第七章--常微分方程-7.4-二階常系數(shù)線性微分方程課件

1、第七章 常微分方程二、 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 一、 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解7.4 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得稱為微分方程的特征方程,( r 為待定常數(shù) ),所以令的解為 其根稱為特征根.結(jié)論： 1. 齊次線性微分方程解的疊加原理，即y1(x) 和y2(x) 都是方程的兩個解，那么C1 y1(x) +C2 y2(x) 也是解.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程:2. 如果y*是二階非齊次線性方程的一個特解,Y 是齊次方程的通解,則y*+Y是二階非齊次線性微分方程的通解 1. 當時,有兩個相異實根方程有兩個線性無關(guān)的特解:因此方程的

2、通解為則微分一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解考察特征方程2. 當時,特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解 設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程，得是特征方程的重根取 u = x , 則得因此原方程的通解為3. 當時,特征方程有一對共軛復(fù)根這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解: 利用解的疊加原理 ,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為小結(jié):特征方程:實根 特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .例1 求方程 的通解解： 解特征方程 特征根為故所求通解為例2 求方程 的通解解： 解特征方程 特征根為故所求通解為例3 求方程 的通解解： 解特征方程 特征根為故所求通解為二階常

3、系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程1.是n次多項式. 例4 求方程 的一個特解. 解: 設(shè)y是x的n次多項式,則y是n-1次多項式, y是n-2次多項式.由方程兩邊次數(shù)相等,故n=2. 令是方程特解,則 代入方程，得 整理得比較系數(shù)得 解得 故是方程的一個特解. 例5 求方程 的一個特解. 解： 設(shè)y是x的n次多項式,則y是n-1次多項式, y是n-2次多項式.由方程兩邊次數(shù)相等,故n=3. 代入方程，得

4、令是方程特解,則 整理得比較系數(shù)得 解得 故是方程的一個特解. 例6 求方程 的一個特解. 解: 方程兩邊同時積分得再積分得 取 ，得到一個特解2.是n次多項式. 做變量代換 ，則 代入方程, 整理得得到 即 因此， 是方程的解等價于 是方程的解. 例7 的一個特解. 解:特征多項式為設(shè)特解為 ，則比較等式兩邊次數(shù)，設(shè) 則比較系數(shù), 得解得 原方程的一個特解為 例8 求方程 的通解,并求滿足條件的特解.解:特征多項式為即特征方程為 有重根 對應(yīng)齊次微分方程通解為 設(shè)原方程特解為 ，則得特解因此原方程的一個特解為 故原方程的通解為 求導(dǎo)得 將 帶入得解得 特解為 例9 求微分方程 的一個特解. 解: 特征多項式為 設(shè)原方程特解為 ，則設(shè) ，則解得 所以 原方程一個特解為 3.A、B、為實數(shù).此類方程的特解具有如下形式：其中a,b為待定系數(shù),當 且 時,取 .