全國第八屆青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課教學(xué)設(shè)計任意角的三角函數(shù)4

1、121任意角的三角函數(shù)【教學(xué)內(nèi)容解析】三角函數(shù)是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，是對函數(shù)模型的豐富，是對函數(shù)概念，性質(zhì)，圖像變換及函數(shù)應(yīng)用的進一步深化，是函數(shù)概念的下位知識。三角函數(shù)在物理學(xué)、天文學(xué)、地理學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實際問題的重要工具，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的基礎(chǔ)，因此，通過本章的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。余本節(jié)之前學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和任意角弧度制，本節(jié)之后還要接著研究三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)解決一些簡單的具有周期現(xiàn)象的實際問題。而本節(jié)內(nèi)容是研究三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容具有承上啟下的作用。任意角三角函數(shù)

2、概念的重點是借助單位圓上點的圓周運動理解任意角的正弦、弦的定義，它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，解決這一重點的關(guān)鍵是在直角坐標(biāo)系中，借助單位圓、象限角等知識，抽象概括出三角函數(shù)，在這一過程中，學(xué)生可以感受到數(shù)形結(jié)合、運動變化、對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法【教學(xué)目標(biāo)設(shè)置】21、通過大量實例，認識到定義任意角三角函數(shù)的必要性；、借助單位圓上的圓周運動，抽象概括出任意角正弦、余弦定義，并體會命名的合理性；能根據(jù)定義求特殊角的三角函數(shù)值。3、在抽象概括三角函模型的過程中，體會數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想?！緦W(xué)生學(xué)情分析】進初中學(xué)習(xí)了函數(shù)的初步概念，研究了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，入高中后從集合與對應(yīng)的觀

3、點重新刻畫了函數(shù)的概念，研究了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)。學(xué)生已具備了學(xué)習(xí)和研究一個新函數(shù)的知識基礎(chǔ)和初步能力。本節(jié)課之前的任意角和弧度制，學(xué)生已經(jīng)知道了角的弧度數(shù)與實數(shù)一一對應(yīng)，這為學(xué)生學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)。三角函數(shù)是“從角的集合到坐標(biāo)分量的集合”的對應(yīng)關(guān)系，所以學(xué)生對任意角三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的理解要比從前學(xué)過的特殊函數(shù)困難些，這是教學(xué)的一個難點，所以需要借助單位圓上的圓周運動以直觀的幾何方式給出定義，通過合理的設(shè)計問題串突破該難點。教學(xué)的另一個難點是，任意角三角函數(shù)的定義域是角的集合（或它的子集），需要“把角的集合轉(zhuǎn)化為實數(shù)集”回顧前一節(jié)的弧度制學(xué)生可以自行解決該

4、難點，并也體現(xiàn)了引入弧度制的必要性?！窘虒W(xué)重點、難點】重點：借助單位圓上點的圓周運動生成理解任意角的正弦、余弦的定義；能根據(jù)定義求特殊角的三角函數(shù)值。難點：從單位圓上點的圓周運動這一模型中尋找變量并抽象概括出函數(shù)?！窘虒W(xué)策略分析】“任意角三角函數(shù)的概念”是“函數(shù)概念”的下位概念，學(xué)生的學(xué)習(xí)是下位學(xué)習(xí)（一般函數(shù)概念下的具體函數(shù)），為了更好地突出“任意角三角函數(shù)的函數(shù)性”和“三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學(xué)模型這一本質(zhì)”，并能根據(jù)定義進行簡單求值，所以在教學(xué)策略上，我以“函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型”為指導(dǎo)思想，以圓周運動這一數(shù)學(xué)模型為教學(xué)起點，調(diào)動象限角、弧度制、單位圓、銳角三角函數(shù)等相關(guān)

5、知識，從該模型中尋找變量抽象概括出任意角三角函數(shù)的概念。故在本課時中我對人教A版的教材及相關(guān)材料做如下處理。內(nèi)容上：第一課時只講解正弦、余弦函數(shù)的定義。（因為正弦、余弦函數(shù)是一對起源于圓周運動，密切配合的周期函數(shù)，）結(jié)構(gòu)上：通過實例體現(xiàn)“函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型”并發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型不夠用了，進而利用單位圓上的圓周運動，由老師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生尋找變量并抽象概括出任意角正弦、余弦的定義，而不是利用以直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)定義來引課。理由如下：（1）銳角三角函數(shù)以比值為函數(shù)值，是研究三角形各種幾何量之間的關(guān)系而發(fā)展起來“的；任意角三角函數(shù)以坐標(biāo)分量為函數(shù)值，是研究現(xiàn)實生活中的周期現(xiàn)象而

6、發(fā)展起來的，他們研究的對象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同。所以我們不能簡單地認為任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化）又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的限定”。（2）在任意角三角函數(shù)的概念形成之前，如果通過回顧初中的三角形中的銳角三角函數(shù)定義，之后坐標(biāo)化、長度單位化、角的任意化，最后給出定義，這樣處理容易給學(xué)生造成定義任意角三角函數(shù)離不開銳角三角函數(shù)的錯覺，沖淡任意角正弦、余弦的函數(shù)性，可能導(dǎo)致學(xué)生無法把任意角的三角函數(shù)納入到函數(shù)的概念中。這樣處理可以讓學(xué)生直觀地理解三角函的概念，體會把三角函數(shù)稱作“圓函數(shù)”的原因，并為后續(xù)的性質(zhì)、圖像的學(xué)習(xí)帶來方便，也可以讓學(xué)生更好地體會

7、數(shù)形結(jié)合、運動變化、對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想?；谝陨霞敖Y(jié)合學(xué)生知識水平,年齡特點，教師首先展示大量實例，體會引入新函數(shù)模型的必要性；通過幾何畫板演示圓周運動，教師問題串引導(dǎo)，以學(xué)生活動為主線,給學(xué)生留下思考的空間，自主發(fā)現(xiàn)，抽象概括出任意角的正弦、余弦的定義，并讓學(xué)生探究該命名的合理性（數(shù)學(xué)中新的概念或法則的引進，我們總是希望其與原有的概念或法則是相容的），使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師的指導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位?！窘虒W(xué)流程】一、情境引入、提出問題1、師：必修一我們學(xué)習(xí)了函數(shù)，通過學(xué)習(xí)我們知道函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。（列舉大量實例，利用ppt師生互動）如：（1）鉛球如何

8、能擲的更遠、投籃如何更準(zhǔn)，那我們就要研究拋物運動，拋物運動用什么函數(shù)模型來刻畫？（2）必修一學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，他們分別是刻畫那些具有“指數(shù)爆炸”對數(shù)增長”現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。2、（師：在現(xiàn)實世界中還有這樣一類現(xiàn)象，同學(xué)們請看。ppt展示圖片）師生總結(jié)出晝夜更替，四季變化，潮汐變化，月相變化等。師：這類現(xiàn)象有什么樣的共同特點？生：都具有周而復(fù)始的特點。師：很好，這種現(xiàn)象我們叫做周期現(xiàn)象。周期現(xiàn)象在現(xiàn)實生活中大量存在，時刻影響著我們的生活，為了使我們的生活更加美好、看清現(xiàn)象的本質(zhì)。我們很有必要研究周期現(xiàn)象，同學(xué)們思考，已有的這些函數(shù)模型能否刻畫這種周期性現(xiàn)象呢？師：函數(shù)模型不夠用了，這節(jié)課我們

9、就尋找新的函數(shù)模型來刻畫現(xiàn)實生活中的周期現(xiàn)象?！驹O(shè)計意圖】用數(shù)學(xué)的觀點，函數(shù)的視角看待自然現(xiàn)象和客觀世界運行規(guī)律，體現(xiàn)函數(shù)的重要性，定義新函數(shù)的必要性。二、構(gòu)建模型、尋找函數(shù)（一）準(zhǔn)備工作（引進圓周運動，坐標(biāo)系，圓的單位化）師：剛才我們所舉的周期現(xiàn)象的例子，是如何引起的？生A：（可能略作思考）由旋轉(zhuǎn)引起的。師：是一種什么運動？生A：圓周運動老師表述：在“周而復(fù)始”現(xiàn)象中，最典型的是圓周運動【圓上的點P的每轉(zhuǎn)一周（2弧度）就回到原來的位置】。數(shù)學(xué)中，研究一類現(xiàn)象，我們往往從簡單而本質(zhì)的情形入手。因此，本節(jié)課我們就從圓周運動中抽象概括出刻畫周期現(xiàn)象的函數(shù)模型。師：要從圓周運動中抽象概括出函數(shù)代數(shù)表

10、達式，我們還缺什么工具？【幾何畫板展示、引出坐標(biāo)系，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想】師：平面直角坐標(biāo)系是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁，是實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵。坐標(biāo)系放在什么位置合適？【建立恰當(dāng)直角坐標(biāo)系】師：在研究點P的周期特性時，了研究方便，我們不妨取圓的半徑op=1，我們把以原點為圓心，單位長為半徑的圓叫單位圓【將圓單位化】(板書單位圓）（二）尋找變量，構(gòu)建函數(shù)師：要用函數(shù)刻畫周期現(xiàn)象，就離不開變量。在坐標(biāo)系中，哪些變量能刻畫單位圓上點P的變化規(guī)律呢？（學(xué)生可能回答坐標(biāo)，弧長，時間等，根據(jù)情況具體討論）生:P點的坐標(biāo)師：坐標(biāo)可以很好的刻畫點p的位置，請同學(xué)們思考，能否用變量x和y建立一個函數(shù)關(guān)系式刻畫點P在單

11、位圓上的變化規(guī)律？（學(xué)生可能說用x2y21刻畫，可問學(xué)生其是函數(shù)么？能體P點運動的現(xiàn)周期特性么？）師：x，y之間不能構(gòu)成函數(shù)，所以要構(gòu)造函數(shù)我們還缺少變量。請同學(xué)們思考，還有什么變量能刻畫p點運動的周期特性呢？各小組討論，并說說合理性。生：可以用角來描述p點運動的周期特性。師：什么樣的角？生：射線OP旋轉(zhuǎn)所成的角，就是上一節(jié)課的任意角。師：這時點P可以看成角終邊與單位圓的交點，這個角是如何體現(xiàn)P點運動的周期特性呢？生：終邊旋轉(zhuǎn)2弧度又回到原來位置，可以周而復(fù)始的旋轉(zhuǎn)下去。師：給予表揚，請坐（結(jié)合幾何畫板總結(jié)）終邊每旋轉(zhuǎn)2弧度，P點就回到原來位置體現(xiàn)了周期性。逆時針旋轉(zhuǎn)可以用正角刻畫，順時針旋轉(zhuǎn)

12、可以用負角刻畫，不旋轉(zhuǎn)用零角刻畫，并且P點可以無限地旋轉(zhuǎn)下去，所以我們可以用任意角去刻畫P點的周期變化規(guī)律。（三）聯(lián)系變量，構(gòu)造函數(shù)師：接下來請同學(xué)們思考，角與坐標(biāo)分量x，y分別有什么樣的對應(yīng)關(guān)系呢？能否構(gòu)造出函數(shù)？請各小組討論，最后給出成果。生：角和變量x，y有兩個對應(yīng)關(guān)系對于任意一個角都有唯一確定的橫坐標(biāo)x與之對應(yīng)；對于任意一個角都有唯一確定的縱坐標(biāo)y與之對應(yīng).師：（板書并問）任一唯一x,任一唯一y以誰為自變量，以誰為函數(shù)值的函數(shù)？生：角是自變量，坐標(biāo)分量為函數(shù)值的兩個函數(shù)！師：（不妨記為xf()；yg()）老師有個疑問？角是實數(shù)么？生：是，他的弧度數(shù)是個實數(shù)。師：很好，請坐?；《戎葡?，任

13、意角的集合就是實數(shù)集R,看來引入弧度制是很有必要的。單位圓上的坐標(biāo)分量x，y取值集合是什么？答-1,1,師：哪位同學(xué)從集合與對應(yīng)的角度來描述一下這兩個函數(shù)？生：對于R中的任意一個實數(shù)，都有-1,1中唯一確定的數(shù)x與之對應(yīng)；同理師：（表揚）上述對應(yīng)滿足函數(shù)的定義，即是以角的弧度數(shù)為自變量，以角的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)分量為函數(shù)值的函數(shù)?！驹O(shè)計意圖】1、這部分是本節(jié)課的重點也是難點，結(jié)合函數(shù)概念、象限角、弧度制等知識，通過幾何畫板的直觀演示，達到突出重點突破難點的目的。2、利用單位圓上的圓周運動尋找任意角三角函數(shù)概念，在概念的形成過程中，體會函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想。三、生成概念、恰當(dāng)命名師：上述

14、兩個函數(shù)密切配，很好地刻畫了做圓周運動的點P的周期特性，這么重要的函【數(shù)同學(xué)們考慮給他們起個具體的名字吧，并給一個記號。小組討論?！可簒叫做的余弦，記作xcos；y叫做的正弦，記作ysin.合理性：（學(xué)生闡述）老師說明：這樣命名前后一致，具有合理性。一般地，在數(shù)學(xué)中，當(dāng)我們引進一個新的概念或法則時，我們總是希望它與已有的概念或法則相容。因為角是任意角，所以這節(jié)課我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是（板書標(biāo)題）我們給出任意角的三角函數(shù)的完整定義。（板書）老師總結(jié)：至此，利用圓周運動同學(xué)們構(gòu)建了任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，每隔2弧度，P點坐重復(fù)出現(xiàn)，所以這兩個函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象最有表現(xiàn)力的函數(shù)，因為起源于圓周運動，我們也稱他倆也被稱為圓函數(shù)?！驹O(shè)計意圖】1、定義的合理性。2、通過積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，體會合情猜測的重要性，并從中感悟數(shù)學(xué)概念的嚴謹性與科學(xué)性；四、例題分析，鞏固提高練習(xí)1：完成下列表格:20sin32cos求5例1.3的正弦、余弦值.總結(jié)：求任意角的正余弦值關(guān)鍵是要求其終邊與單圓的交點坐標(biāo)?！驹O(shè)計意圖】能根據(jù)定義求特殊角的三角函數(shù)值。已知角的終邊經(jīng)過點P(3,4)，求角的正弦、余弦值.例