第四章連續(xù)時(shí)間傅立葉變換ppt課件

1、第4章 延續(xù)時(shí)間傅立葉變換The Continuous time Fourier Transform本章的主要內(nèi)容:延續(xù)時(shí)間傅立葉變換;傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉變換之間的關(guān)系;傅立葉變換的性質(zhì);系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)及系統(tǒng)的頻域分析； 在工程運(yùn)用中有相當(dāng)廣泛的信號(hào)是非周期信號(hào)，對(duì)非周期信號(hào)應(yīng)該如何進(jìn)展分解，什么是非周期信號(hào)的頻譜表示，線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的呼應(yīng)如何求得，就是這一章要處理的問題。4.0 引言 Introduction 在時(shí)域可以看到，假設(shè)一個(gè)周期信號(hào)的周期趨于無窮大，那么周期信號(hào)將演化成一個(gè)非周期信號(hào)；反過來，假設(shè)將任何非周期信號(hào)進(jìn)展周期性延拓，就一定能構(gòu)成一個(gè)周期信號(hào)。 我們把非周期信

2、號(hào)看成是周期信號(hào)在周期趨于無窮大時(shí)的極限，從而調(diào)查延續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)在 T趨于無窮大時(shí)的變化，就應(yīng)該可以得到對(duì)非周期信號(hào)的頻域表示方法。4.1 非周期信號(hào)的表示延續(xù)時(shí)間傅立葉變換Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform一.從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換 我們?cè)?jīng)看到，周期性矩形脈沖，當(dāng)周期 增大時(shí)，頻譜的幅度隨 的增大而下降；譜線間隔隨 的增大而減??；但頻譜的包絡(luò)不變。再次調(diào)查周期性矩形脈沖的頻譜圖： 當(dāng) 時(shí)，周期性矩形脈沖信號(hào)將演化成為非周期的單個(gè)矩形脈沖信號(hào)。 ab(a)(b) 00 由于

3、 也隨 增大而減小，并最終趨于0，調(diào)查 的變化，它在 時(shí)應(yīng)該是有限的。 于是，我們推斷出:當(dāng) 時(shí)，離散的頻譜將演化為延續(xù)的頻譜。由當(dāng) 時(shí),假設(shè)令那么有與周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)比有： 這闡明:周期信號(hào)的頻譜就是與它相對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)頻譜的樣本。根據(jù)傅立葉級(jí)數(shù)表示： 延續(xù)時(shí)間傅立葉變換當(dāng)時(shí)，于是有：傅立葉反變換 此式闡明，非周期信號(hào)可以分解成無數(shù)多個(gè)頻率延續(xù)分布、振幅為 的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和。 由于 具有頻譜隨頻率分布的物理含義，因此稱 為頻譜密度函數(shù)。于是，我們得到了對(duì)非周期信號(hào)的頻域描畫方法這一對(duì)關(guān)系被稱為延續(xù)時(shí)間傅立葉變換對(duì)。 可見，周期信號(hào)的頻譜是對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)頻譜的樣本；而非周期信號(hào)的頻譜是

4、對(duì)應(yīng)的周期信號(hào)頻譜的包絡(luò)。 既然傅立葉變換的引出是從周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示出發(fā)，討論周期趨于無窮大時(shí)的極限得來的，傅立葉變換的收斂問題就應(yīng)該和傅立葉級(jí)數(shù)的收斂相一致。二. 傅立葉變換的收斂這闡明能量有限的信號(hào)其傅立葉變換一定存在。2. Dirichlet 條件a.絕對(duì)可積條件1. 假設(shè)那么 存在。也有相應(yīng)的兩組條件：b. 在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只需有限個(gè)極值點(diǎn)， 且極值有限。c. 在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只需有限個(gè)第一類延續(xù)點(diǎn)。 應(yīng)該指出:這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件。 和周期信號(hào)的情況一樣，當(dāng) 的傅立葉變換存在時(shí)，其傅立葉變換在 的延續(xù)處收斂于信號(hào)本身，在延續(xù)點(diǎn)處收斂于左右極限的平均值，

5、在延續(xù)點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生Gibbs 景象。 這兩組條件并不等價(jià)。例如： 是平方可積的，但是并不絕對(duì)可積。三.常用信號(hào)的傅立葉變換：1.0102. 結(jié)論：實(shí)偶信號(hào)的傅立葉變換是實(shí)偶函數(shù)。此時(shí)可以用一幅圖表示信號(hào)的頻譜。對(duì)此例有103.0 這闡明 中包括了一切的頻率成分，且一切頻率分量的幅度、相位都一樣。因此，系統(tǒng)的單位沖激呼應(yīng) 才干完全描畫一個(gè)LTI系統(tǒng)的特性， 才在信號(hào)與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。01 顯然，將 中的 代之以 再乘以 ，即是相應(yīng)周期信號(hào)的頻譜4. 矩形脈沖:101000不同脈沖寬度對(duì)頻譜的影響可見，信號(hào)在時(shí)域和頻域之間有一種相反的關(guān)系。(稱為理想低通濾波器) 與矩形脈沖情況對(duì)比，

6、可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)在時(shí)域和頻域之間存在一種對(duì)偶關(guān)系。5.1，0，100對(duì)偶關(guān)系可表示如下:101000 同時(shí)可以看到，信號(hào)在時(shí)域和頻域之間也有一種相反的關(guān)系。即信號(hào)在時(shí)域脈沖越窄，那么其頻譜主瓣越寬，反之亦然。 對(duì)例5. 我們可以想到，假設(shè) ，那么 將趨于一個(gè)沖激。6. 假設(shè) 那么有由于所以四. 信號(hào)的帶寬( Bandwidth of Signals ): 由信號(hào)的頻譜可以看出：信號(hào)的主要能量總是集中于低頻分量。另一方面，傳輸信號(hào)的系統(tǒng)都具有本人的頻率特性。因此，工程中在傳輸信號(hào)時(shí)，沒有必要一定要把信號(hào)的一切頻率分量都有效傳輸，而只需保證將占據(jù)信號(hào)能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。為此，需求對(duì)信號(hào)

7、定義帶寬。通常有如下定義帶寬的方法:2. 對(duì)包絡(luò)是 外形的頻譜，通常定義主瓣寬度(即頻譜第一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)的范圍)為信號(hào)帶寬。 下降到最大值的 時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率范圍,此時(shí)帶內(nèi)信號(hào)分量占有信號(hào)總能量的1/2。1. 以矩形脈沖為例，按帶寬的定義，可以得出，脈寬乘以帶寬等于常數(shù)C (脈寬帶寬積)。這清楚地反映了頻域和時(shí)域的相反關(guān)系。 4.2 周期信號(hào)的傅立葉變換 到此為止，我們對(duì)周期信號(hào)用傅立葉級(jí)數(shù)表示，非周期信號(hào)用傅立葉變換表示。由于數(shù)學(xué)描畫方法的不一致，在某些情況下, 會(huì)給我們帶來不便。但由于周期信號(hào)不滿足 Dirichlet 條件，因此不能直接從定義出發(fā)，建立其傅立葉變換表示。 The Fourier

8、Transformation of Periodic Signals所對(duì)應(yīng)的信號(hào)調(diào)查 這闡明周期性復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜是一個(gè)沖激。于是當(dāng)把周期信號(hào)表示為傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，由于就有周期信號(hào)的傅立葉變換表示假設(shè) 那么 這闡明：周期信號(hào)的傅立葉變換由一系列沖激組成，每一個(gè)沖激分別位于信號(hào)的各次諧波的頻率處，其沖激強(qiáng)度正比于對(duì)應(yīng)的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù) 。例1： 例2： 例3： 均勻沖激串010例4. 周期性矩形脈沖014.3 延續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì) 討論傅立葉變換的性質(zhì)，旨在經(jīng)過這些性質(zhì)提示信號(hào)時(shí)域特性與頻域特性之間的關(guān)系，同時(shí)掌握和運(yùn)用這些性質(zhì)可以簡(jiǎn)化傅立葉變換對(duì)的求取。1. 線性: Linearity那么P

9、roperties of the Continuous-Time Fourier Transform假設(shè)2. 時(shí)移: Time Shifting這闡明信號(hào)的時(shí)移只影響它的相頻特性，其相頻特性會(huì)添加一個(gè)線性相移。那么假設(shè)3. 共軛對(duì)稱性: Conjugate and Symmetry 假設(shè) 那么所以即 假設(shè) 是實(shí)信號(hào)，那么于是有:由可得即實(shí)部是偶函數(shù)虛部是奇函數(shù) 假設(shè)那么可得出即：模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù) 假設(shè)那么可得 假設(shè)即信號(hào)是偶函數(shù)。那么闡明： 實(shí)偶信號(hào)的傅立葉變換是偶函數(shù)。闡明 是實(shí)函數(shù)。 假設(shè) 即信號(hào)是奇函數(shù)，同樣可以得出:所以又由于闡明 是奇函數(shù)闡明 是虛函數(shù) 假設(shè)那么有:例: 的頻

10、譜:101/20-1/21/20將 分解為偶部和奇部有4.時(shí)域微分與積分: Differentiation and Integration(可將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算)(將兩邊對(duì) 微分即得該性質(zhì))由時(shí)域積分特性從也可得到:時(shí)域積分特性那么假設(shè)5.時(shí)域和頻域的尺度變換: Scaling當(dāng) 時(shí)，有 尺度變換特性闡明：信號(hào)假設(shè)在時(shí)域擴(kuò)展 a 倍，那么其帶寬相應(yīng)緊縮 a 倍，反之亦然。這就從實(shí)際上證明了時(shí)域與頻域的相反關(guān)系，也證明了信號(hào)的脈寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。那么假設(shè)時(shí)域中的緊縮擴(kuò)展對(duì)應(yīng)頻域中的擴(kuò)展緊縮6.對(duì)偶性: Duality假設(shè)那么證明：也可由得到證明。根據(jù)得這就是移頻特性例如: 由 有對(duì)偶

11、關(guān)系利用時(shí)移特性有再次對(duì)偶有由對(duì)偶性可以方便地將時(shí)域的某些特性對(duì)偶到頻域由得所以頻域微分特性該特性也可由對(duì)偶性從時(shí)域微分特性得出:由有利用時(shí)域微分特性有對(duì)再次對(duì)偶得頻域微分特性由時(shí)域積分特性，可對(duì)偶出頻域積分特性利用時(shí)域積分特性再次對(duì)偶由有頻域積分特性7. Parseval定理:假設(shè)那么 這闡明：信號(hào)的能量既可以在時(shí)域求得，也可以在頻域求得。由于 表示了信號(hào)能量在頻域的分布，因此稱其為“能量譜密度函數(shù)。4.4 卷積性質(zhì) The Convolution Property一.卷積特性： 由于卷積特性的存在，使對(duì)LTI系統(tǒng)在頻域進(jìn)展分析成為能夠。本質(zhì)上，卷積特性的成立正是由于復(fù)指數(shù)信號(hào)是一切LTI系

12、統(tǒng)的特征函數(shù)。那么假設(shè)由闡明：故有可將 分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個(gè) 經(jīng)過LTI系統(tǒng)時(shí)都要遭到系統(tǒng)與 對(duì)應(yīng)的特征值的加權(quán)。這個(gè)特征值就是所以 由于 的傅氏變換 就是頻率為 的復(fù)指數(shù)信號(hào) 經(jīng)過LTI系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)。 鑒于 與 是一一對(duì)應(yīng)的，因此LTI系統(tǒng)可以由其頻率呼應(yīng)完全表征。由于并非任何系統(tǒng)的頻率呼應(yīng) 都存在，因此用頻率呼應(yīng)表征系統(tǒng)時(shí)，普通都限于對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)。由于，穩(wěn)定性保證了二. LTI系統(tǒng)的頻域分析法: 根據(jù)卷積特性,可以對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)展頻域分析, 其過程為:1. 由2. 根據(jù)系統(tǒng)的描畫，求出3.4. 4.5 相乘性質(zhì) The Mult

13、iplication Property利用對(duì)偶性可以從卷積性質(zhì)得出相乘性質(zhì)假設(shè)那么 兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘，可以看成是由一個(gè)信號(hào)控制另一個(gè)信號(hào)的幅度，這就是幅度調(diào)制。其中一個(gè)信號(hào)稱為載波，另一個(gè)是調(diào)制信號(hào)。例1:移頻性質(zhì)例2. 正弦幅度調(diào)制:1001/2 正弦幅度調(diào)制等效于在頻域?qū)⒄{(diào)制信號(hào)的頻譜搬移到載頻位置。例3. 同步解調(diào):1/21/41/4 此時(shí)，用一個(gè)頻率特性為的系統(tǒng)即可從 恢復(fù)出 。20只需即可。具有此頻率特性的LTI系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。例4. 中心頻率可變的帶通濾波器：A1理想低通的頻率呼應(yīng)1等效帶通濾波器 相當(dāng)于從 中直接用一個(gè)帶通濾波器濾出的頻譜。闡明整個(gè)系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)中心頻率

14、為 的帶通濾波器，改動(dòng) 即可實(shí)現(xiàn)中心頻率可變。4.6 傅立葉變換的性質(zhì)與傅立葉變換對(duì)列表(自學(xué)) 工程實(shí)踐中有相當(dāng)廣泛的LTI系統(tǒng)其輸入輸出關(guān)系可以由一個(gè)線性常系數(shù)微分方程描畫。普通方式的LCCDE是:4.7 由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)一. 由LCCDE描畫的LTI系統(tǒng)的頻率特性:Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient Differential Equations 由于 是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，因此 ，當(dāng) 系統(tǒng)的輸入為 時(shí)，系統(tǒng)所產(chǎn)生的呼應(yīng)就是 。闡明在 的情況下，求解LCCDE即可得到 。但是這種方法太費(fèi)事，很少運(yùn)用。

15、 對(duì)LCCDE兩邊進(jìn)展傅立葉變換有：由于 可見由LCCDE描畫的LTI 系統(tǒng)其頻率特性是一個(gè)有理函數(shù)。由此可以看出，對(duì)由 LCCDE 描畫的LTI系統(tǒng)，當(dāng)需求求得其 時(shí)(比如時(shí)域分析時(shí)) ，往往是由 做反變換得到。 對(duì)有理函數(shù)求傅立葉反變換通常采用部分分式展開和利用常用變換對(duì)進(jìn)展。二.頻率呼應(yīng)的求法：1.用微分方程表征的系統(tǒng)例： 可見，對(duì)由微分方程所描畫的系統(tǒng)經(jīng)過求頻率呼應(yīng)可以方便地求出其單位沖激呼應(yīng)。2.以方框圖描畫的系統(tǒng)例：3.互聯(lián)絡(luò)統(tǒng)的* 級(jí)聯(lián): * 并聯(lián):H1(j)H2(j)H1(j)H2(j)* 反響結(jié)合: 1. 經(jīng)過延續(xù)時(shí)間傅立葉變換，建立了將延續(xù)時(shí)間信號(hào)(包括周期、非周期信號(hào))分解