第六章動態(tài)回歸與誤差修正模型

1、i=0第6章動態(tài)回歸與誤差修正模型本章假定時間序列是平穩(wěn)的。6.1均衡與誤差修正機制1均衡均衡指一種狀態(tài)，達到均衡時將不存在破壞均衡的內(nèi)在機制。這里只考慮平穩(wěn)的均衡狀態(tài)，即當系統(tǒng)受到干擾后會偏離均衡點，而內(nèi)在均衡機制將努力使系統(tǒng)重新回到均衡狀態(tài)。下面通過一個例子說明系統(tǒng)均衡概念。以兩個地區(qū)某種商品的價格為例，假設地區(qū)A中該商品物價由于某種原因上升時，該商品就會通過批匕發(fā)商從價格低的B地區(qū)向價格高的A地區(qū)流動。從而使批發(fā)商從中獲利。這種活動將直接導致該商品在B地區(qū)的需求增加，從而使該商品在B地區(qū)的價格上漲。從A地區(qū)看，由于增加了該商品的供給，則導致價格下降，反之依然，從而使兩各地區(qū)的該商品價格趨

2、同。若稱價格A=價格B的直線表示均衡價格。如上所述，當價格離開這條均衡價格直線后，市場機制這只無形之“手”就會把偏離均衡點的狀態(tài)重新拉回到均衡狀態(tài)。隨著時間推移，無論價格怎樣變化，兩個地區(qū)的價格都具有向均衡價格調(diào)整的趨勢。i=0i=0若兩個變量xt,yt永遠處于均衡狀態(tài)，則偏差為零。然而由于各種因素的影響，彳并不是永遠處于均衡位置上，從而使工0,稱ut為非均衡誤差。當系統(tǒng)偏離均衡點時，平均來說，系統(tǒng)將在下一期移向均衡點。這是一個動態(tài)均衡過程。t期非非均衡誤差ut是yt下一期取值的重要解釋變量。當ut0時，說明yt相對于xt取值高出均衡位置。平均來說，變量yt在t+1期的取值yt+1將有所回落。

3、所以，ut=f(yt,xt)具有一種誤差修正機制。6.2分布滯后模型如果回歸模型中不僅包括解釋變量的本期值，而且包括解釋變量的滯后(過去)值，則這種回歸模型稱為分布滯后模型。例(6.1)yt=ao+SBixt-+ut，叫IID(0,2)TOC o 1-5 h z上述模型的一個明顯問題是與Xt1,xt2,，xt高度相關，從而使B.的OLS估計值存在tt-1t-2t-nj嚴重偏倚。實際上，對于分布滯后模型，這并不是一個嚴重問題，因為人們的注意力并不在單個回歸系數(shù)上，而是在這些回歸系數(shù)的和式，工nB上。通過這個和式可以了解當x變化時，i=0it對yt產(chǎn)生的長期影響。盡管對每個的估計量不是很準確，但這

4、些估計值的和卻是相當精確的。Var(昱0.)=昱Var(0.)+2昱藝Cov(0.,0k),(6.2)iiiki=0i=0i=0k=0若兀.與xtk,(i豐k)是正相關的(實際中常常如此)，貝(6.2)式中的協(xié)方差項通常是負的。t-it-k當這些項的值很大(絕對值)且為負時，Var(工0.)比工nVar(6)小，甚至比每個i=0ii=0iVar(0)還小。i分布滯后模型中的解釋變量存在高度相關，克服高度相關的一個方法是在等號右側(cè)加一個被解釋變量的滯后項。于是，得到動態(tài)模型。動態(tài)模型(自回歸模型)：如果在回歸模型的解釋變量中包括被解釋變量的一個或幾個滯后值，則稱這種回歸模型為(或自回歸模型)。例

5、如，兒=ao+aiyt-i+0ixt+u6.3動態(tài)分布滯后模型如果在分布滯后模型中包括被解釋變量的若干個滯后值作解釋變量，貝稱之為動態(tài)分布滯后模型或自回歸分布滯后模型。例y=a0+區(qū)a.y+乞區(qū)0X+u,uIID(0,o2)(6.3)t0it-ijijt-itti=ij=ii=0用ADL(m,n,p)表示，其中m是自回歸階數(shù)，p是分布滯后階數(shù)，n是外生變量個數(shù)。對ADL(m,n,p)模型可采用OLS法估計，盡管，參數(shù)估計量是有偏的，但是，它們是參數(shù)的一致估計。例如，對于AR(1)模型TOC o 1-5 h zyt=0yt-i+ut,|0|i,utIID(0,o2),(6.5)如果ytI(0)；

6、yt具有非零的有限的4階矩；則0的OLS估計量計算公式是E/V)ytyt-1/九yt-i2I.G6)，t=2t=2丿把(6.5)式代入(6.6)式得i=0+乙ut-1t4=24=2y4-14=2乙yt-luJ乙yt-1211=2t=2丿(6.7)yt-1與ut是相關的。上式右側(cè)第二項的期望不為零。所以，用OLS法得到的回歸系數(shù)估計量是有偏估計量。若對(6.7)式右側(cè)第二項的分子分母分別除以(T-1)(樣本容量)并求概率極限，Tplim(T-1)-1乙yt=b+tt=2=bTplim(T1)-1乙ytJTT8t=2(6.8)可見B也是一致估計量。最常見的是ADL(1,1,1)和ADL(2,1,2

7、)模型,兒=ao+a1yt-1+卩xt+卩ixt-1+ut,utiid(，&2)，和(6.9)=a+ayt-1+a2yt-2+%x+卩is+卩2s+氣utIID(0,&2)對于ADL(1,1,1)模型(6.9),xt和yt的長期關系是aB+B+01x=乞+0 x,1a1at01t11(6.10)其中,式(6.10)被稱為靜態(tài)模型,參數(shù)被稱為靜態(tài)參數(shù)或長期參數(shù)。長期參數(shù)描述了變量之間的均衡關系。動態(tài)模型(6.9)中的參數(shù)稱作動態(tài)參數(shù)或短期參數(shù)。短期參數(shù)描述了變量通向均衡狀態(tài)過程中的非均衡關系。通過對a0,B0和B1施加約束條件，從ADL模型(6.9)可以得到許多特殊的經(jīng)濟模型。下面以9種約束條件

8、為例，給出特定模型如下：當a1=B1=0成立，模型(6.9)變?yōu)閥t=a0+B0 xt+ut.(6.11)即，靜態(tài)回歸模型。當B0=B1=0時，由模型(6.9)得yt=a0+a1yt-1+ut.(6.12)即，一階自回歸模型。當a1=B0=0時，則有yt=a0+B1xt-1+ut.(6.13)xt-1是yt的超前指示變量。此模型稱為前導模型。i=0（4）當約束條件是ai=1,pi=-%時，（6.9）式變?yōu)锳兒=ao+卩0Axt+ut.（D這是一個一階差分模型。當xt與yt為對數(shù)形式時，上述模型為增長率模型。（5）若ai=0成立，模型（6.9）則變?yōu)橐浑A分布滯后模型。兒=ao+卩oxt+卩1xt

9、-i+U.（6.15）（6）取p1=0,則模型（6.9）變?yōu)闃藴实木植空{(diào)整模型（偏調(diào)整模型）。兒=ao+ai兒-1+卩oxt+ut（6.16）（7）當po=0時，由模型（6.9）得兒=ao+a1兒-1+卩1xt-1+氣.17）模型中的解釋變量只有變量的滯后值，兒的值僅依靠滯后信息。這種模型稱為“盲始”模型。（8）給定p1=-勺，模型（6.9）化簡為兒=ao+a1（y-1-s）+卩oxt+氣（618）此模型稱為比例響應模型。解釋變量為xt與（yt-1-xt-1）。6.4“一般到特殊”建模方法以上所列舉的例子說明實際上許多有特殊經(jīng)濟意義的模型都是由一個一般的ADL模型化簡得到的。這種建立模型的方法

10、是首先從一個包括了盡可能多解釋變量的“一般”ADL模型開始，通過檢驗回歸系數(shù)的約束條件逐步剔除那些無顯著性變量，壓縮模型規(guī)模，（在這個過程中要始終保持模型隨機誤差項的非自相關性。）最終得到一個簡化（或“特殊”）的模型。這種方法稱為“一般到特殊”建模法。也稱作亨德里（Hendry）建模法。關于檢驗約束條件是否成立的方法將在后面討論。眾所周知，模型若丟失重要解釋變量將導致回歸系數(shù)的OLS估計量喪失無偏性和一致性?！耙话愕教厥狻苯７ǖ闹饕獌?yōu)點是能夠把由于選擇變量所帶來的設定誤差減到最小。因為在初始模型中包括了許多變量，所以不會使回歸系數(shù)的OLS估計量存在丟失變量誤差。雖然因為在初始模型中包括了許多

11、非重要解釋變量，從而使回歸參數(shù)估計量缺乏有效性，但隨著檢驗約束條件的繼續(xù)，那些非重要的解釋變量被逐步剔除掉，從而使估計量缺乏有效性的問題得到解決。6.5動態(tài)模型的若干檢驗方法在用“一般到特殊”方法建立模型時的，首先應對初始模型（即對回歸參數(shù)不加任何約束的動態(tài)分布滯后模型）的隨機誤差項進行異方差和自相關檢驗。對模型的其他檢驗都應建立在隨機誤差項是一個白噪聲序列的基礎之上。在檢驗約束條件是否成立的過程中逐步剔除不顯著變量，化簡模型，同時還要保持模型隨機誤差項的非自相關性和同方差性不被破壞。在這個過程中要用到許多統(tǒng)計量。下面介紹一些常用的檢驗方法。1.F檢驗把樣本數(shù)據(jù)取對數(shù)后建立回歸模型，隨機誤差項

12、一般不會存在異方差。對于隨機誤差項的一階自相關檢驗可用DW統(tǒng)計量完成。對于ADL模型（6.9）,約束條件（5）,（6）,（7）和（10）,即ai=0，久=0，Po=0和ai+Po+久-1=0（見6.2和6.3節(jié)）的是否成立可用t檢驗完成。如果t統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值，則相應約束條件不成立，相應解釋變量不能輕易地從模型中剔除掉。否則接受相應約束條件，從模型中剔除相應解釋變量。對于聯(lián)合線性約束條件（1）,（2），（3）和（4）（見6.2節(jié)）可用F檢驗完成。假定模型誤差項服從正態(tài)分布，共有m個線性約束條件，則所用統(tǒng)計量是(6.45)(SSE-SSE)/mruSSE/(T-k)u其中SSEr表示施加

13、約束條件后估計模型的殘差平方和，SSEu表示未施加約束條件的估計ru模型的殘差平方和，m表示約束條件個數(shù)，T表示樣本容量，k表示未加約束的模型中被估參數(shù)的個數(shù)。在零假設“約束條件真實”條件下，F(xiàn)F（m,T-k）因為兩個模型都是用OLS法估計的，所以可把被解釋變量的總平方和（SST）分解為回歸平方和（SSR）與誤差平方和（SSE）兩部分。對于不加約束的模型有SST=SSRu+SSEu.uu對于施加約束條件的模型有，SST=SSRr+SSEr.rr如果約束條件成立，那么在施加約束條件下求到的SSE不會比不加約束條件的SSE大很ru多，用樣本計算的F值不會很大。若F值小于臨界值，則約束條件是可接受的

14、（真實的）。否則應該拒絕零假設。注意，F(xiàn)檢驗的零假設是m個約束條件同時為零，備擇假設是m個約束條件不同時為零。所以拒絕零假設并不排除有部分約束條件為零。應利用t檢驗進一步對每一個參數(shù)進行顯著性判別。比如對ADL模型（6.9）檢驗聯(lián)合約束條件ai=久=0，貝（6.9）式為無約束模型，（6.11）式為約束模型。yt=a0+a1yt-1+P0 xt+P1xt-1+ut,utIID（0,Q2）,（無約束模型）（6.9）yt=a0+P0 xt+ut.（約束模型）（6.11）用SSE和SSE分別表示對（6.9）和（6.11）式進行OLS估計得到的SSE，F(xiàn)統(tǒng)計量按ur下式計算（SSE-SSE）/2F=ru

15、SSE/（T-4）u其中2表示約束條件個數(shù)，T表示樣本容量，4表示無約束模型（6.9）中被估計參數(shù)的個數(shù)。判別規(guī)則是，若FFa（2,T_4），則拒絕兩個約束條件同時成立。2似然比（）檢驗以上介紹的t檢驗和F檢驗只適用于對線性約束條件的檢驗。對于6.2節(jié)中的約束條件（9），勺p0+%=0，則無法用t或F檢驗完成。下面介紹三種常用的檢驗方法，即似然比（LR）檢驗，沃爾德（W）檢驗和拉格朗日（lagrange）乘數(shù)（LM）檢驗。這三種檢驗所用統(tǒng)計量都是利用極大似然估計法計算的。LR檢驗由內(nèi)曼一皮爾遜(Neyman-Pearson1928)提出，只適用于對線性約束的檢驗。W檢驗和LM檢驗既適用于對線性

16、約束條件的檢驗，也適用于對非線性約束條件的檢驗。首先介紹LR檢驗。LR檢驗的基本思路是如果約束條件成立則相應約束模型與非約束模型的極大似然函數(shù)值應該是近似相等的。用(6.53)logL(0,&2)=-Tlog2n(y2-表示非約束模型的極大似然函數(shù)。其中0和&2分別是對0(參數(shù)集合)，Q2的極大似然估計。用(6.54)表示約束模型的極大似然函數(shù)。其中0和&2分別是對0和a2的極大似然估計。定義似然比(LR)統(tǒng)計量為(6.55)LR=-2logL(2)-logL(0,a2)中括號內(nèi)是兩個似然函數(shù)之比(似然比檢驗由此而得名)。在零假設約束條件成立條件下(6.56)其中m表示約束條件個數(shù)。用樣本計算

17、LR統(tǒng)計量。判別規(guī)則是，若LRX2a(),則拒絕零假設，約束條件不成立。a(m)再看前面的例子，(6.9)式為無約束模型。(6.11)式為約束模型。yt=a0+aiyt-1+00 xt+01xt-1+ut,utIID(0,a2),(無約束模型)(6.9)yt=a0+00 xt+ut.(約束模型)(6.11)約束條件為a1=01=0。在零假設成立條件下，LRX2(2).LR統(tǒng)計量只適用于對線性約束條件的檢驗。對非線性約束條件應該采用如下兩種檢驗方法。6.6誤差修正模型(ECM)誤差修正模型由Sargan1964年提出，最初用于庫存管理問題建模。1977年由Hendry、Anderson和Davi

18、dson完善，ECM模型由ADL(m,n,p)模型變換而來。下面通過ADL(1,1,1)模型推導簡單的ECM模型。對于ADL(1,1,1)模型，yt=a0+a1yt-1+00 xt+01xt-1+ut,|a1|1,utIID(0,a2),(6.12)其中ut不存在自相關和異方差。如果這個條件不能滿足，可通過增加和yt的滯后項或加入新的變量使ut滿足要求。從上式兩側(cè)同時減y“，在右側(cè)同時加減00 xt得，的=ao+%Axt+(ai-i)y-i+(%+卩i)xt-i+叫(6i3)上式右側(cè)第三、四項合并，ao+PoAx+(ai-1)(y-i-kix+ut(6i4)則稱式(6.14)為ECM模型，(ai-1)(yk1xj稱為誤差修正項。(yt-1-k1x丿表示前一期的非均衡誤差，其中k1=(P0+P1)/(1-ai)o顯然，在上述變換中沒有破壞恒等關系，所以不會影響模型對樣本數(shù)據(jù)的解釋能力，也不會改變OLS估計量的性質(zhì)。由式(6.12)知，若yt平穩(wěn)，必有|a1|F005八“，約束條件不成立，不應在模型中刪除變量GDP,和DEF。0。05（2,17）,附錄：EViews操作（1）：在估計窗口中點擊View，選CoefficientTests,RedundantVariables-LikelihoodR