《銳角三角函數(shù)》全章復習(教師版)附詳細答案和知識點鞏固 (2)

1、銳角三角函數(shù)全章復習 【學習目標】1.了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30、45、60的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會由一個特殊角的三角函數(shù)值說出這個角；2理解直角三角形中邊與邊的關系，角與角的關系和邊與角的關系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用解直角三角形的有關知識解決簡單的實際問題；3通過銳角三角函數(shù)的學習，進一步認識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與對應的思想，通過解直角三角的學習，體會數(shù)學在解決實際問題中的作用，并結合實際問題對微積分的思想有所感受.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】一、銳角三角函

2、數(shù)1.正弦、余弦、正切的定義如右圖、在RtABC中，C=900，如果銳角A確定： (1)sinA=，這個比叫做A的正弦. (2)cosA=，這個比叫做A的余弦.(3)tanA=，這個比叫做A的正切.要點詮釋：(1)正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關，而與所在直角三角形的大小無關.(2)sinA、cosA、tanA是一個整體符號，即表示A三個三角函數(shù)值，書寫時習慣上省略符號“”， 但不能寫成sinA，對于用三個大寫字母表示一個角時，其三角函數(shù)中符號“”不能省略，應寫成sinBAC，而不能寫出sinBAC.(3)sin2A表

3、示(sinA)2，而不能寫成sinA2.(4)三角函數(shù)有時還可以表示成等.2.銳角三角函數(shù)的定義銳角A的正弦、余弦、正切都叫做A的銳角三角函數(shù).要點詮釋：1. 函數(shù)值的取值范圍對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是A的函數(shù)，其中A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對應的函數(shù).其中自變量A的取值范圍是0A90，函數(shù)值的取值范圍是0sinA1，0cosA1，tanA0.2銳角三角函數(shù)之間的關系：余角三角函數(shù)關系：“正余互化公式” 若A+B=90， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 同角三角函數(shù)關系：

4、sin2Acos2A=1；tanA=3.30、45、60角的三角函數(shù)值A304560sinAcosAtanA1二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形角角關系：兩銳角互余，即A+B=90；邊邊關系：勾股定理，即；邊角關系：銳角三角函數(shù)，即三、解直角三角形的應用1.解這類問題的一般過程(1)弄清仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構造直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關的直角三角形.(

5、4)得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.2.常見應用問題(1)坡度：； 坡角:.(2)方位角：(3)仰角與俯角：注：1解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟RtABC兩邊兩直角邊(a，b)由求A，B=90A，斜邊，一直角邊(如c，a)由求A，B=90A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如A，b)B=90A，銳角、對邊(如A，a)B=90A，斜邊、銳角(如c，A)B=90A， 【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)1(1)如圖所示，P是角的邊上一點，且點P的坐標為(-3，4)，則sin( ) A B C D2 例1（1）圖 例1（2）圖(2)在正方形網(wǎng)格中，AOB

6、如圖所示放置，則cosAOB的值為( ) A. B. C. D.2【答案】(1)C； (2)A；【解析】(1)由圖象知OA3，PA4，在RtPAO中 所以選C(2)由格點三角形知如圖中存在一個格點三有形RtOCD，且OC1，CD2，則OD因此所以選A2在RtABC中，C90，若將各邊長度都擴大為原來的2倍，則A的正弦值是( ) A擴大2倍 B縮小2倍 C擴大4倍 D不變【答案】 D；【解析】根據(jù)知sinA的值與A的大小有關，與的比值有關當各邊長度都擴大為原來的2倍時，其的比值不變故選D.舉一反三：1、已知，如圖，D是中BC邊的中點，求 2、已知，如圖，中，求cosA及tanA3、如圖所示，已知

7、ABC是O的內(nèi)接三角形，ABc，ACb，BCa，請你證明 【答案】 1、過D作DEAB交AC于E，則ADE=BAD=90，由，得設AD=2k,AB =3k,D是中BC邊的中點，DE =在RtADE中， 2、易證點B、C、D、E四點共圓，ADEABC，cosA= tanA= 3、 證明：O是ABC的外接圓，設圓的半徑為R，連結AO并延長交O于點D，連結CD，則BDAD是O的直徑，ACD90即ADC為直角三角形，同理可證：，類型二、 特殊角三角函數(shù)值的計算3先化簡，再求代數(shù)式的值，其中 【答案】 原式而 原式4已知a3，且，則以a、b、c為邊長的三角形面積等于( ) A6 B7 C8 D9【答案】

8、A；【解析】根據(jù)題意知 解得 所以a3，b4，c5，即，其構成的三角形為直角三角形，且C90，所以舉一反三：計算：1、tan230cos230sin245tan45 2、 60【答案】1、原式= = = 2、原式=類型三、 解直角三角形5如圖所示，菱形ABCD的周長為20 cm，DEAB，垂足為E，則下列結論正確的個（ ）DE3 cm；BE1 cm；菱形的面積為15 cm2；BDcm A1個 B2個 C3個 D4個【答案】C；【解析】由菱形的周長為20 cm知菱形邊長是5 cm在RtADE中， AD5 cm，sin A， DEADsinA(cm) (cm) BEABAE541(cm)菱形的面積

9、為ABDE5315(cm2)在RtDEB中，(cm)綜上所述正確故選C 舉一反三：如圖所示，在等腰RtABC中，C90，AC6，D是AC上一點，若，則AD的長為( ) A2 B C D1【答案】 A；【解析】 作DEAB于點E因為ABC為等腰直角三角形，所以A45，所以AEDE又設DEx，則AEx，由知BE5x，所以AB6x，由勾股定理知AC2+BC2AB2，所以62+62(6x)2，ADAE類型四 、銳角三角函數(shù)與相關知識的綜合6如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的O經(jīng)過點D，E是O上一點，且AED45 (1)試判斷CD與O的關系，并說明理由 (2)若O的半徑為3 cm，AE

10、5 cm求ADE的正弦值【答案】 (1)CD與O相切 理由：如圖所示，連接OD， 則AOD2AED24590 四邊形ABCD是平行四邊形， ABDC， CDOAOD90， ODCD，CD與O相切(2)如圖所示，連接BE，則ADEABEAB是O的直徑，AEB90，AB236(cm)在RtABE中，sinADEsinABE7如圖所示，直角ABC中，C90，AB，sin B，點P為邊BC上一動點，PDAB，PD交AC于點D，連接AP， (1)求AC，BC的長；(2)設PC的長為x，ADP的面積為y，當x為何值時，y最大，并求出最大值【答案】 (1)在RtABC中，由，AC2，由勾股定理得BC4(2)

11、PDAB，ABCDPC，PCx，則，當x2時，y有最大值，最大值是1舉一反三：1、如圖，C、D是半圓O上兩點，求和 【答案】如圖，連結BC，則ACB=90，易證ECDEBA，cosCEB= tanCEB=類型五、三角函數(shù)與實際問題8如圖所示，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60方向，與燈塔P的距離為80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45方向上的B處，求此時輪船所在的B處與燈塔P的距離(結果保留根號)【答案】過點P作PCAB垂足為C，則APC30，BPC45，AP80，在RtAPC中，PCPAcosAPC，在RtPCB中，當輪船位于燈塔P南偏東45方向時，輪船與燈塔P的

12、距離是海里9為倡導“低碳生活”，常選擇以自行車作為代步工具，如圖所示是一輛自行車的實物圖，車架檔AC與CD的長分別為45cm，60cm，且它們相互垂直，座桿CE的長為20cm，點A、C、E在同一條直線上，且CAB75，如圖所示 (1)求車架檔AD的長； (2)求車座點E到車架檔AB的距離 (結果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin750.959，cos750.2588，tan753.7321)【答案】(1)在RtACD中，車架檔AD的長為75cm(2)過點E作EFAB于F，sinEAF， EFAEsinEAF(45+20)sin7563cm， 車座點E到車檔架AB的距離是63cm【點評】考查解直角三

13、角形的應用，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義. 鞏固練習（一）一、選擇題1如圖1，已知點P的坐標是（a，b），則sin等于（ ） 圖（2） 圖（1） A B C2如圖2，在ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，則tanB的值是（ ） B C D3在RtABC中，C=90，sinA=，則sinB等于（ ） A B C D4在RtABC中，C=90，a=1，c=4，則sinA的值是（ ） A5如圖，在RtABC中，C=90，AB=10，sinB=，BC的長是（ ） A26.已知sin a + cos a=m，sin acos a=n，則m，n的關系是（ ） Am=n Bm=2n+1 Cm2=2n+1

14、Dm2=1-2n7.在直角三角形ABC中，A為銳角，且cosA=，那么（ ） A0A30 B30A45 C45A60 D60ABC，CDAB于D，DEAC于E，EFAB于F，若CD=4，AB=10，則EF：AF等于（ ）A B C12.已知：RtABC中，C=90，cosA=，AB=15，則AC的長是（ ） A3 B6 C9 D1213.下列各式中不正確的是（ ） Asin260+cos260=1 Bsin30+cos30=1 Csin35=cos55 Dtan45sin4514.計算2sin30-2cos60+tan45的結果是（ ） A2 B C D115.已知A為銳角，且cosA，那么（

15、 ） A0A60 B60A90 C0A30 D30A60時，cosa的值（ ） A小于 B大于 C大于 D大于118.已知梯形ABCD中，腰BC長為2，梯形對角線BD垂直平分AC，若梯形的高是,則CAB等于（ ） A30 B60 C45 D以上都不對二、解答題19已知ABC等腰三角形的一條腰長為20cm，底邊長為30cm，求底角的正切值20.已知sin，cos是方程4x2-2（1+）x+=0的兩根，求sin2+cos2的值答案：選擇題1.D 2.A 3.A 4.B 5.B 6.C 7.D 8.B 9.D 10.B 11.A 12.C 13.B 14.D 15.B 16.B 17.A 18.B解

16、答題19如圖，設ABC為等腰三角形，AB=AC=20，BC=30，過A作ADBC于D，則D為BC中點 BD=15，在RtABD中，AD=5tanB=20.sin+cos=（1+），cossin=， sin2+cos2=（sin+cos）2-2sincos =（1+） 2- =1鞏固練習（二）一、選擇題1如圖所示，在RtABC中，則AC等于（ ）A3 B4 C D62已知為銳角，則的值（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm13如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，ACAB，ADCD，cosDCA，BC10，則AB的值是( )A3 B6 C8 D9 第1題圖 第3題圖 第4題圖4如圖所示，在菱形AB

17、CD中，DEAB， tanDBE的值是( ) A. B.2 C. D. 5如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，若EF2，BC5，CD3，則tan C等于( )A B C D 第5題圖 第7題圖6已知RtABC中，C90，則cosA的值為（ ） A B C D7如圖所示，先鋒村準備在坡角為的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為( ) A5cos米 B米 C米 D米8等腰三角形一腰上的高與腰長之比是1:2，則等腰三角形頂角的度數(shù)為（ ）A30 B50 C60或120 D30或150二、填空題9計算：_10如圖所示，已知RtABC中，斜

18、邊BC上的高AD4，則AC_11如圖所示，將以A為直角頂點的等腰直角三角形ABC沿直線BC平移得到，使點與C重合，連接，則tan的值為_ 第10題圖 第11題圖 第12題圖12如圖所示，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距離AC3米，則梯子長AB_米13.如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為2，如果將線段BD繞著點B旋轉(zhuǎn)后，點D落在CB的延長線上的 處，那么tanBAD等于_ 第13題圖 第15題圖14一次函數(shù)經(jīng)過(tan 45，tan 60)和(-cos 60，-6tan30)，則此一次函數(shù)的解析式為_15如圖所示，在ABC中，ACB90，CD是AB邊的中線，AC6，CD5，則sinA等于

19、_16已知是方程的一個根，是三角形的一個內(nèi)角，那么cos的值為_三、解答題17. 為了緩解長沙市區(qū)內(nèi)一些主要路段交通擁擠的現(xiàn)狀，交警隊在一些主要路口設立了交通路況顯示牌(如圖所示)已知立桿AB高度是3 m，從側(cè)面D點測得顯示牌頂端C點和底端B點的仰角分別是60和45求路況顯示牌BC的高度 18如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABDC8，B60，BC12，連接AC(1)求tanACB的值；(2)若M、N分別是AB、DC的中點，連接MN，求線段MN的長19如圖所示，點E、C在BF上，BEFC，ABCDEF45，AD90 (1)求證：ABDE；(2)若AC交DE于M，且AB，ME，將線段CE繞

20、點C順時針旋轉(zhuǎn)，使點E旋轉(zhuǎn)到AB上的G處，求旋轉(zhuǎn)角ECG的度數(shù) 20. 如圖所示，AB是O的直徑，點C在BA的延長線上，直線CD與O相切于點D，弦DFAB于點E，線段CD10，連接BD (1)求證：CDE2B； (2)若BD:AB:2，求O的半徑及DF的長 【答案與解析】一、選擇題1.【答案】A；【解析】由知 2.【答案】D；【解析】在RtABC中，設所對的邊為a，斜邊為c，鄰邊為b則， ，而， m1.3.【答案】B；【解析】因為ADDC，所以DACDCA，又 ADBC， DACACB，所以DCAACB在RtACB中，ACBCcosBCA，則4.【答案】B；【解析】DEAB，在RtADE中，c

21、osA設AD5k，則AE3k，DE4k，又ADAB，BE2k，tanDBE5.【答案】B；【解析】如圖所示，連結BD，由三角形中位線定理得BD2EF224，又BC5，CD3， CD2+BD2BC2 BDC是直角三角形且BDC90， 6.【答案】C；【解析】， B60，A906030，7【答案】B；【解析】由上圖知，在RtABC中，8【答案】D；【解析】有兩種情況：當A為銳角時，如圖(1)，sin A，A30；當A為鈍角時，如圖(2)，sin(180BAC)，180BAC30，BAC150二、填空題9【答案】； 【解析】原式10【答案】5；【解析】在RtABC中，ADBC，所以CADB，又 AD

22、4，AC511【答案】；【解析】過作于點D，在Rt中，設，則，BC=2x,BD=3x. 12【答案】4 ； 【解析】由，知，AB4米13【答案】； 【解析】由題意知在RtABD中，14【答案】；【解析】tan 451, tan60，-cos60，-6tan30設ykx+b經(jīng)過點、，則用待定系數(shù)法可求出，15【答案】；【解析】CD是RtABC斜邊上的中線，AB2CD2510，BC，16【答案】 ； 【解析】由方程解的意義，知，故，從而，則三、解答題17.【答案與解析】 在RADB中，BDA45，AB3， DA3在RtADC中，CDA60，CAAD，BCCABA()m 答：路況顯示牌BC的高度是(

23、)m18.【答案與解析】 (1)如圖所示，作AEBC于E，則BEABcos B8cos 60AEABsin B8sin 60ECBCBE1248在RtACE中，tanACB(2)作DFBC于F，則AEDF， ADEF， 四邊形AEFD是矩形ADEF ABDC， BDCF又AEBDFC90，ABEDCF(AAS)FCBE4，EFBCBEFC4AD4MN(AD+BC)(4+12)819.【答案與解析】 (1)證明：BEFC，BCEF 又ABCDEF，AD， ABCDEFABDE (2)解：DEFB45，DEABCMEA90ACAB，MCMECGCE2在RtCAG中，ACG30ECGACBACB45

24、301520.【答案與解析】(1)連接OD，直線CD與O相切于點D，ODCD，CD090，CDE+ODE90又DFAB，DEODEC90，EOD+ODE90CDEEOD又EOD2B；CDE2B(2)連接ADAB是O的直徑，ADB90BD:AB:2，在RtADB中，B30，AOD2B60又CDO90，C30，在RtCDO中，CD10， OD10tan 30即O的半徑為在RtCDE中，CD10，C30，DECDsin 305 弦DF直徑AB于點E， DEEFDF， DF2DE10鞏固練習（三）一、選擇題1. 計算tan 60+2sin 452cos 30的結果是( ) A2 B C D12如圖所示

25、，ABC中，AC5，則ABC的面積是( )A B12 C14 D213如圖所示，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則tan的值為( )A B C D 第2題圖 第3題圖 第4題圖4如圖所示，小明要測量河內(nèi)小島B到河邊公路的距離，在A點測得BAD30，在C點測得BCD60，又測得AC50米，那么小島B到公路的距離為( ) A25米 B米 C米 D米5如圖所示，將圓桶中的水倒入一個直徑為40 cm，高為55 cm的圓口容器中，圓桶放置的角度與水平線的夾角為45要使容器中的水面與圓桶相接觸，則容器中水的深度至少應為( ) A10 cm B20 cm C30 cm

26、 D35 cm6如圖所示，已知坡面的坡度，則坡角為( ) A15 B20 C30 D45 第5題圖 第6題圖 第7題圖7如圖所示，在高為2 m，坡角為30的樓梯上鋪地毯，則地毯的長度至少應為( )A4 m B6 m Cm D8因為，所以；因為，所以，由此猜想，推理知：一般地，當為銳角時有sin(180+)-sin，由此可知：sin240( ) A B C D二、填空題9如圖，若AC、BD的延長線交于點E，則= ；= 10如圖，ADCD，AB=10，BC=20，A=C=30，則AD的長為 ；CD的長為 . 第9題圖 第10題圖 第11題圖11如圖所示，已知直線，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如

27、果正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上，則_12如果方程的兩個根分別是RtABC的兩條邊，ABC最小的角為A，那么tanA的值為_ _13. 已知，則銳角的取值范圍是_ _14. 在ABC中，AB8，ABC30，AC5，則BC_ _15. 如圖，直徑為10的A經(jīng)過點C(0,5)和點O (0,0)，B是y軸右側(cè)A優(yōu)弧上一點,則OBC 的余弦值為 . 第15題圖 第16題圖16. 如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，DBC=45，翻折梯形ABCD，使點B重合于點D，折痕分別交邊AB、BC于點F、E，若AD=2，BC=8.則(1)BE的長為 . (2)CDE的正切值為 .三、解答題17如圖所示，

28、以線段AB為直徑的O交線段AC于點E，點M是的中點，OM交AC于點D，BOE60，cos C，BC (1)求A的度數(shù)；(2)求證：BC是O的切線；(3)求MD的長度 18. 如圖所示，要在木里縣某林場東西方向的兩地之間修一條公路MN，已知C點周圍200米范圍內(nèi)為原始森林保護區(qū)，在MN上的點A處測得C在A的北偏東45方向上，從A向東走600米到達B處，測得C在點B的北偏西60方向上 (1)MN是否穿過原始森林保護區(qū)?為什么?(參考數(shù)據(jù)：1.732) (2)若修路工程順利進行，要使修路工程比原計劃提前5天完成，需將原定的工作效率提高25，則原計劃完成這項工程需要多少天? 19如圖所示，圓O的直徑為

29、5，在圓O上位于直徑AB的異側(cè)有定點C和動點P，已知BC:CA4:3，點P在半圓弧AB上運動(不與A、B重合)，過C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點 (1)求證：ACCDPCBC； (2)當點P運動到AB弧中點時，求CD的長；(3)當點P運動到什么位置時，PCD的面積最大？并求這個最大面積S 20. 如圖所示，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發(fā)沿DE方向運動，過點P作PQBC于Q，過點Q作QRBA交AC于R，當點Q與點C重合時，點P停止運動設BQx，QRy (1)求點D到BC的距離DH的長； (2)求y關于x的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量

30、的取值范圍)； (3)是否存在點P，使PQR為等腰三角形?若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由 【答案與解析】一、選擇題1.【答案】C；【解析】tan 60+2sin 452cos 30 2.【答案】A；【解析】過A作ADBC于D，因為，所以B45，所以ADBD，因為，所以， BDAD3，所以，所以BCBD+DC7，. 3.【答案】B；【解析】旋轉(zhuǎn)后的三角形與原三角形全等，得BB，然后將B放在以BC為斜邊，直角邊在網(wǎng)格線上的直角三角形中，B的對邊為1，鄰邊為3，tan BtanB4.【答案】B；【解析】依題意知BCAC50米，小島B到公路的距離，就是過B作的垂線，即是BE的

31、長，在RtBCE中，BEBCsin 6050(米)，因此選B5.【答案】D；【解析】如圖，ABD是等腰直角三角形，過A點作ACBD于C，則ABC45，ACBC，則所求深度為552035(cm)6.【答案】C；【解析】， 7【答案】D；【解析】地毯長度等于兩直角邊長之和，高為2 m，寬為(m)，則地毯的總長至少為m8【答案】C；【解析】sin 240sin(180+60)-sin 60二、填空題9【答案】cosCEB=；tanCEB=【解析】如圖，連結BC，則ACB=90，易證ECDEBA， cosCEB= tanCEB= 第9題答案圖 第10題答案圖10【答案】5+10；10+5.【解析】過B

32、點分別作BEAD，BFCD，垂足分別為E、F，則得BF=ED，BE=DF. 在RtAEB中，A=30，AB=10， AE=ABcos30=10=5， BE=ABsin30=10=5. 又在RtBFC中，C=30，BC=20， BF=BC=20=10， CF=BCcos30=20=10. AD=AE+ED=5+10， CD=CF+FD=10+5.11【答案】；【解析】設AB邊與直線的交點為E， ，且相鄰兩條平行直線間的距離都是1，則E為AB的中點，在RtAED中，ADE，AD2AE設AEk，則AD2k， 12【答案】或； 【解析】由得x11，x23當1，3為直角邊時，則tan A；當3為斜邊時，則另一直角邊為 13【答案】030； 【解析】由題意知，故，即sinsin 30，由正弦函數(shù)是增函數(shù)知03014【答案】或；【解析】因ABC的形狀不是唯一的，當ABC是銳角三角形時，如圖所示，作AHBC于H，在RtABH中AHA