第-4-章--數(shù)據(jù)的概括性度量

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)第 4 章 數(shù)據(jù)的概括性度量名人名言 胸中有“數(shù)”。就是說，對情況和問題一定要注意到它們的數(shù)量方面，要有基本的數(shù)量分析。任何質(zhì)量都表現(xiàn)為一定的數(shù)量，沒有數(shù)量也就沒有質(zhì)量。我們有許多同志至今不懂得注意事物的數(shù)量方面，不懂得注意基本的統(tǒng)計、主要的百分比，不懂得注意決定事物質(zhì)量的數(shù)量界限，一切都是胸中無“數(shù)”，結(jié)果就不能不犯錯誤。毛澤東第 4 章 數(shù)據(jù)的概括性度量4.1 總規(guī)模度量4.2 比較度量 4.3 集中趨勢的度量 4.4 離散程度的度量4.5 偏態(tài)與峰態(tài)的度量學(xué)習(xí)目標(biāo)

2、總量指標(biāo)的種類相對指標(biāo)的種類及計算方法集中趨勢各測度值的計算方法集中趨勢各測度值的特點(diǎn)及應(yīng)用場合離散程度各測度值的計算方法離散程度各測度值的特點(diǎn)及應(yīng)用場合偏態(tài)與峰態(tài)的測度方法用Excel計算描述統(tǒng)計量并進(jìn)行分析一、總量指標(biāo)概述二、總量指標(biāo)的種類一、總量指標(biāo)概念總量指標(biāo)：是反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一定時間、地點(diǎn)條件下總規(guī)?；蚩偹降慕y(tǒng)計指標(biāo)。也稱為絕對指標(biāo)或絕對數(shù)。 如：2009年我國年末人口數(shù)為萬人、 國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)億元、 財政收入68518億元、糧食產(chǎn)量53082萬噸二、總量指標(biāo)的種類 1、按反映的內(nèi)容不同，可分為：總體單位總量：一個總體中所包含的總體單位總數(shù)，表示總體本身的規(guī)模大小?？傮w

3、標(biāo)志總量：總體中各單位某一數(shù)量標(biāo)志值的總和，表示總體某一數(shù)量特征的總量。例如：研究某市工業(yè)企業(yè)的發(fā)展情況，總體是？工業(yè)企業(yè)總數(shù)是？工業(yè)企業(yè)實現(xiàn)的銷售額是？全部工業(yè)職工人數(shù)是？ 總量指標(biāo)的種類2、按反映的時間狀態(tài)不同，分為時期指標(biāo)：說明總體在一段時間內(nèi)累積的總量 例如：銷售收入、生產(chǎn)量、工資總額時點(diǎn)指標(biāo)：說明總體在某一時刻的數(shù)量狀態(tài) 例如：職工人數(shù)、庫存量、固定資產(chǎn)余額總量指標(biāo)的種類時期指標(biāo)和時點(diǎn)指標(biāo)的區(qū)別：時期指標(biāo)的數(shù)值是連續(xù)計數(shù)的，時點(diǎn)指標(biāo)的數(shù)值是間斷計數(shù)的。時期指標(biāo)具有可加性，時點(diǎn)指標(biāo)不能直接累加。時期指標(biāo)數(shù)值的大小與時間長短有直接關(guān)系，時間越長，數(shù)值越大；時點(diǎn)指標(biāo)數(shù)值的大小與時間長短沒有

4、直接關(guān)系。總量指標(biāo)的種類3、按采用的計量單位不同，分為（1）實物指標(biāo)：以實物單位計量的總量指標(biāo)。自然單位：按照自然狀態(tài)計量的單位 。如：輛、雙 度量衡單位：根據(jù)國內(nèi)或國際上通行的度量衡制度進(jìn)行計量的單位 。例如：千克、米、公里標(biāo)準(zhǔn)實物單位：按照統(tǒng)一的折算標(biāo)準(zhǔn)來度量的一種計量單位。如：標(biāo)準(zhǔn)煤、標(biāo)準(zhǔn)化肥復(fù)合單位：將兩種計量單位結(jié)合在一起進(jìn)行計量的單位 。 如：噸公里、千瓦時雙重或多重單位：同時采用兩種或兩種以上計量單位進(jìn)行計量的單位。 如：臺千瓦 、艘/馬力/噸位 總量指標(biāo)的種類（2）價值指標(biāo)：以貨幣為單位來計量的總量指標(biāo)。如：國內(nèi)生產(chǎn)總值、銷售收入、產(chǎn)品成本等 。（3）勞動指標(biāo)：以勞動單位為計量

5、單位的總量指標(biāo)。 如：“工時”、“工日 ”等 4.2 比較度量一、相對指標(biāo)概述二、相對指標(biāo)的種類及計算方法一、相對指標(biāo)概述“對比乃統(tǒng)計方法之母”（一）概念相對指標(biāo)：又稱相對數(shù)，是兩個有聯(lián)系的指標(biāo)的比值，用以說明兩個相互聯(lián)系的社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的數(shù)量對比關(guān)系和聯(lián)系程度。如：2009年國內(nèi)生產(chǎn)總值同比增長8.43%，人口自然增長率為5.05，城鎮(zhèn)居民人均可支配收入17175元，城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)為36.5%等 一、相對指標(biāo)概述（二）相對指標(biāo)的表現(xiàn)形式：1、有名數(shù)（復(fù)合單位）如：人平方公里、元人、元件2、無名數(shù) 系數(shù)和倍數(shù)、成數(shù)、百分?jǐn)?shù)、千分?jǐn)?shù)、翻番數(shù)二、相對指標(biāo)種類及計算方法（一）計劃完成相對數(shù)

6、也稱計劃完成百分比，用來檢查、監(jiān)督計劃的執(zhí)行情況，通常用百分?jǐn)?shù)表示?；居嬎愎綖椋?二、相對指標(biāo)種類及計算方法1、計劃數(shù)是絕對數(shù)（長期計劃）水平法：適用于反映生產(chǎn)能力的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)計劃完成情況檢查。如鋼產(chǎn)量、煤產(chǎn)量、發(fā)電量等二、相對指標(biāo)種類及計算方法（一）計劃完成相對數(shù)（一）計劃完成相對數(shù)例：某企業(yè)計劃要求勞動生產(chǎn)率達(dá)到5000元/人，某種產(chǎn)品的計劃單位成本為100元，該企業(yè)實際勞動生產(chǎn)率達(dá)到6000元/人，實際單位成本為80元，則計劃完成程度指標(biāo)為勞動生產(chǎn)率完成相對數(shù)=60005000100%=120%單位成本計劃完成相對數(shù)=80100 100%=80%（二）結(jié)構(gòu)相對數(shù)結(jié)構(gòu)相對數(shù)：也稱比重相對

7、數(shù)，反映總體構(gòu)成情況。一般用百分?jǐn)?shù)或系數(shù)（成數(shù)）表示。結(jié)構(gòu)相對數(shù) 我國國內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成情況表（%） 恩 格 爾 系 數(shù)中國城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)（%）：2000年：城鎮(zhèn)39.4 ；農(nóng)村49.1；2001年：城鎮(zhèn)38.2 ；農(nóng)村47.7；2002年：城鎮(zhèn)37.7 ；農(nóng)村46.2；2003年：城鎮(zhèn)37.1 ；農(nóng)村45.6；2004年：城鎮(zhèn)37.7 ；農(nóng)村47.2；2005年：城鎮(zhèn)36.7 ；農(nóng)村45.5；2006年：城鎮(zhèn)35.8 ；農(nóng)村43.0；2007年：城鎮(zhèn)36.3 ；農(nóng)村43.1；2008年：城鎮(zhèn)37.9 ；農(nóng)村43.7；2009年：城鎮(zhèn)36.5 ；農(nóng)村41.0。（三）比例相對數(shù)比例相對數(shù)：表明

8、總體內(nèi)各組成部分之間的對比關(guān)系。常用系數(shù)或倍數(shù)表示。公式為： （四）比較相對數(shù)比較相對數(shù)：反映同一時期的同類現(xiàn)象在不同地區(qū)、部門和單位之間數(shù)量對比關(guān)系的相對指標(biāo) 。用倍數(shù)、百分?jǐn)?shù)表示。（五）強(qiáng)度相對數(shù)強(qiáng)度相對數(shù)：兩個性質(zhì)不同但又互相聯(lián)系的總量指標(biāo)對比的比值，反映現(xiàn)象的強(qiáng)度、密度或普遍程度。 一般用復(fù)名數(shù)或百分?jǐn)?shù)、千分?jǐn)?shù)表示。（五）強(qiáng)度相對數(shù)例1： 2009年我國總?cè)丝谌f人，則人口密度：139人平方公里或 0.0072平方公里人例2：某地區(qū)2009年總?cè)丝跒?200萬人，有60000個零售商業(yè)機(jī)構(gòu)，則該地區(qū)零售網(wǎng)點(diǎn)密度指標(biāo)為：正指標(biāo)：該地區(qū)零售網(wǎng)點(diǎn)密度120060000200（人個）逆指標(biāo)：該地

9、區(qū)零售網(wǎng)點(diǎn)密度60000120050（個萬人）（六）動態(tài)相對數(shù)動態(tài)相對數(shù)又稱發(fā)展速度，是同一現(xiàn)象在不同時間上的指標(biāo)數(shù)值的比值 ，說明某一總體發(fā)展變化的方向和程度。 一般用百分?jǐn)?shù)表示，或倍數(shù)，翻番。三、運(yùn)用相對指標(biāo)應(yīng)遵循的原則可比性原則。遵從可比性是進(jìn)行對比應(yīng)把握的總原則。正確選擇對比基數(shù)的原則。同一現(xiàn)象、問題采用不同的對比基數(shù)會有不同的結(jié)果。多種相對指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用的原則。多角度、多側(cè)面運(yùn)用多種相對數(shù)和相關(guān)指標(biāo)比較。相對指標(biāo)與總量指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用的原則。相對數(shù)相同，基數(shù)不同，絕對差很懸殊4.3 集中趨勢的度量一、位置平均數(shù)二、數(shù)值平均數(shù)三、各種平均數(shù)之間的關(guān)系統(tǒng)計應(yīng)用一組測量的平均數(shù)比單個的測量更可靠

10、 即使用一種很準(zhǔn)確、很可靠的儀器對同一物體進(jìn)行重復(fù)測量，由于一些無法控制的因素的影響，每次得到的結(jié)果也不見得一樣(美國)國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)協(xié)會(NISTNational Institute of Standards and Technology)的原子鐘非常準(zhǔn)確，它的準(zhǔn)確程度是每600萬年誤差1秒，但也并不是百分之百準(zhǔn)確世界標(biāo)準(zhǔn)時間是世界協(xié)調(diào)時間(Universal Coordinated Time)，它是由位于法國的塞夫爾的國際計量局(BIPM)所“編輯”的。BIPM并沒有比NIST更好的鐘，它給出的時間是根據(jù)世界各地200個原子鐘的平均時間得來的統(tǒng)計應(yīng)用一組測量的平均數(shù)比單個的測量更可靠下面是

11、NIST的時間與正確時間的10個誤差數(shù)據(jù)(秒)長期來講，對時間的度量并沒有偏差。NIST的秒有時比BIPM的短，有時比BIPM的長，并不是都較短或較長。盡管NIST的測量很準(zhǔn)確，但從上面的數(shù)字還是可以看出有些差異。世界上沒有百分之百可靠的度量，但用多次測量的平均數(shù)比只用一次測量的結(jié)果可靠程度會更高。這就是BIPM要結(jié)合很多原子鐘的時間的原因集中趨勢(central tendency)一、位置平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、四分位數(shù)（一）眾數(shù)(mode)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值不受極端值的影響適合于數(shù)據(jù)量較多時使用可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)眾數(shù)(不唯一性)無眾數(shù)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8分類

12、數(shù)據(jù)的眾數(shù) (例題分析)數(shù)值型數(shù)據(jù)的眾數(shù) (例題分析)【例4-2】在某城市中隨機(jī)抽取9個家庭，調(diào)查得到每個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)如下（單位：元）。要求計算人均月收入的眾數(shù)。原始數(shù)據(jù): 1080 750 1080 1080 850 960 2000 1250 1630 Mo1080數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(要點(diǎn)及計算公式)數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(算例)（二）中位數(shù)(median)一組數(shù)據(jù)排序后，處于中間位置上的變量值中位數(shù)(位置的確定)未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(計算公式)未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (9個數(shù)據(jù)的算例)【例4-4】 9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960

13、2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (10個數(shù)據(jù)的算例)【例4-5】 10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 660 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(要點(diǎn)及計算公式)根據(jù)位置公式（N/2）確定中位數(shù)所在的組采用下列近似公式計算（向上累積）：

14、數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(算例)（三）四分位數(shù)(quartile)1.排序后處于25%和75%位置上的值四分位數(shù)(位置的確定)未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (9個數(shù)據(jù)的算例)【例4-7】 9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (10個數(shù)據(jù)的算例)【例4-8】 10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù) 1500 750 780 660 1080 850 960 2000 1250

15、1630排 序 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)(計算公式) QL位置120/430二、數(shù)值平均數(shù)（一）算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic Mean） 也稱為均值(mean)消除了觀測值的隨機(jī)波動一組數(shù)據(jù)的均衡點(diǎn)所在4. 易受極端值的影響5. 分為 :簡單算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)（一）算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic Mean） 簡單算術(shù)平均數(shù)（例題）【例4-10】一家汽車零售店的15名銷售人員6月份銷售的汽車數(shù)量（單位：臺）為：7、10、10、4、12、14、2、15

16、、10、9、12、5、11、2、3，試計算它們的平均銷售量。 2、加權(quán)算術(shù)平均數(shù) (weighted mean)已改至此！加權(quán)算術(shù)平均數(shù)(權(quán)數(shù)對均值的影響) 甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績及其分布數(shù)據(jù)如下 甲組： 考試成績（x ）: 60 80 100 人數(shù)分布（f ）：1 1 8 乙組： 考試成績（x）: 60 80 100 人數(shù)分布（f ）：8 1 1影響加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的因素一是各組變量值(xi) 的大??；二是各組頻數(shù)(fi) 占總體單位數(shù)的比重。公式變形：以頻率為權(quán)數(shù)計算均值（算例）【例4-12】某企業(yè)60名工人月工資分組情況如下表, 試計算月平均工資 某企業(yè)60名工人月工資分組

17、表3、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)性質(zhì)1. 各變量值與均值的離差之和等于零均值(數(shù)學(xué)性質(zhì))性質(zhì)2. 各變量值與均值的離差平方和最小數(shù)學(xué)性質(zhì)證明證明：設(shè)X0為不等于均值的任意數(shù)，C為常數(shù)， （二）調(diào)和平均數(shù)(harmonic mean)1.易受極端值的影響2. 分為：簡單調(diào)和平均數(shù)、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)1、簡單調(diào)和平均數(shù)【例4-14】某種蔬菜的價格，甲集市4.5元/千克，乙集市4元/千克，丙集市5.5元/千克。若在三個集市各買1元，求蔬菜的平均價格。 簡單調(diào)和平均數(shù)簡單調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)。計算公式為： 2、加權(quán)調(diào)和平均數(shù) 在上例中，如果在甲集市花費(fèi)8元，乙集市花費(fèi)10元，丙集市花費(fèi)5元，購買這些蔬菜的平

18、均價格是多少？ 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù) (例題分析)（三）幾何平均數(shù)(geometric mean)1. n 個變量值乘積的 n 次方根2. 適用于比率數(shù)據(jù)的平均3. 計算公式為（三）幾何平均數(shù)(概念要點(diǎn))6、加權(quán)幾何平均數(shù)計算公式為簡單幾何平均數(shù)(算例)【例4-16】某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品須經(jīng)過毛坯、粗加工、精加工、裝配四個連續(xù)作業(yè)車間才能完成，若6月份每個車間的產(chǎn)品合格率分別為95%、92%、90%、85%，求該產(chǎn)品的企業(yè)合格率（即四個車間的平均合格率）是多少？幾何平均數(shù) (例題分析) 【例4-17】一位投資者購持有一種股票，在20052008年收益率分別為4.5%、2.1%、5.5%、10

19、.9%。計算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率 。加權(quán)幾何平均數(shù)(算例)【例4-18】某投資銀行某筆投資的年利率是按復(fù)利計算的，若將過去25年的利率資料整理如下表所示的變量數(shù)列，求25年的平均年利率。投資年利率分組表 加權(quán)幾何平均數(shù)(算例)用加權(quán)幾何平均法求25年的平均本利率：三、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系眾數(shù)、中位數(shù)和均值的特點(diǎn)和應(yīng)用眾數(shù)不受極端值影響具有不唯一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大且有明顯峰值時代表性較好中位數(shù)不受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時代表性較好平均數(shù)易受極端值影響數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良，實際中最常用數(shù)據(jù)對稱分布或接近對稱分布時代表性較好他被忽悠了嗎？ 李小姐有一個小工廠

20、，管理人員有李小姐、6個親戚;工作人員有5個領(lǐng)工、10個工人和1名學(xué)徒?，F(xiàn)在需要增加一個新的工人。小張應(yīng)征而來，與李小姐交談。李小姐說：“我們這里的報酬不錯，平均工資是每周300元?！?小張工作幾天后，找到李小姐說：“你欺騙了我，我已經(jīng)問過其他工人，沒有一個工人的工資超過每周200元，平均工資怎么可能是一周300元呢?”李小姐說：“小張，平均工資是300元，不信，你看這張工資表。” 他被忽悠了嗎？請大家思考下列問題：(1)李小姐說每周平均工資300元是否欺騙了小張?(2)平均工資300元能否客觀地反映工人的平均收入?(3)若不能，你認(rèn)為應(yīng)該用什么工資反映比較合適? 離中趨勢一、異眾比率異眾比率

21、(variation ratio)非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率用于衡量眾數(shù)的代表性3.計算公式為異眾比率 (例題分析)二、四分位差四分位差(quartile deviation)也稱為內(nèi)距或四分間距上、下四分位數(shù)之差：Qd = QU QL反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度不受極端值的影響用于衡量中位數(shù)的代表性四分位差 (10個數(shù)據(jù)的算例)【例4-20】 10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù) 1500 750 780 660 1080 850 960 2000 1250 1630排 序 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5

22、 6 7 8 9 10 三、極差和平均差（一）極差（全距）(range)1. 一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差 R = max(xi) - min(xi)2. 易受極端值影響未考慮數(shù)據(jù)的分布極差（全距）(range)【例4-21】 9個應(yīng)屆畢業(yè)生的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): 800 750 900 980 1020 950 2000 1050 1000排 序: 750 800 880 900 950 1000 1020 1050 2000R = max(xi) - min(xi)=2000-750=1250元（二）平均差(mean deviation)1. 各變量值與其均值離差絕對值的平均數(shù)2. 能

23、全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度3. 數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實際中應(yīng)用較少平均差 (例題分析)平均差 (例題分析)四、方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差和標(biāo)準(zhǔn)差(variance and standard deviation)1. 反映了各變量值與均值的平均差異根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算的，稱為總體方差（標(biāo)準(zhǔn)差），記為2() ； 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，稱為樣本方差（標(biāo)準(zhǔn)差），記為s2(s)（一）總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差 (population variance and standard deviation)總體標(biāo)準(zhǔn)差 (例題分析)總體標(biāo)準(zhǔn)差 (例題分析)（二）樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差 (simple variance and standard devi

24、ation)樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差 (例題分析)例如：計算9名員工的月工資收入的方差和標(biāo)準(zhǔn)差1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630樣本標(biāo)準(zhǔn)差 (例題分析)樣本標(biāo)準(zhǔn)差 (例題分析)標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用 標(biāo)準(zhǔn)差具有量綱,與變量值的計量單位相同,其實際意義比方差清楚。因此,在對社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行分析時，更多地使用標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差度量風(fēng)險（投資方面）標(biāo)準(zhǔn)差度量產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)差度量企業(yè)的生產(chǎn)及服務(wù)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)6質(zhì)量意謂著什么？ 6質(zhì)量管理的有關(guān)資料（美國統(tǒng)計數(shù)據(jù)） 當(dāng)今，美國公司的平均水平：醫(yī)院開藥方的準(zhǔn)確率為2.6 ；飯店帳單的準(zhǔn)確率不足3；公司計算工資單的準(zhǔn)確率約3；機(jī)場行李

25、卸載與提取的準(zhǔn)確率接近3.2；航空安全的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)平均為9 (三)是非標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差 有些事物或現(xiàn)象的特征只表現(xiàn)為兩種性質(zhì)上的差異,稱為是非標(biāo)志或交替標(biāo)志。例如:性別表現(xiàn)為男或女；產(chǎn)品質(zhì)量表現(xiàn)為合格或不合格;學(xué)生成績表現(xiàn)為及格或不及格。比例（或成數(shù)）1、比例（成數(shù)）：總體中具有或不具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)占全部單位數(shù)的比重稱為比例（成數(shù)）。 N1 ：總體中具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)， N0 ：總體中不具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)， N ：總體單位數(shù)總體比例：= N1 / N 或 1- = N0 / N樣本比例： p = n1 / n 或 1- p = n0 / n2、比例的平均數(shù)和方差 1表示具有某種標(biāo)志表現(xiàn)

26、 0表示不具有某種標(biāo)志表現(xiàn)是非標(biāo)志的方差和標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差為：比例方差和標(biāo)準(zhǔn)差（例題）【例4-24】從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量測試，測試結(jié)果為96件合格，4件不合格，試計算該批產(chǎn)品合格率的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)資料可得： P=96/100=96% 1-p=4%五、相對位置的測量：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(一 )標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(standard score)1. 也稱標(biāo)準(zhǔn)化值2. 對某一個值在一組數(shù)據(jù)中相對位置的度量3. 可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn)(outlier)4. 用于對變量的標(biāo)準(zhǔn)化處理5. 計算公式為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(性質(zhì))1、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)反映各數(shù)據(jù)以平均數(shù)為中心的相對位置： Z0， 即 Xi ； Z0，

27、即 Xi ； Z = 0， 即 Xi =2、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)不改變原數(shù)據(jù)大小的位序，若XiXj，則必有ZiZj標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(性質(zhì))標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的均值等于02. 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的方差等于1標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(性質(zhì)) z分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換，它并沒有改變一個數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的位置，也沒有改變該組數(shù)據(jù)分布的形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?，標(biāo)準(zhǔn)差為1。 標(biāo)準(zhǔn)化值 (例題分析)（二）經(jīng)驗法則經(jīng)驗法則表明：當(dāng)一組數(shù)據(jù)對稱分布時約有68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減1個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)約有95%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減2個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)約有99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減3個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) 在3個標(biāo)準(zhǔn)差之外的數(shù)據(jù)，在統(tǒng)計上稱為異常值或離群點(diǎn)(

28、outlier)經(jīng)驗法則(例題分析)（二）經(jīng)驗法則【例4-26】液體清潔劑是在生產(chǎn)線上自動填充的，填充的重量呈鐘形分布。如果平均重量為500克，標(biāo)準(zhǔn)差是5克，利用經(jīng)驗法則可得出下面結(jié)論：大約68%的清潔劑填充重量在495克至505克之間大約95%的清潔劑填充重量在490克至510克之間大約99%的清潔劑填充重量在485克至515克之間（三）切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality )適用于任何分布形狀的數(shù)據(jù)。提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少”。對于任意分布形態(tài)的數(shù)據(jù)，根據(jù)切比雪夫不等式，至少有 （1-1/k2） 的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)k個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。其中k是大于1的任意

29、值，但不必一定是整數(shù)。切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality )對于k=2，3，4，該不等式的含義是至少有75%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減2個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)至少有89%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減3個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)至少有94%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減4個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)切比雪夫不等式（例題）【例4-27】假設(shè)100名學(xué)生在統(tǒng)計學(xué)原理考試中，平均分?jǐn)?shù)為70分，標(biāo)準(zhǔn)差為5，那么有多少學(xué)生的分?jǐn)?shù)在6080之間？有多少學(xué)生的分?jǐn)?shù)在5882之間？（1）k=（60-70）/5=-2 k=（80-70）/5=2在100個學(xué)生中至少75人的分?jǐn)?shù)在6080之間。（2）k=（58-70）/5=-2.4，k=（82-70）/5=2.4根據(jù)切比雪夫定理： 1-1/k2=1-1/2.42=0.826即至少有82.6%的學(xué)生的分?jǐn)?shù)在5882之間。五、相對離散程度：離散系數(shù)離散系數(shù)(coefficient of variation)1.標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比對數(shù)據(jù)相對離散程度的測度消除了數(shù)據(jù)水平高低和計量單位的影響4.用于對不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較5. 計算公式為離散系數(shù) (例題分析)離散系數(shù) (例題分析)