的形式？2前面提到，任何的復零點其實數(shù)部分總在和1之間，而2正在中央，但黎曼一定有世界近代三大數(shù)學難題之一。哥德巴赫是德國一位中學教師，也是一位著名的數(shù)學家，生于1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年，哥德巴赫在教學中發(fā)現(xiàn)，每個不小于6的偶數(shù)都是兩個素數(shù)(只能被和它本身整除的數(shù))之和。如6=3+3,12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當時的大數(shù)學家歐拉(Euler)，提出了以下的想法:任何一個=6

4、之偶數(shù)，都可以表示成兩個奇質數(shù)之和。任何一個=9之奇數(shù)，都可以表示成三個奇質數(shù)之和。這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學家都不能證明，這個猜想便引起了許多數(shù)學家的注意。從費馬提出這個猜想至今，許多數(shù)學家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當然曾經有人作了些具體的驗證工作，例如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,.等等。有人對33x108以內且大過6之偶數(shù)一一進行驗算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但驗格的數(shù)學證明尚待

5、數(shù)學家的努力。從此，這道著名的數(shù)學難題引起了世界上成千上萬數(shù)學家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀20年代，才有人開始向它靠近。1920年、挪威數(shù)學家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個結論：每一個比大的偶數(shù)都可以表示為(99)。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們于是從(9十9)開始，逐步減少每個數(shù)里所含質數(shù)因子的個數(shù)，直到最后使每個數(shù)里都是一個質數(shù)為止，這樣就證明了“哥德巴赫”。目前最佳的結果是中國數(shù)學家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理(ChensTheorem)“任何充份大的偶數(shù)都是一個質數(shù)與一個自然數(shù)之和，

6、而後者僅僅是兩個質數(shù)的乘積?！蓖ǔ６己喎Q這個結果為大偶數(shù)可表示為“1+2”的形式。1920年，挪威的布朗(Brun)證明了“9+9”。1924年，德國的拉特馬赫(Rademacher)證明了“7+7”。1932年，英國的埃斯特曼(Estermann)證明了“6+6”。1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後證明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”。1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃(Byxwrao)證明了“5+5”。1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃(Byxwrao)證明了“4+4”。1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)證明了“1+c”，其中c是一很大的自然數(shù)。1956年，中國的王元

7、證明了“3+4”。1957年，中國的王元先後證明了“3+3”和“2+3”。1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩(BapoaH)證明了“1+5”，中國的王元證明了“1+4”。1965年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃(Byxwrao)和小維諾格拉多夫(BHHopappB),及意大利的朋比利(Bombieri)證明了“1+3”。1966年，中國的陳景潤證明了“1+2”。最終會由誰攻克“1+1”這個難題呢？現(xiàn)在還沒法預測。比這經更充典分的數(shù)理由學。問題:歌德巴赫猜想三、數(shù)學經典問題費馬最后定理被公認的世界報“紐約時報”於1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有關數(shù)學難題得以解決的消息，那則消息的標題是“在

8、陳年數(shù)學困局中，終於有人呼叫我找到了”。時報一版的開始文章中還附了一張留著長發(fā)、穿著中古世紀歐洲學袍的男人照片。這個古意盎然的男人，就是法國的數(shù)學家費馬（PierredeFermat）（費馬小傳請參考附錄）。費馬是十七世紀最卓越的數(shù)學家之一，他在數(shù)學許多領域中都有極大的貢獻，因為他的本行是專業(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學造詣，世人冠以“業(yè)余王子”之美稱，在三百六十多年前的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘數(shù)學家戴奧芬多斯的數(shù)學書時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理這個定理的內容是有關一個方程式xn+yn=zn的正整數(shù)解的問題，當n=2時就是我們所熟知的畢氏定理（中國古代又稱勾股弦

9、定理）：X2+y2=z2，此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之兩股，也就是一個直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和，這個方程式當然有整數(shù)解（其實有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13.等等。費馬聲稱當n2時，就找不到滿足xn+yn=zn的整數(shù)解，例如：方程式x3+y3=z3就無法找到整數(shù)解。當時費馬并沒有說明原因，他只是留下這個敘述并且也說他已經發(fā)現(xiàn)這個定理的證明妙法，只是書頁的空白處不夠無法寫下。始作俑者的費馬也因此留下了千古的難題，三百多年來無數(shù)的數(shù)學家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功。這個號稱世紀難題的費馬最後定理也就成了數(shù)學界

10、的心頭大患，極欲解之而後快。十九世紀時法國的法蘭西斯數(shù)學院曾經在一八一五年和一八六0年兩度懸賞金質獎章和三百法郎給任何解決此一難題的人，可惜都沒有人能夠領到獎賞。德國的數(shù)學家佛爾夫斯克爾（P.Wolfskehl）在1908年提供十萬馬克，給能夠證明費馬最後定理是正確的人，有效期間為100年。其間由於經濟大蕭條的原因，此筆獎額已貶值至七千五百馬克，雖然如此仍然吸引不少的“數(shù)學癡”。二十世紀電腦發(fā)展以後，許多數(shù)學家用電腦計算可以證明這個定理當n為很大時是成立的，1983年電腦專家斯洛文斯基借助電腦運行5782秒證明當n為286243-1時費馬定理是正確的（注286243-1為一天文數(shù)字，大約為25

11、960位數(shù)）。雖然如此，數(shù)學家還沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數(shù)學懸案終於解決了，這個數(shù)學難題是由英國的數(shù)學家威利斯（AndrewWiles）所解決。其實威利斯是利用二十世紀過去三十年來抽象數(shù)學發(fā)展的結果加以證明。五。年代日本數(shù)學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲線的猜想，後來由另一位數(shù)學家志村五郎加以發(fā)揚光大，當時沒有人認為這個猜想與費馬定理有任何關聯(lián)。在八。年代德國數(shù)學家佛列將谷山豐的猜想與費馬定理扯在一起,而威利斯所做的正是根據這個關聯(lián)論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的，進而推出費馬最後定理也是正確的。這個結論由威利斯在1993年的6月21日於美國劍橋大學牛頓數(shù)學研究所的研討會

12、正式發(fā)表，這個報告馬上震驚整個數(shù)學界，就是數(shù)學門墻外的社會大眾也寄以無限的關注。不過威利斯的證明馬上被檢驗出有少許的瑕疵，於是威利斯與他的學生又花了十四個月的時間再加以修正。1994年9月19日他們終於交出完整無瑕的解答，數(shù)學界的夢魘終於結束。1997年6月，威利斯在德國哥庭根大學領取了佛爾夫斯克爾獎。當年的十萬法克約為兩百萬美金，不過威利斯領到時，只值五萬美金左右，但威利斯已經名列青史，永垂不朽了。要證明費馬最後定理是正確的(即xn+yn=zn對n3均無正整數(shù)解)只需證x4+y4=z4和xp+yp=zp(p為奇質數(shù))，都沒有整數(shù)解。附錄：費馬小傳費馬(PierredeFermat)是十七世紀

13、最偉大的數(shù)學家之一，1601年8月20日生於法國南部土魯士(Toulous)附近的一個小鎮(zhèn)，父親是一個皮革商，1665年1月12日逝世。費馬在大學時專攻法律，學成後成為專業(yè)的律師，也曾經當過土魯士議會議員。費馬是一位博覽群書見廣多聞的諄諄學者，精通數(shù)國語言，對於數(shù)學及物理也有濃厚的興趣，是一位多采多藝的人。雖然他在近三十歲才開始認真專研數(shù)學，但是他對數(shù)學的貢獻使他贏得業(yè)余王子(theprinceofamateurs)之美稱。這個頭銜正足以表彰他在數(shù)學領域的一級成就，他在笛卡兒(Descartes)之前引進解析幾何，而且在微積分的發(fā)展上有重大的貢獻，尤其為人稱道的是費馬和巴斯卡(Pascal)被

14、公認是機率論的先驅。然而人們所津津樂道的則是他在數(shù)論上的一些杰作，例如費馬定理(又稱費馬小定理，以別於費馬最後定理)：ap三a(modp),對任意整數(shù)a及質數(shù)p均成立。這個定理第一次出現(xiàn)於1640年的一封信中，此定理的證明後來由歐拉(Euler)發(fā)表。費馬為人非常謙虛、不尚名利，生前很少發(fā)表論文，他大部分的作品都見諸於與友人之間的信件和私人的札記，但通常都未附證明。最有名的就是俗稱的費馬最后定理，費馬天生的直覺實在是異常敏銳，他所斷言的其他定理，後來都陸續(xù)被人證出來。有先見之明的費馬實在是數(shù)學史上的一大奇葩。四、經典數(shù)學問題：四色猜想世界近代三大數(shù)學難題之一。四色猜想的提出來自英國。1852年

15、，畢業(yè)于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。”這個結論能不能從數(shù)學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數(shù)學家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數(shù)學家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對四色問題進行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。1872年，英

16、國當時最著名的數(shù)學家凱利正式向倫敦數(shù)學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學界關注的問題。世界上許多一流的數(shù)學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。18781880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就解決了。11年后，即1890年，數(shù)學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。后來，越來越多的數(shù)學家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目,實是一個可與費馬猜想相媲美的難題：先輩數(shù)學大師們的努力，為后世的數(shù)學家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。進入20世

17、紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎上引進了一些新技巧，美國數(shù)學家富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界

18、。它不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且有可能成為數(shù)學史上一系列新思維的起點。不過也有不少數(shù)學家并不滿足于計算機取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。五、“蜂窩猜想”問題加拿大科學記者德富林在環(huán)球郵報上撰文稱,經過160年0努力,數(shù)學家終于證明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者。四世紀古希臘數(shù)學家佩波斯提出,蜂窩的優(yōu)美形狀,是自然界最有效勞動的代表。他猜想,人們所見到的、截面呈六邊形的蜂窩,是蜜蜂采用最少量的蜂蠟建造成的。他的這一猜想稱為蜂窩猜想但,這一猜想一直沒有人能證明。美密執(zhí)安大學數(shù)學家黑爾宣稱,他已破解這一猜想。蜂窩是一座十分精密的建筑工程。蜜蜂建巢時,青壯年工蜂負責分

19、泌片狀新鮮蜂蠟,每片只有針頭大校而另一些工蜂則負責將這些蜂蠟仔細擺放到一定的位置,以形成豎直六面柱體。每一面蜂蠟隔墻厚度及誤差都非常小。6面隔墻寬度完全相同,墻之間的角度正好12度,形成一個完美的幾何圖形。人們一直疑問,蜜蜂為什么不讓其巢室呈三角形、正方形或其他形狀呢?隔墻為什么呈平面,而不是呈曲面呢?雖然蜂窩是一個三維體建筑,但每一個蜂巢都是六面柱體,而蜂蠟墻的總面積僅與蜂巢的截面有關。由此引出一個數(shù)學問題,即尋找面積最大、周長最小的平面圖形。194年3,匈牙利數(shù)學家陶斯巧妙地證明,在所有首尾相連的正多邊形中,正多邊形的周長是最小的。194年3,匈牙利數(shù)學家陶斯巧妙地證明,在所有首尾相連的正

20、多邊形中,正多邊形的周長是最小的。但如果多邊形的邊是曲線時,會發(fā)生什么情況呢?陶斯認為,正六邊形與其他任何形狀的圖形相比,它的周長最小,但他不能證明這一點。而黑爾在考慮了周邊是曲線時,無論是曲線向外突,還是向內凹,都證明了由許多正六邊形組成的圖形周長最校他已將19頁的證明過程放在因特網上,許多專家都已看到了這一證明,認為黑爾的證明是正確的。六、丟番都方程一個（或一組）整系數(shù)的不定方程，如果只要求它的整數(shù)解，這不定方程叫做“丟番都方程”。希臘時代，代數(shù)學獲得重大的發(fā)展，代表人物是丟番都（約公元24633年9），被譽為代數(shù)學的鼻祖。他寫了三部書，其中最出色的是算術。這部偉大的著作在歷史上的重要性可

21、以和歐幾里得幾何原本一比高下。算術是講數(shù)的理論的，不過大部分的內容可以劃入代數(shù)的范圍內。書中舉出并解決了許多不定方程。等類型的不定方程時顯示出驚人的丟番都是系統(tǒng)研究整系數(shù)不定方程的整數(shù)解的先行者，因此，人們習慣上把這種不定方程叫Ax2+c=y2,Bx+c=y2做“丟番都方程”丟番都在處理技巧。例如，算術中有一題是：“把16分為兩個平方米之和”。丟番都設一個平方數(shù)為乳,則另一個數(shù)為厲一設：。為了使厲一也是平方數(shù)，他巧妙地16-r=（2x-4）J_16256144_525即得x。所以一個數(shù)為，另一個數(shù)為。這個問題具有很大的歷史價值，因為它引出了著名的“費馬大定理”。丟番都對于各個都用特殊的方法去解

22、決，很少給出一般的法則，甚至性質很相近的題解法也不同，這是他的一個不足之處。難怪一位德國數(shù)學史家說：“近代數(shù)學家研究了丟番都100個題后，去解101題，仍然感到困難?！币虼私臄?shù)論家如歐拉、拉格朗日、高斯等解決不定方程時不得不另覓途徑。1900年德國大數(shù)學家希爾伯特提了的23個著名的數(shù)學難題中，第10個問題就是關于丟番都方程的：“是不是可以設計一種計算步驟，以判定一個整系數(shù)方程有沒有整數(shù)解?”有人曾用數(shù)理邏輯中遞歸函的概念，定出了這種計算步驟，并得到了公認。但又有數(shù)學家證明了這種算法并不能判定丟番都方程有沒有整數(shù)解。至今希爾伯特等10個問題仍是懸案，有待進一步探討。七、七橋問題當Euler在

23、1736年訪問Konigsberg,Prussia(nowKaliningradRussia)時，他發(fā)現(xiàn)當?shù)氐氖忻裾龔氖乱豁椃浅Ｓ腥さ南不顒?。Konigsberg城中有一條名叫Pregel的河流橫經其中，在河上建有七座橋如圖所示:這項有趣的消遣活動是在星期六作一次走過所有七座橋的散步，每座橋只能經過一次而且起點與終點必須是同一地點。後來推論出此種走法是不可能的。他的論點是這樣的，除了起點以外，每一次當一個人由一座橋進入一塊陸地(或點)時，他(或她)同時也由另一座橋離開此點。所以每行經一點時，計算兩座橋(或線)，從起點離開的線與最後回到始點的線亦計算兩座橋，因此每一個陸地與其他陸地連接的橋數(shù)必

24、為偶.七橋所成之圖形中，沒有一點含有偶數(shù)條數(shù)，因此上述的任務是不可能實現(xiàn)的。八、連續(xù)統(tǒng)之迷注：文中將阿拉夫零記為alf(0)，阿拉夫一記為alf(1)，依次類推)由于alf(0)是無窮基數(shù)，阿拉夫是有異于有限運算的神奇運算，因而，以下的結果也不足為怪：alf(0)+1=alf(0)alf(0)+n=alf(0)alf(0)+alf(0)=alf(0)alf(0)Xn=alf(0)alf(0)Xalf(0)=alf(0)alf(O)是自然數(shù)集的基數(shù)。一個無窮基數(shù)，只要是可數(shù)集，其基數(shù)必為alf(O)。由可排序性，可知如整數(shù)集、有理數(shù)集的基數(shù)為alf(0)；或由它們的基數(shù)為alf(0)，得它們?yōu)榭?/p>

25、數(shù)集。而實數(shù)集不可數(shù)(可由康托粉塵線反證不可數(shù))推之存在比alf(O)更大的基數(shù)。乘法運算無法突破alf(O),但幕集可突破：2alf(0)=alf(1)可以證明實數(shù)集的基數(shù)card(R)=alf(l)。進而,阿拉夫家族一發(fā)而不可收：2alf(l)=alf(2);2alf(2)=alf(3);alf(2)究竟有何意義？人們冥思苦想，得出：空間所有曲線的數(shù)目。但而后的alf(3)，人類絞盡腦汁，至今為能道出眉目來。此外，還有一個令人困惑的連續(xù)統(tǒng)之迷：”alf(O)與alf(1)之間是否還存在另一個基數(shù)？公元1878年，康托提出了這樣的猜想：在alf(0)與alf(1)之間不存在其它的基數(shù)。但當時

26、康托本人對此無法予以證實。公元1900年，在巴黎召開的第二次國際數(shù)學家會議上，德國哥庭根大學教授希爾伯特提出了舉世聞名的23個二十世紀須攻克的數(shù)學問題中，連續(xù)統(tǒng)假設顯赫的排在第一個。然而這個問題的最終結果卻是完全出人意料的。公元1938年，奧地利數(shù)學家哥德爾證明了連續(xù)統(tǒng)假設決不會引出矛盾，意味著人類根本不可能找出連續(xù)統(tǒng)假設有什么錯誤。1963年，美國數(shù)學家柯亨居然證明了：連續(xù)統(tǒng)假設是獨立的，也就是說連續(xù)統(tǒng)假設根本不可能被證明。平面幾何作圖限制只能用直尺、圓規(guī)，而這里所謂的直尺是指沒有刻度只能畫直線的尺。用直尺與圓規(guī)當然可以做出許多種之圖形，但有些圖形如正七邊形、正九邊形就做不出來。有些問題看起

27、來好像很簡單，但真正做出來卻很困難，這些問題之中最有名的就是所謂的三大問題。幾何三大問題幾何三大問題是：化圓為方求作一正方形使其面積等於一已知圓；三等分任意角；倍立方求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。圓與正方形都是常見的幾何圖形，但如何作一個正方形和已知圓等面積呢？若已知圓的半徑為1則其面積為n(1)2=n，所以化圓為方的問題等於去求一正方形其面積為n，也就是用尺規(guī)做出長度為nl/2的線段(或者是n的線段)。三大問題的第二個是三等分一個角的問題。對於某些角如90。、180。三等分并不難，但是否所有角都可以三等分呢？例如60。，若能三等分則可以做出20。的角，那麼正18邊形及正九邊形也都

28、可以做出來了(注：圓內接一正十八邊形每一邊所對的圓周角為360。/18=20。)。其實三等分角的問題是由求作正多邊形這一類問題所引起來的。第三個問題是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年公元前195年）曾經記述一個神話提到說有一個先知者得到神諭必須將立方形的祭壇的體積加倍，有人主張將每邊長加倍，但我們都知道那是錯誤的，因為體積已經變成原來的8倍。這些問題困擾數(shù)學家一千多年都不得其解，而實際上這三大問題都不可能用直尺圓規(guī)經有限步驟可解決的。1637年笛卡兒創(chuàng)建解析幾何以後，許多幾何問題都可以轉化為代數(shù)問題來研究。1837年旺策爾（Wantzel）給出三等分任一角及倍立方不可能用尺規(guī)作圖的證明。18

29、82年林得曼（Linderman）也證明了n的超越性（即n不為任何整數(shù)系數(shù)多次式的根），化圓為方的不可能性也得以確立。十、數(shù)學經典問題希爾伯特個數(shù)學問題在1900年巴黎國際數(shù)學家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為數(shù)學問題的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數(shù)學研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個最重要的數(shù)學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，后來成為許多數(shù)學家力圖攻克的難關，對現(xiàn)代數(shù)學的研究和發(fā)展產生了深刻的影響，并起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個數(shù)學問題都可以解決的信念，對于數(shù)學工作者是一種巨大的鼓舞。希爾伯特的23個問題分屬四大

30、塊：第1到第6問題是數(shù)學基礎問題；第7到第12問題是數(shù)論問題；第13到第18問題屬于代數(shù)和幾何問題；第19到第23問題屬于數(shù)學分析。（1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題。1874年，康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設。1938年，僑居美國的奧地利數(shù)理邏輯學家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設與ZF集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學家科思（P.Choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。（2）算術公理系統(tǒng)的無矛盾性。歐氏幾何的無矛盾性可以歸結為算術公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加

31、以證明，哥德爾1931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen,1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術公理系統(tǒng)的無矛盾性。（3）只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。問題的意思是：存在兩個登高等底的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解決。（4）兩點間以直線為距離最短線問題。此問題提的一般。滿足此性質的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在對稱距離情況下，問題獲解決。5）拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。這一個問題簡稱連續(xù)群的解析性

32、，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊賓（Zippin）共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結果。（6）對數(shù)學起重要作用的物理學的公理化。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫將概率論公理化。后來，在量子力學、量子場論方面取得成功。但對物理學各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。（7）某些數(shù)的超越性的證明。需證：如果a是代數(shù)數(shù)，卩是無理數(shù)的代數(shù)數(shù)，那么aP一定是超越數(shù)或至少是無理數(shù)（例如，2邊和en）。蘇聯(lián)的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）19

33、35年分別獨立地證明了其正確性。但超越數(shù)理論還遠未完成。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無統(tǒng)一的方法。（8）素數(shù)分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。素數(shù)是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素數(shù)問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)問題目前也未最終解決，其最佳結果均屬中國數(shù)學家陳景潤。（9）一般互反律在任意數(shù)域中的證明。1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷（E.Artin）各自給以基本解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中。（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？求出一個

34、整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學家）方程可解。1950年前后，美國數(shù)學家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費羅斯（Philos）對含兩個未知數(shù)的方程取得肯定結論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的。盡管得出了否定的結果，卻產生了一系列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切聯(lián)系。（11）一般代數(shù)數(shù)域內的二次型論。德國數(shù)學家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結果。60年代，法國數(shù)學家魏依（A.Weil）取得了新進展。（1

35、2）類域的構成問題。即將阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問題僅有一些零星結果，離徹底解決還很遠。一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性。七次方程x7+ax3+bx2+cx+l=0的根依賴于3個參數(shù)a、b、c；x=x(a,b,c)。這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來？此問題已接近解決。1957年，蘇聯(lián)數(shù)學家阿諾爾德(Arnold)證明了任一在】0,1上連續(xù)的實函數(shù)fg,x2，x3)可寫成形式hi(i(x1，x2),x3)(i=19),這里h.和g.為連續(xù)實函數(shù)?？聽柲缏宸蜃C明f(x1,x2,x3)可寫成形式ii123Zhi(gi1(x1)+gi2(x2)+gi

36、3(x3)(i=17)這里h.和g為連續(xù)實函數(shù)，g.的選取可與f完全無關。1964年,，維土斯金(VitUskin)推廣到連續(xù)可微情形，對解析函數(shù)情形則未解決。某些完備函數(shù)系的有限的證明。即域K上的以x1,x2,.,x為自變量的多項式f.(i=1,.,m),R為K:X1，,X上的12ni1m有理函數(shù)F(X1，Xm)構成的環(huán)，并且F(f1，fm)訥帚，xm試問R是否可由有限個元素F,，F(xiàn)n的多項式生成？這個與代數(shù)不變量問題有關的問題，日本數(shù)學家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。建立代數(shù)幾何學的基礎。荷蘭數(shù)學家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。注一：舒伯特(S

37、chubert)計數(shù)演算的嚴格基礎。一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴格基礎?，F(xiàn)在已有了一些可計算的方法，它和代數(shù)幾何學有密切的關系。但嚴格的基礎至今仍未建立。代數(shù)曲線和曲面的拓撲研究。此問題前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環(huán)的最多個數(shù)N(n)和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式。對n=2(即二次系統(tǒng))的情況,1934年福羅獻爾得到N(2)1；1952年鮑廷得到N(2)3；1955年蘇聯(lián)的波德洛夫斯基宣布N(2)0.001,.p,e

38、,t=refinemesh(g,p,e,t);.u=assempde(b,p,e,t,c,a,f);.exact=(1-p(1,:).人2-p(2,:).人2)74;.er=norm(u-exact,inf);.er是u-exact的無窮大的模error=errorer;.fprintf(Error:%e.Numberofnodes:%dn,er,size(p,2);.end%運行結果是Error:1.292265e-002.Numberofnodes:25把結果用圖形表示：如圖22.9(a),(b)所示,%pdesurf(p,t,u);pdeplot(p,e,t,xydata,u,zdata

39、,u,mesh,on);figure;1比這經更充典分的數(shù)理由學。問題:歌德巴赫猜想pdesurf(p,t,u-exact);pdeplot(p,e,t,xydata,u-exact,zdata,u-exact,mesh,on);誤差解圖顯示0.3-0.2-0.1、精確解22.9(b)0.510.5-0.501x0 x=10cy1y0cy1y20-0.5-1-1敗值解與解析解的誤差圖0.20.150.050.515與仿-0.5-1-11比這經更充典分的數(shù)理由學。問題:歌德巴赫猜想u(x,y,0)二atancos(3nx),u(x,y,0)=5sin(2nx7t解:%定義單位方形區(qū)域%定義零邊界

40、條件%注意坐標向量都是列向量p,e,t=initmesh(squareg);x=p(1,:)；y=p(2,:);u0=atan(cos(3*pi*x);ut0=5*sin(2*pi*x).*exp(cos(pi*y);n=31;tlist=linspace(0,5,n);%在05之間產生n個均勻的時間點u1=hyperbolic(u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d);delta=-1:0.1:1;uxy,tn,a2,a3=tri2grid(p,t,u1(:,1),delta,delta);%建立新的坐標系gp=tn;a2;a3;newplot;newplot;M=movi

41、ein(n);umax=max(max(u1);umin=min(min(u1);fori=1:n,.%注意符號不可省略ifrem(i,10)=0,.%當n是10的整數(shù)倍時，在命令窗口打印出相應的數(shù)字fprintf(%d,i);.0000end,.pdeplot(p,e,t,xydata,u1(:,i),zdata,u1(:,i),zstyle,continuous,mesh,on,xygrid,on,gridparam,gp,colorbar,off);.axis(-1,1,-1,1uminumax);caxis(uminumax);.M(:,i)=getframe;.ifi=n,.fpri

42、ntf(donen);.end,.endnfps=5;movie(M,10,nfps);運行結果是：drawnowendfigure(2)waterfall(X(l:50:3000,:),T(l:50:3000,:),u(l:50:3000,:)Xlabel(x)Ylabel(t)十.計算機仿真繪出勒讓德函數(shù)P(x),(k0,1,2,3,4,5,6)的圖形k解：用繪出勒讓德函數(shù)p(x),(k0,1,2,3,4,5,6)的圖形的程序k十一計算機仿真繪出貝塞爾函數(shù)J(x),(k0,1,2,3,4,5,6)的圖形k解：用繪出貝塞爾函數(shù)J(x),(k0,1,2,3,4,5,6)的圖形的程序k-0.50

43、.512345678910十二計算機仿真繪出虛宗量貝塞爾函數(shù)I(x),I(x),I(x),I(x),I(x)的圖形。01234提示使用語句：解：用繪出虛宗量貝塞爾函數(shù)I(x),I(x),I(x),I(x),I(x)的圖形的程序01234000.511.522.53第四部分數(shù)學問題及仿真驗證方法一.計算機仿真編程驗證：J2n1+2cos史d=005+4cos【解】計算機仿真程序symsx;IS=int(1+2*cos(x)/(5+4*cos(x),x,0,2*pi)%求解析積分vpa(IS)二計算機仿真編程實踐：若Z(k,1,2,“)對應為Zn1=0的根，其中n2且取整數(shù).試用計算機仿真編程驗k

44、證下列數(shù)學恒等式-，0,成立.k，1(Z-Z)kmm=1(m豐k)【解】計算機仿真程序N=100;Sum=0;fork=1:Nz(k)=exp(i*2*k*pi/N);end,.endfork=1:NMultiplex=1;form=1:Nifm=kMultiplex=Multiplex*(z(k)-z(m)endendSum=Sum+1.O/Multiplexend二.計算機仿真編程驗證對復平面任意兩個以上的不重合的有限遠點Z,Z,(即確保分母不為零)，恒等式km11一0是否成立？k=11(Z-Z)kmm=1m壬k注意式中自然數(shù)N2，而m,k為1至N的整數(shù).【解】計算機仿真程序n=2*rou

45、nd(1000*random(beta,1,1)+2%n=input(pleaseentern=)su=1;sum=O;R=0;Q=0；forj=1:nNl(j)=round(1000*randn(1,1);N2(j)=round(1000*randn(1,1);ifj=1N(j)=N1(j)+i*N2(j);elseform=1:j-R-1ifN1(j)=real(N(m)&N2(j)=imag(N(m)N1(j)N2(j)N(m)R=R+1Q=Q+1jmbreakelseendendifQ=0N(j-R)=N1(j)+i*N2(j);elseQ=0endendendfork=1:n-Rforj=1:n-Rifj=ksu=1/(N(k)-N(j)*su;endendsum=sum+su;su=1;endsum四兔子樹子斐波那契數(shù)列有個愛好幻想的人，想知道一年內一對兔子能繁殖多少對小兔子。于是，他圍了一個柵欄，把一對雌雄成對的小兔子養(yǎng)在里面。假設小兔子生下