FIR濾波器的研究與實(shí)現(xiàn)知識(shí)分享

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。FIR濾波器的研究與實(shí)現(xiàn)-1引言隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)字信號(hào)處理已成為一個(gè)極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。在通信、語(yǔ)音、圖像、自動(dòng)控制和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。數(shù)字濾波是數(shù)字信號(hào)處理的重要環(huán)節(jié)，它在數(shù)字信號(hào)處理中占有著重要的地位,它具有可靠性好、精度高、靈活性大、體積小、重量輕等優(yōu)點(diǎn)。隨著數(shù)字技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字濾波器越來(lái)越受到人們的重視，廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。數(shù)字濾波器的輸入輸出信號(hào)都是數(shù)字信號(hào)，它是通過(guò)一定的運(yùn)算過(guò)程改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波的，這種運(yùn)算過(guò)

2、程是由乘法器、加法器和單位延遲器組成的。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的重要內(nèi)容，其對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行的最常見(jiàn)處理是保留數(shù)字信號(hào)中的有用頻率成分和去除信號(hào)中的無(wú)用頻率成分。按照時(shí)間域的特性，數(shù)字濾波器可以分為無(wú)限沖激脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（IIR濾波器）和有限沖激脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（FIR濾波器）SKIPIF10。從性能上來(lái)說(shuō)，IIR濾波器傳輸函數(shù)的極點(diǎn)可位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，所以經(jīng)濟(jì)而效率高。但是這個(gè)高效率是以相位的非線性為代價(jià)的。選擇性越好，則相位非線性越嚴(yán)重。相反，F(xiàn)IR濾波器卻可以得到嚴(yán)格的線性相位，然而由于FIR濾波器傳輸函數(shù)的極點(diǎn)固定在原

3、點(diǎn)，所以只能用較高的階數(shù)達(dá)到高的選擇性。對(duì)于同樣的濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)，F(xiàn)IR濾波器所要求的階數(shù)可以比IIR濾波器高510倍。結(jié)果，成本較高，信號(hào)延時(shí)也較大；如果按相同的選擇性和相同的線性要求來(lái)說(shuō)，則IIR濾波器就必須加全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位較正，同樣要增加濾波器的節(jié)數(shù)和復(fù)雜性。從結(jié)構(gòu)上來(lái)說(shuō)，IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點(diǎn)位置必須在單位圓內(nèi)，否則系統(tǒng)將不穩(wěn)定。另外，在這種結(jié)構(gòu)中，由于運(yùn)算過(guò)程中對(duì)序列的舍入處理，這種有限字長(zhǎng)效應(yīng)有時(shí)會(huì)引入寄生振蕩。相反，F(xiàn)IR濾波器主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，不論在理論上還是在實(shí)際的有限精度運(yùn)算中都不存在穩(wěn)定性問(wèn)題，運(yùn)算誤差也較小SKIPIF10。此外，F(xiàn)IR濾波器可以采用快速

4、傅里葉變換算法，在相同階數(shù)的條件下，運(yùn)算速度可以快得多。從設(shè)計(jì)工具上來(lái)說(shuō)，IIR濾波器可以借助模擬濾波器的成果，因此一般都有有效的封閉形式的設(shè)計(jì)公式可供參考，計(jì)算工作量比較小，而且對(duì)計(jì)算工具的要求不高；FIR濾波器一般沒(méi)有封閉形式的設(shè)計(jì)工具。窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器也僅給出了窗函數(shù)的計(jì)算公式，但是在計(jì)算通帶阻帶衰減時(shí)無(wú)明顯表達(dá)式。一般FIR濾波器的設(shè)計(jì)只有計(jì)算程序可循，因此它對(duì)計(jì)算工具要求較高。另外，相比IIR，F(xiàn)IR系統(tǒng)只有零點(diǎn)，因此系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，所以能夠獲得嚴(yán)格的線性相位。IIR濾波器雖然設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，但主要用于設(shè)計(jì)具有片段常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻等，往往脫離不了模擬濾波器

5、的格局。而FIR濾波器則要靈活得多，易于實(shí)現(xiàn)某些特殊功能的應(yīng)用。綜上所述，IIR和FIR濾波器各有所長(zhǎng)，所以在實(shí)際應(yīng)用中，選擇濾波器型號(hào)時(shí)，應(yīng)該從多方面加以考慮。FIR數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn),大體可以分為軟件和硬件實(shí)現(xiàn)兩種。軟件方法速度慢，難以對(duì)信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)處理，雖然可以用快速傅立葉變換算法來(lái)加快計(jì)算速度,但很難達(dá)到實(shí)時(shí)處理的要求，因而多用于教學(xué)與科研。硬件實(shí)現(xiàn)主要采用以下兩種方法:（1）采用DSP（DigitalSignalProcessing）處理器來(lái)實(shí)現(xiàn)。（2）采用固定功能的專(zhuān)用信號(hào)處理器。但這兩種方法實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較困難。FIR相對(duì)于IIR濾波器有許多獨(dú)特的優(yōu)越性，在保證滿足濾波器幅頻響應(yīng)要求的

6、同時(shí)還可獲得嚴(yán)格的線性相位特性，從而保持穩(wěn)定。對(duì)非線性相位FIR濾波器一般可以用IIR濾波器來(lái)代替。由于在數(shù)據(jù)通信、語(yǔ)音信號(hào)處理、圖像處理以及自適應(yīng)處理等領(lǐng)域往往要求信號(hào)在傳輸過(guò)程中不能有明顯的相位失真,而IIR存在頻率色散的問(wèn)題，所以FIR濾波器獲得了更廣泛的應(yīng)用。隨著通信與信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字信號(hào)處理在該領(lǐng)域顯得越來(lái)越重要。同時(shí)數(shù)字信號(hào)處理在語(yǔ)音、自動(dòng)控制、航空航天和家用電器等領(lǐng)域也得到了廣泛應(yīng)用，它已成為當(dāng)今一門(mén)極其重要的學(xué)科和技術(shù)。在數(shù)字信號(hào)處理中起重要作用并獲得廣泛應(yīng)用的是數(shù)字濾波器，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ)。MatlabMatrixlaborator是美國(guó)MathWorks公

7、司推出的具有強(qiáng)大數(shù)值分析、矩陣運(yùn)算、圖形繪制和數(shù)據(jù)處理等功能的軟件，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用到教學(xué)、科研、工程設(shè)計(jì)等領(lǐng)域SKIPIF10。隨著Matlab軟件信號(hào)處理工具箱的推出，Matlab已成為信息處理，特別是數(shù)字信號(hào)處理DSP應(yīng)用中分析和設(shè)計(jì)的主要工具。就Matlab信號(hào)處理中的濾波器設(shè)計(jì)而言，在很大程度上能快速有效地實(shí)現(xiàn)濾波器的分析、設(shè)計(jì)及仿真，大大節(jié)約了設(shè)計(jì)時(shí)間，相對(duì)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)而言，簡(jiǎn)化了濾波器設(shè)計(jì)難度。2FIR數(shù)字濾波器的特性FIR數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)SKIPIF10的Z變換為：SKIPIF10（2-1）其中濾波器最重要的兩個(gè)特性為線性相位特性和幅度特性。2.1FIR濾波器的線性相位特性由式（2

8、-1）可以看出，H（z）是SKIPIF10的N-1次多項(xiàng)式，它在z平面內(nèi)有N-1個(gè)零點(diǎn)，同時(shí)在原點(diǎn)有N-1個(gè)重極點(diǎn)。因?yàn)镕IR數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，所以它永遠(yuǎn)都是穩(wěn)定的。在數(shù)字信號(hào)處理的許多領(lǐng)域中，常常要求濾波器具有線性相位，達(dá)到這一要求，僅需要對(duì)FIR數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)SKIPIF10施加一定的約束SKIPIF10。令SKIPIF10，就可由SKIPIF10得到FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：SKIPIF10（2-2）式中SKIPIF10是SKIPIF10的幅頻特性，SKIPIF10是SKIPIF10的相頻特性SKIPIF10（2-3）當(dāng)要求濾波器具有嚴(yán)格的線性相位，或者說(shuō)具有相

9、位不失真時(shí)，應(yīng)有：SKIPIF10（2-4）即SKIPIF10（2-5）也即SKIPIF10（2-6）將式（2-6）展開(kāi)可得：SKIPIF10（2-7）式（2-7）的左邊具有傅里葉級(jí)數(shù)的形式。由于FIR數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)SKIPIF10為實(shí)數(shù)，若SKIPIF10呈偶對(duì)稱(chēng)，即SKIPIF10（2-8a）其對(duì)稱(chēng)中心在SKIPIF10（2-9）此時(shí)有SKIPIF10（2-10）因此：SKIPIF10（2-11）根據(jù)式（2-2），有SKIPIF10(2-12a)SKIPIF10（2-12b）若SKIPIF10呈奇對(duì)稱(chēng)，SKIPIF10（2-8b）其對(duì)稱(chēng)中心也在SKIPIF10處。此時(shí)有：SKIPIF

10、10（2-13a）SKIPIF10（2-13b）即SKIPIF10呈奇對(duì)稱(chēng)的濾波器相位與SKIPIF10呈偶對(duì)稱(chēng)的相位產(chǎn)生了SKIPIF10的相移。式（2-8）和式（2-9）是FIR數(shù)字濾波器具有線性相位的充要條件。即它要求FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)SKIPIF10的序列必須滿足式（2-8）所表示的特定的對(duì)稱(chēng)性，其相位延遲等于SKIPIF10長(zhǎng)度的一半，即SKIPIF10個(gè)采樣周期。具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器既有恒定的延遲群，又有恒定的相延遲。2.2FIR濾波器的幅頻特性FIR濾波器的幅頻特性可以分為以下4種情況：（1）SKIPIF10為偶對(duì)稱(chēng)，且N為奇數(shù)(型濾波器）當(dāng)SKIPIF10

11、為偶對(duì)稱(chēng)，且N為奇數(shù)時(shí)，根據(jù)式（2-12）濾波器的幅頻函數(shù)可以表示為：SKIPIF10（2-14）其中SKIPIF10，SKIPIF10。此時(shí)，SKIPIF10對(duì)SKIPIF10呈偶對(duì)稱(chēng)。型濾波器的幅頻函數(shù)可以通過(guò)例程2-1的MATLAB語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，曲線圖如圖2.1所示。例程2-1型濾波器幅頻函數(shù)FunctionHr,w,a,L=hr_type1(h);%計(jì)算所設(shè)計(jì)的型濾波器的振幅響應(yīng)%Hr=振幅響應(yīng)%a=型濾波器的系數(shù)%L=Hr的階次%h=型濾波器的單位沖激響應(yīng)M=length(h);L=(M-1)/2;a=h(L+1)2*h(L:-1:1);n=0:1:L;w=0:1:500*2*pi/50

12、0;Hr=cos(w*n)*a;t=-3.14:0.314:3.14;h=cos(t);Hr,w,a,L=hr_type1(h);plot(Hr)圖2.1型濾波器幅頻函數(shù)（2）SKIPIF10為偶對(duì)稱(chēng)，且N為偶數(shù)（型濾波器）當(dāng)SKIPIF10為偶對(duì)稱(chēng)，且N為偶數(shù)時(shí)，根據(jù)式（2-12）濾波器的幅頻函數(shù)可以表示為：SKIPIF10（2-15）其中：SKIPIF10。此時(shí)SKIPIF10對(duì)SKIPIF10呈奇對(duì)稱(chēng)。但是SKIPIF10，故高通濾波器不能用這種方法實(shí)現(xiàn)。型濾波器的幅頻函數(shù)可以通過(guò)例程2-2的MATLAB語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，曲線圖如圖2.2所示。例程2-2型濾波器幅頻函數(shù)functionHr,w,

13、b,L=hr_type2(h);%計(jì)算所設(shè)計(jì)的型濾波器的振幅響應(yīng)%Hr=振幅響應(yīng)%a=型濾波器的系數(shù)%L=Hr的階次%h=型濾波器的單位沖激響應(yīng)M=length(h);L=M/2;b=2*h(L:-1:1);n=1:1:L;n=n-0.5;w=0:1:500*2*pi/500;Hr=cos(w*n)*b;t=-3.14:0.33:3.14;h=cos(t);Hr,w,b,L=hr_type2(h);plot(Hr)圖2.2型濾波器幅頻函數(shù)（3）SKIPIF10為奇對(duì)稱(chēng)，且N為奇數(shù)（型濾波器）當(dāng)SKIPIF10為奇對(duì)稱(chēng)，且為奇數(shù)時(shí)，根據(jù)式（2-13）濾波器的幅頻函數(shù)可以表示為：SKIPIF10（

14、2-16）其中SKIPIF10。此時(shí)SKIPIF10對(duì)SKIPIF10呈奇對(duì)稱(chēng)。但是當(dāng)SKIPIF10時(shí)，SKIPIF10，所以低通、高通濾波器不能采用這種形式。型濾波器的幅頻函數(shù)可以通過(guò)例程2-3的MATLAB語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，曲線圖如圖2.3所示。例程2-3型濾波器幅頻函數(shù)functionHr,w,c,L=hr_type3(h);%計(jì)算所設(shè)計(jì)的型濾波器的振幅響應(yīng)%Hr=振幅響應(yīng)%b=型濾波器的系數(shù)%L=Hr的階次%h=型濾波器的單位沖激響應(yīng)M=length(h);L=(M-1)/2;c=2*h(L+1:-1:1);n=0:1:L;w=0:1:500*2*pi/500;Hr=sin(w*n)*c;t

15、=-3.14:0.314:3.14;h=sin(t);Hr,w,c,L=hr_type3(h);plot(Hr)圖2.3型濾波器幅頻函數(shù)4、SKIPIF10為奇對(duì)稱(chēng)，且N為偶數(shù)（型濾波器）當(dāng)SKIPIF10為奇對(duì)稱(chēng)，且N為偶數(shù)時(shí)，根據(jù)式(2-13)濾波器的幅頻函數(shù)可表示為：SKIPIF10（2-17）其中：SKIPIF10。此時(shí)SKIPIF10對(duì)SKIPIF10呈奇對(duì)稱(chēng)，對(duì)SKIPIF10呈偶對(duì)稱(chēng)。但是當(dāng)SKIPIF10時(shí)，SKIPIF10，所以低通濾波器不能采用這種形式。型濾波器的幅頻函數(shù)可以通過(guò)例程2-4的MATLAB語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，曲線圖如圖2.4所示。例程2-4型濾波器的幅頻函數(shù)functi

16、onHr,w,d,L=hr_type4(h);%計(jì)算所設(shè)計(jì)的型濾波器的振幅響應(yīng)%Hr=振幅響應(yīng)%d=型濾波器的系數(shù)%L=Hr的階次%h=型濾波器的單位沖激響應(yīng)M=length(h);L=M/2;d=2*h(L:-1:1);n=1:1:L;n=n-0.5;w=0:1:500*2*pi/500;Hr=sin(w*n)*d;t=-3.14:0.33:3.14;h=sin(t);Hr,w,d,L=hr_type4(h);plot(Hr)圖2.4型濾波器的幅頻函數(shù)3基于窗函數(shù)的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)3.1常用窗函數(shù)及MATLAB實(shí)現(xiàn)3.1.1矩形窗（Rectangularwindow）矩形窗函數(shù)的時(shí)域形式

17、可以表示為:SKIPIF10（3-1-1）它的頻域特性為：SKIPIF10（3-1-2）矩形窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線的MATLAB實(shí)現(xiàn)如例程3-1所示，曲線圖如圖3.1所示。例程3-1矩形窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線%drawtrectanglewindowtimeandfrequencyamplitudeclearall;N=64;w=rectwin(N);wvtool(w);圖3.1矩形窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線3.1.2三角窗（Triangularwindow）三角窗函數(shù)的時(shí)域形式可以表示為：當(dāng)窗長(zhǎng)N為奇數(shù)時(shí)：SKIPIF10（3-1-3）當(dāng)窗長(zhǎng)N為偶數(shù)時(shí)：SKI

18、PIF10（3-1-4）它的頻域特性為：SKIPIF10（3-1-5）三角窗函數(shù)的主瓣寬度為SKIPIF10，比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加一倍，但是它的旁瓣卻小得多。三角窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線的MATLAB實(shí)現(xiàn)如例程3-2所示，曲線圖如圖3.2所示。例程3-2三角窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線%drawtrianglewindowtimeandfrequencyamplitudeclearall;N=64;w=triang(N);wvtool(w);圖3.2三角窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線3.1.3漢寧窗（Hanningwindow）漢寧窗函數(shù)是余弦平方函數(shù)，又稱(chēng)之為升余弦

19、函數(shù)，它的時(shí)域形式可以表為：SKIPIF10（3-1-6）其中SKIPIF10。它的頻域幅度特性函數(shù)為：SKIPIF10（3-1-7）其中SKIPIF10為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。漢寧窗函數(shù)的最大旁瓣值比主瓣值低31dB，但是主瓣寬度比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加了一倍，為SKIPIF10。漢寧窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線的MATLAB實(shí)現(xiàn)如例程3-3所示，曲線圖如圖3.3所示。例程3-3漢寧窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線%drawhanningwindowtimeandfrequencyamplitudeclearall;N=64;w=hann(N);wvtool(w);圖3.3

20、漢寧窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線3.1.4海明窗（Hammingwindow）海明窗函數(shù)是一種改進(jìn)的升余弦函數(shù)，定義為：SKIPIF10（3-1-8）其中SKIPIF10。它的幅度頻率特性為：SKIPIF10（3-1-9）和漢寧窗（Hanningwindow）函數(shù)相比，海明窗函數(shù)的主瓣寬度和漢寧窗相同，但是它的旁瓣又被進(jìn)一步壓低，其最大旁瓣值比主瓣值低41dB。海明窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線的MATLAB實(shí)現(xiàn)如例程3-4所示，曲線圖如圖3.4所示。例程3-4海明窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線%drawhanningwindowtimeandfrequencyamplitude

21、clearall;N=64;w=hanning(N);wvtool(w);圖3.4海明窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線3.1.5布拉克曼窗（Blackmanwindow）為了進(jìn)一步抑制旁瓣，對(duì)升余弦函數(shù)再加上一個(gè)二次諧波的余弦分量，便得到了布拉克曼窗函數(shù)，也稱(chēng)之為二階升余弦函數(shù)。它的時(shí)域形式可以表示為：SKIPIF10（3-1-10）其中SKIPIF10。其幅度頻率特性為：SKIPIF10（3-1-11）其中SKIPIF10為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。布拉克曼窗函數(shù)主瓣的寬度是矩形窗函數(shù)主瓣寬度的三倍，為SKIPIF10。它的最大旁瓣值比主瓣值低57dB。布拉克曼窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅

22、度特性曲線的MATLAB實(shí)現(xiàn)如例程3-5所示，曲線圖如圖3.5所示。例程3-5布拉克曼窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線%drawblackmanwindowtimeandfrequencyamplitudeclearall;N=64;w=blackman(N);wvtool(w);圖3.5布拉克曼窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線3.1.6切比雪夫窗（Chebyshevwindow）切比雪夫窗又稱(chēng)Dolph-Chebyshev窗，它是由一個(gè)切比雪夫多項(xiàng)式在單位圓上作N點(diǎn)等間隔抽樣，然后再作DFT反變換得到的。當(dāng)給定窗的長(zhǎng)度N，最大旁瓣衰減r（切比雪夫窗函數(shù)傅里葉變換旁瓣幅度比主瓣低rdB），

23、則其3dB帶寬B的表達(dá)式為：SKIPIF10（3-1-12）切比雪夫窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線的MATLAB實(shí)現(xiàn)如例程3-6所示，曲線圖如圖3.6所示。例程3-6切比雪夫窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線%drawchebyshevwindowtimeandfrequencyamplitudeclearall;N=64;w=chebwin(N);wvtool(w);圖3.6切比雪夫窗函數(shù)的時(shí)域幅度與頻域幅度特性曲線3.2數(shù)字低通濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)假設(shè)理想低通數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)SKIPIF10如圖3.7所示，其幅頻特性為SKIPIF10。那么該濾波器的：SKIPIF10（3-2-1）式

24、中SKIPIF10表示截止頻率（rad），SKIPIF10表示采樣延遲。SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF100SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10低通SKIPIF101SKIPIF10圖3.7理想低通數(shù)字濾波器幅頻特性由此可得理想數(shù)字低通濾波器的單位沖激響應(yīng)SKIPIF10為：SKIPIF10（3-2-2）根據(jù)式（3-2-2），可知SKIPIF10為無(wú)限非因果序列，關(guān)于SKIPIF10對(duì)稱(chēng)。為了從SKIPIF10得到一個(gè)因果線性相位的FIR濾波器，必須利用有限長(zhǎng)度N的窗函數(shù)SKIPIF10對(duì)SKIPIF10進(jìn)行截取，截取后

25、的沖激響應(yīng)函數(shù)SKIPIF10可表示為：SKIPIF10（3-2-3）此時(shí)SKIPIF10為關(guān)于SKIPIF10偶對(duì)稱(chēng)的有限因果序列。當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，所設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字高通濾波器為型濾波器；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，為型濾波器。而SKIPIF10表示的濾波器的頻率特性為：SKIPIF10（3-2-4）SKIPIF10是否能夠很好地逼近SKIPIF10取決于窗函數(shù)的頻率特性SKIPIF10。若將理想濾波器的頻率響應(yīng)寫(xiě)成：SKIPIF10（3-2-5）其中幅度頻率特性：SKIPIF10（3-2-6）此時(shí)，SKIPIF10濾波器的頻率特性可表述為：SKIPIF10（3-2-7）由此可以得到所設(shè)計(jì)的濾波器的幅度頻率

26、特性為：SKIPIF10（3-2-8）由式（3-2-8）可見(jiàn)，對(duì)實(shí)際FIR濾波器SKIPIF10有影響的只是窗函數(shù)的幅度頻率特性SKIPIF10。實(shí)際中的FIR濾波器的幅度頻率特性，是理想低通濾波器的幅度頻率特性和窗函數(shù)的幅度頻率特性的復(fù)卷積。復(fù)卷積給SKIPIF10帶來(lái)過(guò)沖和波動(dòng)，所以加窗函數(shù)后，對(duì)濾波器的理想特性的影響有以下幾點(diǎn)：（1）SKIPIF10在截止頻率的間斷點(diǎn)變成了連續(xù)的曲線，使得SKIPIF10出現(xiàn)了一個(gè)過(guò)渡帶，它的寬度等于窗函數(shù)的主瓣寬度。由此可知，如果窗函數(shù)的主瓣越寬，過(guò)渡帶就越寬。（2）由于窗函數(shù)旁瓣的影響，使得濾波器的幅度頻率特性出現(xiàn)了波動(dòng)，波動(dòng)的幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅

27、度。旁瓣范圍的面積越大，通帶波動(dòng)和阻帶的波動(dòng)就越大，也就是說(shuō)阻帶的衰減越小。而波動(dòng)的多少，取決于旁瓣的多少。（3）增加窗函數(shù)的長(zhǎng)度，只能減少窗函數(shù)的幅度頻率特性SKIPIF10的主瓣寬度，而不能減少主板和旁瓣的相對(duì)值，該值取決于窗函數(shù)的形狀，即增加截取函數(shù)的長(zhǎng)度N只能相應(yīng)的減少過(guò)渡帶，而不能改變?yōu)V波器的波動(dòng)程度。為了滿足工程上的需要，可以通過(guò)改變窗函數(shù)的形狀來(lái)改善濾波器的幅度頻率特性，而窗函數(shù)的選擇原則是：具有較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣的幅度；旁瓣的幅度下降的速率要快，以利用增加阻帶的衰減；主板的寬度要窄，這樣可以得到比較窄的過(guò)渡帶。通常上述的幾點(diǎn)難以同時(shí)滿足。當(dāng)選用主板寬度較窄時(shí)，雖然能

28、夠得到比較陡峭，但是通帶和阻帶的波動(dòng)明顯增加。當(dāng)選用比較小的旁瓣幅度時(shí)，雖然能夠得到比較平坦和勻滑的幅度頻率響應(yīng)，但是過(guò)渡帶將加寬，因此實(shí)際中選用的窗函數(shù)往往是它們的折中。在保證主瓣的寬度達(dá)到一定要求的條件下，適當(dāng)犧牲主瓣的寬度來(lái)?yè)Q取旁瓣的波動(dòng)減少SKIPIF10。以上是從幅度頻率特性設(shè)計(jì)方面對(duì)窗函數(shù)提出的要求，實(shí)際中設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器往往要求是線性相位的，因此要求SKIPIF10滿足線性相位的條件，即要求SKIPIF10滿足：SKIPIF10（3-2-9）所以窗函數(shù)不僅有截短的作用，而且能夠起到平滑的作用，在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用。型理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)SKIPIF10計(jì)算的MATLA

29、B實(shí)現(xiàn)如例程3-9，曲線圖如圖3.9所示。例程3-9型理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)SKIPIF10計(jì)算functionhd=ideal_lp(Wc,N)%computetheideallowpassfiterunitpulserespondencehd(n)%wc:cutofffrequency%N:windowlength%hd:unitpulserespondencealpha=(N-1)/2;n=0:1:N-1;m=n-alpha+eps;hd=sin(Wc*m)./(pi*m);Wc=100;N=128;hd=ideal_lp(Wc,N);plot(hd);圖3.9型理想低通濾波器的單

30、位沖激響應(yīng)4、基于頻率抽樣法的FIR濾波器設(shè)計(jì)窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器是從時(shí)域出發(fā)的，把理想濾波器的單位取樣響應(yīng)SKIPIF10用合適的窗函數(shù)截短成為有限長(zhǎng)度的SKIPIF10，使得SKIPIF10逼近理想的SKIPIF10。以實(shí)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)SKIPIF10逼近于理想濾波器的頻率響應(yīng)SKIPIF10。一個(gè)有限長(zhǎng)的序列，如果滿足頻率采樣定理的條件，可以通過(guò)頻譜的有限個(gè)采樣點(diǎn)的值準(zhǔn)確地恢復(fù)。頻率抽樣法正是采用這種思想來(lái)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的SKIPIF10。設(shè)理想濾波器的頻率響應(yīng)是SKIPIF10，它在連續(xù)頻率SKIPIF10的周期函數(shù)?，F(xiàn)對(duì)其抽樣，使每一個(gè)周期有N個(gè)抽樣值，即：S

31、KIPIF10（4-1）對(duì)SKIPIF10作IDFT,可得到N點(diǎn)的單位抽樣序列SKIPIF10，即：SKIPIF10（4-2）將SKIPIF10作為所設(shè)計(jì)濾波器的單位沖激響應(yīng)，這樣就可以求出該濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)，即：SKIPIF10（4-3）當(dāng)然SKIPIF10也可以用SKIPIF10來(lái)表示，將（4-2）代入式（4-3），得SKIPIF10（4-4）經(jīng)推導(dǎo)得：SKIPIF10（4-5）該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：SKIPIF10（4-6）經(jīng)推導(dǎo)有：SKIPIF10（4-7）這樣，由連續(xù)的SKIPIF10抽樣得到SKIPIF10，由SKIPIF10的反變換得到SKIPIF10，由SKIPIF10做DTFT

32、又得到連續(xù)譜SKIPIF10。若再對(duì)SKIPIF10進(jìn)行抽樣，令抽樣點(diǎn)數(shù)SKIPIF10，SKIPIF10為大于1的整數(shù)，得抽樣結(jié)果SKIPIF10，那么：SKIPIF10（4-8）如果SKIPIF10，那么：SKIPIF10（4-9）這說(shuō)明由式（4-5）求出的濾波器，其頻率響應(yīng)在SKIPIF10的抽樣點(diǎn)上嚴(yán)格地等于所希望的值SKIPIF10，而在SKIPIF10的點(diǎn)上，SKIPIF10則由內(nèi)插函數(shù)的插值決定。所以這種濾波器的設(shè)計(jì)方法被稱(chēng)之為頻率抽樣法。該內(nèi)插函數(shù)是：SKIPIF10（4-10）由此可得：SKIPIF10（4-11）由此可以看出，連續(xù)函數(shù)SKIPIF10是由N個(gè)離散值SKIPI

33、F10作為權(quán)重和插值函數(shù)SKIPIF10線性組合的結(jié)果。顯然對(duì)SKIPIF10抽樣點(diǎn)N取的越大，SKIPIF10對(duì)SKIPIF10的近似程度越好。N的選取要視對(duì)SKIPIF10在通帶和阻帶的技術(shù)要求而定。SKIPIF10是移位后的sinc函數(shù)，它正是一個(gè)離散矩形窗函數(shù)的頻譜。在頻率抽樣法中指定SKIPIF10要比在窗函數(shù)法中指定SKIPIF10復(fù)雜。SKIPIF10指定的原則是：（1）在通帶內(nèi)可以令SKIPIF10，阻帶內(nèi)SKIPIF10，且在通帶內(nèi)賦給SKIPIF10一相位函數(shù)；（2）指定的SKIPIF10應(yīng)保證由式SKIPIF10求出的SKIPIF10是實(shí)的；（3）由SKIPIF10求出的

34、SKIPIF10應(yīng)具有線性相位。為保證所涉及的濾波器具有線性相位，必須對(duì)頻率采樣值SKIPIF10進(jìn)行約束。假設(shè)SKIPIF10可以表示為：SKIPIF10（4-12）那么根據(jù)式（4-2）有以下4種情況：（1）SKIPIF10偶對(duì)稱(chēng)，且N為奇數(shù)當(dāng)SKIPIF10偶對(duì)稱(chēng)，且N為奇數(shù)時(shí)，式（4-12）的約束條件為：SKIPIF10（4-13）SKIPIF10（4-14）（2）SKIPIF10偶對(duì)稱(chēng)，且N為偶數(shù)當(dāng)SKIPIF10偶對(duì)稱(chēng)，且N為偶數(shù)時(shí)，式（4-12）的約束條件為：SKIPIF10（4-15）SKIPIF10（4-16）（3）SKIPIF10奇對(duì)稱(chēng)，且N為奇數(shù)當(dāng)SKIPIF10奇對(duì)稱(chēng)，且

35、N為奇數(shù)時(shí)，式（4-12）的約束條件為：SKIPIF10（4-17）SKIPIF10（4-18）（4）SKIPIF10奇對(duì)稱(chēng)，且N為偶數(shù)當(dāng)SKIPIF10奇對(duì)稱(chēng)，且N為偶數(shù)時(shí)，式（4-12）的約束條件為：SKIPIF10（4-19）SKIPIF10（4-20）對(duì)于理想濾波器的頻率響應(yīng)SKIPIF10，根據(jù)第一個(gè)采樣點(diǎn)的不同，可分為兩種采樣方法：方法1：第一個(gè)采樣點(diǎn)在SKIPIF10處，根據(jù)式（4-1）、式（4-2）、式（4-5）、式（4-6）、式（4-7）可以推導(dǎo)出：SKIPIF10（4-21）SKIPIF10（4-22）SKIPIF10（4-23）SKIPIF10（4-24）其中SKIPIF

36、10根據(jù)式（4-3）（4-22），SKIPIF10可以表示為：SKIPIF10（4-25）所以當(dāng)SKIPIF10為實(shí)數(shù)時(shí)，SKIPIF10是周期為N的函數(shù)，且滿足：SKIPIF10（4-26）SKIPIF10（4-27）1、N為奇數(shù)（1）若理想濾波器的頻率響應(yīng)SKIPIF10不存在相移時(shí)，即設(shè)計(jì)型FIR濾波器時(shí)，則線性相位約束條件為：SKIPIF10（4-28）（2）若理想濾波器的頻率響應(yīng)SKIPIF10存在SKIPIF10的相移時(shí)，即設(shè)計(jì)型濾波器時(shí)，則線性相位約束條件為：SKIPIF10（4-29）2、N為偶數(shù)（1）若理想濾波器的頻率響應(yīng)SKIPIF10不存在相移時(shí)，即設(shè)計(jì)型FIR濾波器時(shí)，

37、則線性相位約束條件為：SKIPIF10（4-30）（2）若理想濾波器的頻率響應(yīng)SKIPIF10存在SKIPIF10的相移時(shí)，即設(shè)計(jì)型濾波器時(shí)，則線性相位約束條件為：SKIPIF10（4-31）方法2：第一個(gè)采樣點(diǎn)在SKIPIF10處，根據(jù)式（4-1）、式（4-2）、式（4-5）、式（4-6）、式（4-7）可以推導(dǎo)出：SKIPIF10（4-32）SKIPIF10（4-33）SKIPIF10（4-34）SKIPIF10（4-35）其中SKIPIF10。根據(jù)式（4-3）和式（4-33），SKIPIF10可以表示：SKIPIF10（4-36）所以當(dāng)SKIPIF10為實(shí)數(shù)時(shí)，SKIPIF10是周期為N的

38、函數(shù)，且滿足：SKIPIF10（4-37）SKIPIF10（4-38）N為奇數(shù)（1）若理想濾波器的頻率響應(yīng)SKIPIF10不存在相移時(shí)，即設(shè)計(jì)型FIR濾波器時(shí)，則線性相位約束條件為：SKIPIF10（4-39）（2）若理想濾波器的頻率響應(yīng)SKIPIF10存在SKIPIF10的相移時(shí)，即設(shè)計(jì)型FIR濾波器時(shí)，則線性相位約束條件為：SKIPIF10（4-40）2、N為偶數(shù)（1）若理想濾波器的頻率響應(yīng)SKIPIF10不存在相移時(shí)，即設(shè)計(jì)型FIR濾波器時(shí)，則線性相位約束條件為：SKIPIF10（4-41）（2）若理想濾波器的頻率響應(yīng)SKIPIF10存在SKIPIF10的相移時(shí)，即設(shè)計(jì)型FIR濾波器時(shí)，

39、則線性相位約束條件為：SKIPIF10（4-42）例程4-1：根據(jù)下列指標(biāo)，利用頻率抽樣法，設(shè)計(jì)一個(gè)型FIR高通濾波器：wp=0.8pi,ws=0.7pi,Ap=1db,As=40db程序：%usefrequencysamplingmethod1todesignhighpassdigitalfilterclearall;N=61;T1=0.1095;T2=0.598;alpha=(N-1)/2;l=0:N-1;wl=(2*pi/N)*l;Hrs=zeros(1,22),T1,T2,ones(1,14),T2,T1,zeros(1,21);%理想振幅響應(yīng)采樣Hdr=0,0,1,1;wdl=0,0

40、.75,0.75,1;k1=0:floor(N-1)/2);k2=floor(N-1)/2)+1:N-1;angH=-alpha*(2*pi)/N*k1,alpha*(2*pi)/N*(N-k2);%相位約束條件Hdk=Hrs.*exp(j*angH);%構(gòu)成Hd(k)h=real(ifft(Hdk,N);%實(shí)際單位沖激響應(yīng)db,mag,pha,w=freqz_m2(h,l);Hr,ww,a,L=hr_type1(h);%實(shí)際振幅響應(yīng)subplot(221)plot(wl/pi,Hrs,.,wdl,Hdr)title(頻率樣本Hd(k):N=61)axis(01-0.11.2)subplot(

41、222)stem(l,h)title(實(shí)際單位脈沖響應(yīng)h(n)subplot(223)plot(ww/pi,Hr,wl/pi,Hrs,.)title(實(shí)際振幅響應(yīng)H(w)axis(01-0.11.2)subplot(224)plot(w/pi,db)title(幅度響應(yīng)(db)axis(01-8010)圖4.1利用頻率抽樣法，設(shè)計(jì)一個(gè)型FIR高通濾波器：5、基于切比雪夫逼近法直接設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器基于切比雪夫逼近法直接設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的MATLAB函數(shù)主要有firls、remez和remezord三種函數(shù)。函數(shù)firls是函數(shù)fir1和fir2的擴(kuò)展，函數(shù)firls與remez和reme

42、zord在使理想濾波器的頻率響應(yīng)與實(shí)際濾波器的頻率響應(yīng)之間的整體誤差最小時(shí)，均采用切比雪夫原理，只是誤差方程求解的算法不一樣，firls函數(shù)采用了最小二乘算法，remez和remezord函數(shù)采用了Parks-McClellan算法。Parks-McClellan算法利用Remez交換算法和切比雪夫逼近理論來(lái)設(shè)計(jì)濾波器，使實(shí)際濾波器的幅頻響應(yīng)最優(yōu)地?cái)M合理想濾波器的幅頻響應(yīng)，使它們之間最大誤差最小化，故函數(shù)remez設(shè)計(jì)的濾波器是最優(yōu)的，有時(shí)稱(chēng)之為最優(yōu)濾波器。又因?yàn)槠湓陬l域內(nèi)濾波器呈現(xiàn)等波紋特點(diǎn)，因此也稱(chēng)為等紋濾波器。Parks-McClellan濾波器設(shè)計(jì)方法是FIR濾波設(shè)計(jì)中最流行的和應(yīng)用最

43、廣的一種方法。remezord函數(shù)主要利用Parks-McClellan算法來(lái)優(yōu)化估計(jì)FIR濾波器的階次NSKIPIF10。在MATLAB中，firls函數(shù)的調(diào)用格式為：SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10remez函數(shù)的調(diào)用格式為：SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10remezord函數(shù)的調(diào)用格式為：SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10例程5-1基于firls函數(shù)的FIR帶通濾波器設(shè)計(jì)%totestfirlsandtodesignbandpassFIRfilter;cleara

44、ll;F=00.30.40.60.70.9;A=01000.50.5;b=firls(24,F,A,hilbert);H,f=freqz(b,1,512,2);plot(f,abs(H),k.)holdonfori=1:2:6,plot(F(i)F(i+1),A(i)A(i+1),k-)holdonendgridonholdofflegend(實(shí)際濾波器,理想濾波器)圖5.1基于firls函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR帶通濾波器與理想濾波器的幅頻特性曲線例程5-2基于remez函數(shù)的FIR帶通濾波器設(shè)計(jì)%totestremezandtodesignbandpassFIRfilter;clearall;f=00.30.40.60.71;a=001100;b=remez(17,f,a);h,w=f