第六章動(dòng)態(tài)回歸與誤差修正模型

1、i=0第6章動(dòng)態(tài)回歸與誤差修正模型本章假定時(shí)間序列是平穩(wěn)的。6.1均衡與誤差修正機(jī)制1均衡均衡指一種狀態(tài)，達(dá)到均衡時(shí)將不存在破壞均衡的內(nèi)在機(jī)制。這里只考慮平穩(wěn)的均衡狀態(tài)，即當(dāng)系統(tǒng)受到干擾后會(huì)偏離均衡點(diǎn)，而內(nèi)在均衡機(jī)制將努力使系統(tǒng)重新回到均衡狀態(tài)。下面通過一個(gè)例子說明系統(tǒng)均衡概念。以兩個(gè)地區(qū)某種商品的價(jià)格為例，假設(shè)地區(qū)A中該商品物價(jià)由于某種原因上升時(shí)，該商品就會(huì)通過批匕發(fā)商從價(jià)格低的B地區(qū)向價(jià)格高的A地區(qū)流動(dòng)。從而使批發(fā)商從中獲利。這種活動(dòng)將直接導(dǎo)致該商品在B地區(qū)的需求增加，從而使該商品在B地區(qū)的價(jià)格上漲。從A地區(qū)看，由于增加了該商品的供給，則導(dǎo)致價(jià)格下降，反之依然，從而使兩各地區(qū)的該商品價(jià)格趨

2、同。若稱價(jià)格A=價(jià)格B的直線表示均衡價(jià)格。如上所述，當(dāng)價(jià)格離開這條均衡價(jià)格直線后，市場機(jī)制這只無形之“手”就會(huì)把偏離均衡點(diǎn)的狀態(tài)重新拉回到均衡狀態(tài)。隨著時(shí)間推移，無論價(jià)格怎樣變化，兩個(gè)地區(qū)的價(jià)格都具有向均衡價(jià)格調(diào)整的趨勢。i=0i=0若兩個(gè)變量xt,yt永遠(yuǎn)處于均衡狀態(tài)，則偏差為零。然而由于各種因素的影響，彳并不是永遠(yuǎn)處于均衡位置上，從而使工0,稱ut為非均衡誤差。當(dāng)系統(tǒng)偏離均衡點(diǎn)時(shí)，平均來說，系統(tǒng)將在下一期移向均衡點(diǎn)。這是一個(gè)動(dòng)態(tài)均衡過程。t期非非均衡誤差ut是yt下一期取值的重要解釋變量。當(dāng)ut0時(shí)，說明yt相對(duì)于xt取值高出均衡位置。平均來說，變量yt在t+1期的取值yt+1將有所回落。

3、所以，ut=f(yt,xt)具有一種誤差修正機(jī)制。6.2分布滯后模型如果回歸模型中不僅包括解釋變量的本期值，而且包括解釋變量的滯后(過去)值，則這種回歸模型稱為分布滯后模型。例(6.1)yt=ao+SBixt-+ut，叫IID(0,2)TOC o 1-5 h z上述模型的一個(gè)明顯問題是與Xt1,xt2,，xt高度相關(guān)，從而使B.的OLS估計(jì)值存在tt-1t-2t-nj嚴(yán)重偏倚。實(shí)際上，對(duì)于分布滯后模型，這并不是一個(gè)嚴(yán)重問題，因?yàn)槿藗兊淖⒁饬Σ⒉辉趩蝹€(gè)回歸系數(shù)上，而是在這些回歸系數(shù)的和式，工nB上。通過這個(gè)和式可以了解當(dāng)x變化時(shí)，i=0it對(duì)yt產(chǎn)生的長期影響。盡管對(duì)每個(gè)的估計(jì)量不是很準(zhǔn)確，但這

4、些估計(jì)值的和卻是相當(dāng)精確的。Var(昱0.)=昱Var(0.)+2昱藝Cov(0.,0k),(6.2)iiiki=0i=0i=0k=0若兀.與xtk,(i豐k)是正相關(guān)的(實(shí)際中常常如此)，貝(6.2)式中的協(xié)方差項(xiàng)通常是負(fù)的。t-it-k當(dāng)這些項(xiàng)的值很大(絕對(duì)值)且為負(fù)時(shí)，Var(工0.)比工nVar(6)小，甚至比每個(gè)i=0ii=0iVar(0)還小。i分布滯后模型中的解釋變量存在高度相關(guān)，克服高度相關(guān)的一個(gè)方法是在等號(hào)右側(cè)加一個(gè)被解釋變量的滯后項(xiàng)。于是，得到動(dòng)態(tài)模型。動(dòng)態(tài)模型(自回歸模型)：如果在回歸模型的解釋變量中包括被解釋變量的一個(gè)或幾個(gè)滯后值，則稱這種回歸模型為(或自回歸模型)。例

5、如，兒=ao+aiyt-i+0ixt+u6.3動(dòng)態(tài)分布滯后模型如果在分布滯后模型中包括被解釋變量的若干個(gè)滯后值作解釋變量，貝稱之為動(dòng)態(tài)分布滯后模型或自回歸分布滯后模型。例y=a0+區(qū)a.y+乞區(qū)0X+u,uIID(0,o2)(6.3)t0it-ijijt-itti=ij=ii=0用ADL(m,n,p)表示，其中m是自回歸階數(shù)，p是分布滯后階數(shù)，n是外生變量個(gè)數(shù)。對(duì)ADL(m,n,p)模型可采用OLS法估計(jì)，盡管，參數(shù)估計(jì)量是有偏的，但是，它們是參數(shù)的一致估計(jì)。例如，對(duì)于AR(1)模型TOC o 1-5 h zyt=0yt-i+ut,|0|i,utIID(0,o2),(6.5)如果ytI(0)；

6、yt具有非零的有限的4階矩；則0的OLS估計(jì)量計(jì)算公式是E/V)ytyt-1/九yt-i2I.G6)，t=2t=2丿把(6.5)式代入(6.6)式得i=0+乙ut-1t4=24=2y4-14=2乙yt-luJ乙yt-1211=2t=2丿(6.7)yt-1與ut是相關(guān)的。上式右側(cè)第二項(xiàng)的期望不為零。所以，用OLS法得到的回歸系數(shù)估計(jì)量是有偏估計(jì)量。若對(duì)(6.7)式右側(cè)第二項(xiàng)的分子分母分別除以(T-1)(樣本容量)并求概率極限，Tplim(T-1)-1乙yt=b+tt=2=bTplim(T1)-1乙ytJTT8t=2(6.8)可見B也是一致估計(jì)量。最常見的是ADL(1,1,1)和ADL(2,1,2

7、)模型,兒=ao+a1yt-1+卩xt+卩ixt-1+ut,utiid(，&2)，和(6.9)=a+ayt-1+a2yt-2+%x+卩is+卩2s+氣utIID(0,&2)對(duì)于ADL(1,1,1)模型(6.9),xt和yt的長期關(guān)系是aB+B+01x=乞+0 x,1a1at01t11(6.10)其中,式(6.10)被稱為靜態(tài)模型,參數(shù)被稱為靜態(tài)參數(shù)或長期參數(shù)。長期參數(shù)描述了變量之間的均衡關(guān)系。動(dòng)態(tài)模型(6.9)中的參數(shù)稱作動(dòng)態(tài)參數(shù)或短期參數(shù)。短期參數(shù)描述了變量通向均衡狀態(tài)過程中的非均衡關(guān)系。通過對(duì)a0,B0和B1施加約束條件，從ADL模型(6.9)可以得到許多特殊的經(jīng)濟(jì)模型。下面以9種約束條件

8、為例，給出特定模型如下：當(dāng)a1=B1=0成立，模型(6.9)變?yōu)閥t=a0+B0 xt+ut.(6.11)即，靜態(tài)回歸模型。當(dāng)B0=B1=0時(shí)，由模型(6.9)得yt=a0+a1yt-1+ut.(6.12)即，一階自回歸模型。當(dāng)a1=B0=0時(shí)，則有yt=a0+B1xt-1+ut.(6.13)xt-1是yt的超前指示變量。此模型稱為前導(dǎo)模型。i=0（4）當(dāng)約束條件是ai=1,pi=-%時(shí)，（6.9）式變?yōu)锳兒=ao+卩0Axt+ut.（D這是一個(gè)一階差分模型。當(dāng)xt與yt為對(duì)數(shù)形式時(shí)，上述模型為增長率模型。（5）若ai=0成立，模型（6.9）則變?yōu)橐浑A分布滯后模型。兒=ao+卩oxt+卩1xt

9、-i+U.（6.15）（6）取p1=0,則模型（6.9）變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的局部調(diào)整模型（偏調(diào)整模型）。兒=ao+ai兒-1+卩oxt+ut（6.16）（7）當(dāng)po=0時(shí)，由模型（6.9）得兒=ao+a1兒-1+卩1xt-1+氣.17）模型中的解釋變量只有變量的滯后值，兒的值僅依靠滯后信息。這種模型稱為“盲始”模型。（8）給定p1=-勺，模型（6.9）化簡為兒=ao+a1（y-1-s）+卩oxt+氣（618）此模型稱為比例響應(yīng)模型。解釋變量為xt與（yt-1-xt-1）。6.4“一般到特殊”建模方法以上所列舉的例子說明實(shí)際上許多有特殊經(jīng)濟(jì)意義的模型都是由一個(gè)一般的ADL模型化簡得到的。這種建立模型的方法

10、是首先從一個(gè)包括了盡可能多解釋變量的“一般”ADL模型開始，通過檢驗(yàn)回歸系數(shù)的約束條件逐步剔除那些無顯著性變量，壓縮模型規(guī)模，（在這個(gè)過程中要始終保持模型隨機(jī)誤差項(xiàng)的非自相關(guān)性。）最終得到一個(gè)簡化（或“特殊”）的模型。這種方法稱為“一般到特殊”建模法。也稱作亨德里（Hendry）建模法。關(guān)于檢驗(yàn)約束條件是否成立的方法將在后面討論。眾所周知，模型若丟失重要解釋變量將導(dǎo)致回歸系數(shù)的OLS估計(jì)量喪失無偏性和一致性?！耙话愕教厥狻苯７ǖ闹饕獌?yōu)點(diǎn)是能夠把由于選擇變量所帶來的設(shè)定誤差減到最小。因?yàn)樵诔跏寄Ｐ椭邪嗽S多變量，所以不會(huì)使回歸系數(shù)的OLS估計(jì)量存在丟失變量誤差。雖然因?yàn)樵诔跏寄Ｐ椭邪嗽S多

11、非重要解釋變量，從而使回歸參數(shù)估計(jì)量缺乏有效性，但隨著檢驗(yàn)約束條件的繼續(xù)，那些非重要的解釋變量被逐步剔除掉，從而使估計(jì)量缺乏有效性的問題得到解決。6.5動(dòng)態(tài)模型的若干檢驗(yàn)方法在用“一般到特殊”方法建立模型時(shí)的，首先應(yīng)對(duì)初始模型（即對(duì)回歸參數(shù)不加任何約束的動(dòng)態(tài)分布滯后模型）的隨機(jī)誤差項(xiàng)進(jìn)行異方差和自相關(guān)檢驗(yàn)。對(duì)模型的其他檢驗(yàn)都應(yīng)建立在隨機(jī)誤差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲序列的基礎(chǔ)之上。在檢驗(yàn)約束條件是否成立的過程中逐步剔除不顯著變量，化簡模型，同時(shí)還要保持模型隨機(jī)誤差項(xiàng)的非自相關(guān)性和同方差性不被破壞。在這個(gè)過程中要用到許多統(tǒng)計(jì)量。下面介紹一些常用的檢驗(yàn)方法。1.F檢驗(yàn)把樣本數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)后建立回歸模型，隨機(jī)誤差項(xiàng)

12、一般不會(huì)存在異方差。對(duì)于隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自相關(guān)檢驗(yàn)可用DW統(tǒng)計(jì)量完成。對(duì)于ADL模型（6.9）,約束條件（5）,（6）,（7）和（10）,即ai=0，久=0，Po=0和ai+Po+久-1=0（見6.2和6.3節(jié)）的是否成立可用t檢驗(yàn)完成。如果t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨界值，則相應(yīng)約束條件不成立，相應(yīng)解釋變量不能輕易地從模型中剔除掉。否則接受相應(yīng)約束條件，從模型中剔除相應(yīng)解釋變量。對(duì)于聯(lián)合線性約束條件（1）,（2），（3）和（4）（見6.2節(jié)）可用F檢驗(yàn)完成。假定模型誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，共有m個(gè)線性約束條件，則所用統(tǒng)計(jì)量是(6.45)(SSE-SSE)/mruSSE/(T-k)u其中SSEr表示施加

13、約束條件后估計(jì)模型的殘差平方和，SSEu表示未施加約束條件的估計(jì)ru模型的殘差平方和，m表示約束條件個(gè)數(shù)，T表示樣本容量，k表示未加約束的模型中被估參數(shù)的個(gè)數(shù)。在零假設(shè)“約束條件真實(shí)”條件下，F(xiàn)F（m,T-k）因?yàn)閮蓚€(gè)模型都是用OLS法估計(jì)的，所以可把被解釋變量的總平方和（SST）分解為回歸平方和（SSR）與誤差平方和（SSE）兩部分。對(duì)于不加約束的模型有SST=SSRu+SSEu.uu對(duì)于施加約束條件的模型有，SST=SSRr+SSEr.rr如果約束條件成立，那么在施加約束條件下求到的SSE不會(huì)比不加約束條件的SSE大很ru多，用樣本計(jì)算的F值不會(huì)很大。若F值小于臨界值，則約束條件是可接受的

14、（真實(shí)的）。否則應(yīng)該拒絕零假設(shè)。注意，F(xiàn)檢驗(yàn)的零假設(shè)是m個(gè)約束條件同時(shí)為零，備擇假設(shè)是m個(gè)約束條件不同時(shí)為零。所以拒絕零假設(shè)并不排除有部分約束條件為零。應(yīng)利用t檢驗(yàn)進(jìn)一步對(duì)每一個(gè)參數(shù)進(jìn)行顯著性判別。比如對(duì)ADL模型（6.9）檢驗(yàn)聯(lián)合約束條件ai=久=0，貝（6.9）式為無約束模型，（6.11）式為約束模型。yt=a0+a1yt-1+P0 xt+P1xt-1+ut,utIID（0,Q2）,（無約束模型）（6.9）yt=a0+P0 xt+ut.（約束模型）（6.11）用SSE和SSE分別表示對(duì)（6.9）和（6.11）式進(jìn)行OLS估計(jì)得到的SSE，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量按ur下式計(jì)算（SSE-SSE）/2F=ru

15、SSE/（T-4）u其中2表示約束條件個(gè)數(shù)，T表示樣本容量，4表示無約束模型（6.9）中被估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù)。判別規(guī)則是，若FFa（2,T_4），則拒絕兩個(gè)約束條件同時(shí)成立。2似然比（）檢驗(yàn)以上介紹的t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)只適用于對(duì)線性約束條件的檢驗(yàn)。對(duì)于6.2節(jié)中的約束條件（9），勺p0+%=0，則無法用t或F檢驗(yàn)完成。下面介紹三種常用的檢驗(yàn)方法，即似然比（LR）檢驗(yàn)，沃爾德（W）檢驗(yàn)和拉格朗日（lagrange）乘數(shù)（LM）檢驗(yàn)。這三種檢驗(yàn)所用統(tǒng)計(jì)量都是利用極大似然估計(jì)法計(jì)算的。LR檢驗(yàn)由內(nèi)曼一皮爾遜(Neyman-Pearson1928)提出，只適用于對(duì)線性約束的檢驗(yàn)。W檢驗(yàn)和LM檢驗(yàn)既適用于對(duì)線性

16、約束條件的檢驗(yàn)，也適用于對(duì)非線性約束條件的檢驗(yàn)。首先介紹LR檢驗(yàn)。LR檢驗(yàn)的基本思路是如果約束條件成立則相應(yīng)約束模型與非約束模型的極大似然函數(shù)值應(yīng)該是近似相等的。用(6.53)logL(0,&2)=-Tlog2n(y2-表示非約束模型的極大似然函數(shù)。其中0和&2分別是對(duì)0(參數(shù)集合)，Q2的極大似然估計(jì)。用(6.54)表示約束模型的極大似然函數(shù)。其中0和&2分別是對(duì)0和a2的極大似然估計(jì)。定義似然比(LR)統(tǒng)計(jì)量為(6.55)LR=-2logL(2)-logL(0,a2)中括號(hào)內(nèi)是兩個(gè)似然函數(shù)之比(似然比檢驗(yàn)由此而得名)。在零假設(shè)約束條件成立條件下(6.56)其中m表示約束條件個(gè)數(shù)。用樣本計(jì)算

17、LR統(tǒng)計(jì)量。判別規(guī)則是，若LRX2a(),則拒絕零假設(shè)，約束條件不成立。a(m)再看前面的例子，(6.9)式為無約束模型。(6.11)式為約束模型。yt=a0+aiyt-1+00 xt+01xt-1+ut,utIID(0,a2),(無約束模型)(6.9)yt=a0+00 xt+ut.(約束模型)(6.11)約束條件為a1=01=0。在零假設(shè)成立條件下，LRX2(2).LR統(tǒng)計(jì)量只適用于對(duì)線性約束條件的檢驗(yàn)。對(duì)非線性約束條件應(yīng)該采用如下兩種檢驗(yàn)方法。6.6誤差修正模型(ECM)誤差修正模型由Sargan1964年提出，最初用于庫存管理問題建模。1977年由Hendry、Anderson和Davi

18、dson完善，ECM模型由ADL(m,n,p)模型變換而來。下面通過ADL(1,1,1)模型推導(dǎo)簡單的ECM模型。對(duì)于ADL(1,1,1)模型，yt=a0+a1yt-1+00 xt+01xt-1+ut,|a1|1,utIID(0,a2),(6.12)其中ut不存在自相關(guān)和異方差。如果這個(gè)條件不能滿足，可通過增加和yt的滯后項(xiàng)或加入新的變量使ut滿足要求。從上式兩側(cè)同時(shí)減y“，在右側(cè)同時(shí)加減00 xt得，的=ao+%Axt+(ai-i)y-i+(%+卩i)xt-i+叫(6i3)上式右側(cè)第三、四項(xiàng)合并，ao+PoAx+(ai-1)(y-i-kix+ut(6i4)則稱式(6.14)為ECM模型，(ai-1)(yk1xj稱為誤差修正項(xiàng)。(yt-1-k1x丿表示前一期的非均衡誤差，其中k1=(P0+P1)/(1-ai)o顯然，在上述變換中沒有破壞恒等關(guān)系，所以不會(huì)影響模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)的解釋能力，也不會(huì)改變OLS估計(jì)量的性質(zhì)。由式(6.12)知，若yt平穩(wěn)，必有|a1|F005八“，約束條件不成立，不應(yīng)在模型中刪除變量GDP,和DEF。0。05（2,17）,附錄：EViews操作（1）：在估計(jì)窗口中點(diǎn)擊View，選CoefficientTests,RedundantVariables-LikelihoodR