全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽金牌教練高中奧數(shù)輔導(dǎo)第八講復(fù)數(shù)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽金牌教練員講座蘭州一中數(shù)學(xué)組第八講復(fù)數(shù)知識、方法、技能I復(fù)數(shù)的四種表示形式代數(shù)形式：zabi(a,bR）幾何形式：復(fù)平面上的點(diǎn)Z（a,b）或由原點(diǎn)出發(fā)的向量OZ.三角形式：zr(cosisin),r0,0R.指數(shù)形式：zrei.復(fù)數(shù)的以上幾種形式，溝通了代數(shù)、三角、幾何等學(xué)科間的聯(lián)系，使人們應(yīng)用復(fù)數(shù)解決相關(guān)問題成為現(xiàn)實(shí).II復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則加、減法：(abi)(cdi)(ac)(bd)i;乘法：(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i;除法：snsnsr(coisi)r(coisi)rrco()isin();111222121212abiacbdbcadi

2、(cdi0).cbic2d2c2d2r(cosisin)rr(cosisin)r1111cos()isin().12122222乘方：r(cosisin)nrn(cosnisinn)(nN）；開方：復(fù)數(shù)r(cosisin)的n次方根是nr(cos2kisin2k)(k0,1,n1).nnIII復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)|z|Re(z)|,|z|Im(z)|;|zzz|z|z|z|;12n12n|z1|z2|z|1|z|2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載(z0);2|z|z|zz|,與復(fù)數(shù)z、z對應(yīng)的向量OZ、OZ反向時取等號；12121212|zzz|z|z|z|，與復(fù)數(shù)z,z,z對應(yīng)的向量12n12

3、n12nOZ,OZ,OZ同時取等號.12n共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)zz|z|2|z|2；zz2Re(z),zz2Im(z)；zzzzzz；1212zzzz；1211(z1z2)z1z2(z0);2z是實(shí)數(shù)的充要條件是zz,z是純虛的充要條件是zz(z0).復(fù)數(shù)解題的常用方法與思想（1）兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部、虛部對應(yīng)相等，或者它們的模與輻角主值相等（輻角相差2的整數(shù)倍）.利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，可以把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，從而獲得解決問題的一種途徑.（2）復(fù)數(shù)的模也是將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化的有效方法之一.善于利用模的性質(zhì)，是模運(yùn)算中的一個突出方面.賽題精講例1：設(shè)m、n為非零實(shí)數(shù)，i為虛單位，z

4、C，則方程|zni|zmi|n與|zni|zmi|m如圖I181，在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形（F1、F2是焦點(diǎn)）是（）學(xué)習(xí)好資料歡迎下載圖I181【思路分析】可根據(jù)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡的定義；也可根據(jù)m、n的取值討論進(jìn)行求解.【略解】由復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡的定義，得方程在復(fù)平面上表示以點(diǎn)ni,mi為焦點(diǎn)的橢圓，n0,故n0.這表明，至少有一焦點(diǎn)在下半虛軸上，可見（A）不真.又由方程，橢圓的長軸之長為n，|F1F2|0.（1）若n0,m0.這時，在坐標(biāo)平面上，F(xiàn)1（0，n），F(xiàn)2（0，m），只可能為圖象（C），但與|F1F2|m|.故在（B）與（D）中，均有F1:ni；F2:mi，且m0.由方程，雙曲線上的點(diǎn)

5、應(yīng)滿足到F2點(diǎn)的距離小于該點(diǎn)到F1點(diǎn)的距離.答案：（B）（【評述】1）本題涉及的知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)平面上的曲線與方程，橢圓，雙曲線，共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線，討論法.（2）本題屬于讀圖題型兩種解法均為基本方法：解法中前者為定義法；后者為分類討論法.,arg(z24),則z的值是.例2：若zC,arg(z24)563【思路分析】本題可由已知條件入手求出復(fù)數(shù)z的模，繼而求出復(fù)數(shù)；也可由幾何意義入手來求復(fù)數(shù)z.【略解】令z24(cos155isin),6633z24(cosisin),2(0,0)12學(xué)習(xí)好資料歡迎下載22221221222得8(12310,2138,1331)i(),12解得4

6、,43,代入后，21+得2z24(13i),z2(cosisin)(13i).33【別解】如圖I182，ODz2.過D作與實(shí)軸平行的直線AB，取AD=BD=4，則OAz24,OBz24.xOA5,xOB.63從而BOA2.在RtAOB中,|AD|DB|OD|4,2xODxOBBOD2xOB,322z24(cosisin),33z2(cosisin)33(13i)【評述】本題的兩種解法中，前者應(yīng)用了復(fù)數(shù)的三角形式；后者應(yīng)用了復(fù)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，形象直觀.例3：x的二次方程x2zxzm0中,z、z、m均是復(fù)數(shù)，且z24z1620i.121212設(shè)這個方程的兩個根為、，且滿足|27.求|m|的

7、最大值和最小值.【解法1】根據(jù)韋達(dá)定理有z,1z2m.圖I18341學(xué)習(xí)好資料歡迎下載()2()24z24z4m,12|2|4m(z24z)|28.121|m(z24z)|7,2即|m(45i)|7.這表明復(fù)數(shù)m在以A（4，5）為圓心，以7為半徑的圓周上如圖I183所示.|OA|4252417,故原點(diǎn)O在A之內(nèi).連接OA，延長交A于兩點(diǎn)B與C，則|OB|=|OA|+|AB|=417為|m|最大值.|OC|=|CA|AO|=741為|m|最小值.|m|的最大值是417,|m|的最小值是741.【解法2】同解法1，得|m(45i)|7,令mxyi(x,yR）.x7cos4,則y7sin5.|m|2

8、x2y29056cos70sin41cos901441(4541sin)【解法3】根據(jù)韋達(dá)定理，有901441sin(),其中sin4.41|m|的最大值=901441741,|m|的最小值=901441741.z1z2m.()2()24z24z4m，12|2|4m(z24z)|4m(1620i)|28.12學(xué)習(xí)好資料歡迎下載即|m(45i)|7.|m|m(45i)(45i)|m(45i)|45i|741.等號成立的充要條件是m(45i)與(45i)的輻角主值相差，即m(45i)7(4415i),所以當(dāng)m(741)(441415i)時,|m|取最小值741.41【評述】三種解法，各有千秋.解法

9、1運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，揭示復(fù)數(shù)m的幾何意義，直觀清晰；解法2則活用三角知識，把56cos70sin化為角“”的正弦；解法3運(yùn)用不.等式中等號成立的條件獲得答案；三種解法從不同側(cè)面刻面了本題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征例4：若Mz|zt1ti,tR，t1,t0,Nz|z21tt由9zzzz18cos,得cos.2這里i.cos(arcsint)icos(arccost),tR，|t|1,則MN中元素的個數(shù)為A0B1C2D4解法同本章一的練習(xí)第4題.例5：設(shè)復(fù)數(shù)z,z滿足|z|zz|3,|zz|33,則1211212log|(zz)2000(zz)2000|.21212【思路分析】應(yīng)先設(shè)法求出(zz)2000(zz

10、)2000的值.112【評述】由題設(shè)知9|zz|2|z|2|z|2zzzz,1212121229|zz|2|z|2|z|2(zzzz).12121212因?yàn)閨z|3,故|z|3,zzzz9,并且|zz|zz|9.1212121212設(shè)zz9(cosisin),則zz9(cosisin).121211212于是zz9或者zz9212121322（）學(xué)習(xí)好資料歡迎下載當(dāng)zz9時,可得(zz)2000(zz)200092000,121212故log|(zz)2000(zz)2000|4000.21212當(dāng)zz92時，可得同樣結(jié)果，故答案4000.12【評述】此題屬填空題中的難題，故解題時應(yīng)仔細(xì).例6

11、：設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為z,z,z,則復(fù)1220數(shù)z1995,z1995,z1995所對應(yīng)的不同的點(diǎn)的個數(shù)是（）1220A4B5C10D20【思路分析】如題設(shè)可知，應(yīng)設(shè)z201.故解題中應(yīng)注意分解因式.k【解法1】因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心不同的點(diǎn)的個數(shù)，所以不失一般性可設(shè)z201.由z601，有kk0z601(z151)(z151)(z15i)(z15i),kkkkkz151,z151,z15i,z15i.kkkk【答案】A.【解法2】由z201,則0z201(z51)(z51)(z5i)(z5i),kkkkkk可知z5只有4個取值，而z15=（z5）3的取值不會增

12、加，則B、C、D均應(yīng)排除，故應(yīng)kkk選A.【評述】上述兩個解法均為基本方法.思維的起點(diǎn)是不失一般性設(shè)z201，于是可用直接法k（解法1）和排除法（解法2）.針對性訓(xùn)練題1設(shè)x是模為1的復(fù)數(shù)，則函數(shù)f(x)x21x23的最小值為（）A5B1C2D32若復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系|z2|2|z4i|212,則z對應(yīng)的復(fù)平面的點(diǎn)Z的軌跡是（）A圓B橢圓C雙曲線D直線3已知復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式|z2|3，則復(fù)數(shù)z的輻角主值的范圍是（）3A0,B53,2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載55D0,C0,2,233334設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為z,z,z,則復(fù)數(shù)1220z1995,z1995,z1995所對應(yīng)的不同的點(diǎn)的個數(shù)是1220（）A4B5C10D205設(shè)n