(江蘇專版)高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題11含參數(shù)的線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃問題(含解析)-人教版

1、y y bword問題 11 含參數(shù)的線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃問題性一、考情分析線性規(guī)劃是高考必考問題 , 常有以下幾種類型：題； （4）逆向求參數(shù)問題而逆向求參數(shù)問題 域的情況決定參數(shù)取值二、經(jīng)驗(yàn)分享（ 1）平面區(qū)域的確定問題； （2）區(qū)域面積問題； （3）最值問, 是線性規(guī)劃中的難點(diǎn) , 其主要是依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值或可行(1) 求平面區(qū)域的面積：首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域 , 若不能直接畫出 , 應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題 , 從而再作出平面區(qū)域；對平面區(qū)域進(jìn)行分析 , 若為三角形應(yīng)確定底與高 , 若為規(guī)則的四邊形 ( 如平行四邊形或梯形 ), 可利用面積公式直接求解 , 若為

2、不規(guī)則四邊形 , 可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和即可(2) 利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題 , 也應(yīng)作出平面圖形 , 利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解(3) 先準(zhǔn)確作出可行域 , 再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時(shí) , 常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來解題 .(4) 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí) , 要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件的各種情況進(jìn)行分析 , 不能憑直覺解答 , 目標(biāo)函數(shù)含參的線性規(guī)劃問題忌搞錯(cuò)符號三、知識拓展, 含參數(shù)的平面區(qū)域問題 , 要結(jié)合直線, 要根據(jù) z 的幾何意義確定最優(yōu)解 , 切常見代數(shù)式的幾何意義： x2 y2表示點(diǎn) ( x , y) 與原點(diǎn) (0,

3、0) 的距離 , x a 2 y b 2表示點(diǎn) ( x, y) 與點(diǎn) (a, b) 的距離； x表示點(diǎn) ( x , y)與原點(diǎn) (0,0) 連線的斜率 , x a表示點(diǎn) ( x , y) 與點(diǎn) ( a, b) 連線的斜率四、題型分析類型一 目標(biāo)函數(shù)中含參數(shù)若目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，則一般會(huì)知道最值，此時(shí)要結(jié)合可行域，確定目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)所經(jīng)過的可行域內(nèi)的點(diǎn)（即最優(yōu)解） ，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求得參數(shù)的值1目標(biāo)函數(shù)中 x 的系數(shù)為參數(shù)1 / 19word【例 1】 x， y滿足約束條件 ，若 z y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù) a 的值為_.【答案】 2或 1【解析】如圖，畫出線性約束

4、條件所表示的可行域，坐出直線的最優(yōu)解不唯一， 直線 y ax的斜率， 要與直線y ax，因此要使線性目標(biāo)函數(shù)取得最大值或 的斜率相等， a 2 或 1【點(diǎn)評】本題主要考查最優(yōu)解的求法以及兩直線的位置關(guān)系通過本題應(yīng)進(jìn)一步明確兩點(diǎn)： （ 1）線性規(guī)劃問題可能沒有最優(yōu)解； （ 2）當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域的某一條邊界平行時(shí)，線性規(guī)劃問題可以有無數(shù)個(gè)最優(yōu)解【牛刀小試】已知 x, y滿足約束條件【答案】 2【解析】將 z ax y 化為 y axx y 0 x y 2 ，若 z ax y 的最大值為 4，則 a _.y 0z，作出可行域（如圖所示） ，當(dāng) a 0 時(shí)，當(dāng)直線 y ax z 向右

5、下方平移時(shí)，直線 y ax z在 y 軸上的截距 z 減少，當(dāng)直線 y ax z過原點(diǎn)時(shí)， zmaxa 0 時(shí)， 當(dāng)直線 y ax z向右上方平移時(shí)， 直線 y ax z在 y 軸上的截距 z 增大， 若即 0 a 1時(shí)， 當(dāng)直線 y ax z過點(diǎn) B(1,1) 時(shí)， ，解得 a 3（舍）， 當(dāng) a時(shí)，則當(dāng)直線 y ax z過點(diǎn) A(2,0) 時(shí)， ，解得 a 20 （舍） ；當(dāng)1 a 0， 1， 即 a 12 / 19word【評注】處理簡單的線性規(guī)劃問題的基本方法是：先畫出可行域，再結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行解決，往往容易忽視的是目標(biāo)函數(shù)基準(zhǔn)直線與可行域邊界的傾斜程度， 如本題中， 不僅要

6、討論斜率 a 的符號， 還要討論斜率 a與邊界直線斜率 1的大小關(guān)系 .2目標(biāo)函數(shù)中 y 的系數(shù)為參數(shù)【例 2】已知變量 x , y滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù) 的最大值為 1，則 a 【答案】 3【解析】 約束條件所滿足的區(qū)域如圖所示， 目標(biāo)函數(shù)過 B（4， 1） 點(diǎn)是取得最大值，【點(diǎn)評】這類問題應(yīng)根據(jù)圖形特征確定最優(yōu)解，進(jìn)而用代入法求參數(shù)的值3目標(biāo)函數(shù)中 x , y 的系數(shù)均含參數(shù)x2【例 3】設(shè) x， y 滿足約束條件 2x y 1，若目標(biāo)函數(shù)y x最大值為 3 / 19 1 4 a 1， a 3的最小值為 2，則 ab的a b252 3等號成立故 2 4word1【答案】 4【 解 析 】

7、 不 等 式 組 表 示 的 平 面 區(qū) 域 如 圖 陰 影 部 分 ， 易 求 得 ， 要 目 標(biāo) 函 數(shù)的最小值為 2， 2a 2b 2，即 a b 1， ，當(dāng)且僅當(dāng)a b 1 ab的最大值為 1【點(diǎn)評】本題主要考查最優(yōu)解的求法以及均值不等式的應(yīng)用應(yīng)明確若可行域是封閉的多邊形，最優(yōu)解一般在多邊形的頂點(diǎn)處取得應(yīng)用均值不等式時(shí)需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可【牛刀小試】設(shè) x， y 滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù) 的最大值為 12，則 的最小值為 _.【答案】6【解析】作出 x， y滿足約束條件下平面區(qū)域，如圖所示，由圖知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)點(diǎn) A 4,6 取 得 最 大 值 12， 即 ， 亦 即

8、2a 3b 6， 所 以經(jīng)過，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 a b 時(shí)等號成立4 / 19xcy m x y得 ，即 A(1,1)由word【評注】運(yùn)用線性規(guī)劃求解最值時(shí)，關(guān)鍵是要搞清楚目標(biāo)函數(shù)所表示的直線的斜率與可行域便捷直線的斜率之間的大小關(guān)系，以好確定在哪個(gè)端點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，在哪個(gè)端點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值；已知ax by m 求 的最小值，通常轉(zhuǎn)化為（ ax by ) ，展開后利用基本不等式求解4目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)且含有參數(shù)d 1 ( c d )x y 4,【例 4】設(shè)不等式組 y x 0, 表示的平面區(qū)域?yàn)?D 若圓x1 0D 上的點(diǎn)，則 r 的取值 X 圍是_【答案】【解析】 不等式對應(yīng)

9、的區(qū)域?yàn)?ABE 圓心為 (要使圓不經(jīng)過區(qū)域 D，則有 0 r AC 或 rxy1, 1)， 區(qū)域中BC 由2 5 ， 0得xy1，即 B(1,3) AC 2 2， BC3r0 不經(jīng)過區(qū)域A 到圓心的距離最小， B 到圓心的距離最大，1 x 1 x 1x y 1 y x 4，r 2 2 或 r 2 5 ，即 r 的取值 X 圍是5 / 19word【點(diǎn)評】本題的關(guān)鍵是給出目標(biāo)函數(shù)的實(shí)際意義，即圓與可行域無公共點(diǎn)的問題對于目標(biāo)函數(shù)為平方型：， 可 看 成 可 行 域 內(nèi) 的 點(diǎn) P x, y 與 定 點(diǎn) Q a, b 兩 點(diǎn) 連 線 的 距 離 的 平 方， 即；也可看成是以 Q a, b 為圓

10、心， z 為半徑的圓，轉(zhuǎn)換為圓與可行域有無公共點(diǎn)的問題【牛刀小試】設(shè)二元一次不等式組 所表示的平面區(qū)域?yàn)?M，使函數(shù) y ax(a 0， a 1)的圖象過區(qū)域 M的 a 的取值 X 圍是 _.【答案】 2， 9【解析】平面區(qū)域 M如圖所示，求得C 兩點(diǎn)的圖象之間，當(dāng)圖象過 B 點(diǎn)時(shí)，圍是 ，由圖可知，欲滿足條件必有，當(dāng)圖象過 C 點(diǎn)時(shí)， ，所以且圖象在過 B、，故 的取值 X【評注】巧妙地識別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是研究此類問題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性與非線性、非線性問題的介入是線性規(guī)劃問題的拓展與延伸，使得線性規(guī)劃問題得以深化，本題的解答中正確理解目標(biāo)函數(shù)類型二表示指數(shù)函數(shù)的圖象與二元一次不

11、等式組表示的平面區(qū)域有公共點(diǎn)這一意義是解得本題的關(guān)鍵。約束條件中含參數(shù)由于約束條件中存在參數(shù)，可行域無法確定，此時(shí)一般是依據(jù)所提供的可行域的面積或目標(biāo)函數(shù)的最值，來確定含有參數(shù)的某不等式所表示的坐標(biāo)系中的某區(qū)域，從而確定參數(shù)的值6 / 19wordy x【例 5】 已知 x , y滿足 x y 2， 若 z 3x y 的最大值為 M ， 最小值為 m， 且 M x a值為 _【答案】 1【解析】y x試題分析 : 畫出不等式組 x y 2 表示的區(qū)域如圖 , 結(jié)合圖形可以看出當(dāng)動(dòng)直線m 0， 則實(shí)數(shù) a 的y 3x z 經(jīng)過點(diǎn)x aA( a , a) 和 B(1,1) 時(shí) , z 3x y 分

12、別取最小值 m 4a 和最大值 m 4 , 由題設(shè)可得 4a 4 0 , 所以a1 , 故應(yīng)填答案 1 .【點(diǎn)評】約束條件中含有參數(shù)時(shí)： （1）要對可行域的各種可能情況作出判斷，特別注意特殊的線與點(diǎn)； （2）依據(jù)可行域的面積或目標(biāo)函數(shù)的最值準(zhǔn)確確定可行域； （3）求出參數(shù)【牛刀小試】已知約束條件 表示面積為 1 的直角三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù) k 的值為 .【答案】 1【解析】7 / 19， 截距為x y 1,word試題分析：由圖得 （舍） BAC類型三 目標(biāo)函數(shù)及約束條件中均含參數(shù)y x【例 6】設(shè) m 1, 在約束條件 y mx 下，目標(biāo)函數(shù) zx y 1_.【答案】 1 2 ,【解析】 把目

13、標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為 ， 表示是斜率為z最大，當(dāng)過點(diǎn) 時(shí)，截距最大x my 的最大值大于 2，則 m 的取值 X 圍為1 z 的平行直線系， 當(dāng)截距最大時(shí)，m m，解之得 m 1 2【牛刀小試】設(shè) x， y 滿足約束條件 x y a , 且 z x ay 的最小值為 7，則 a _.【答案】 3【解析】根據(jù)題中約束條件可畫出可行域如下圖所示，兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為： ，又由題中z x ay 可知，當(dāng) a 0 時(shí)， z 有最小值： ，則 ，解得：a 3；當(dāng) a 0 時(shí)， z 無最小值故選 B8 / 19又 故故答案為：word五、遷移運(yùn)用1, 【 2019 年 3 月 2019 屆高三第一次全國大聯(lián)考（某某卷

14、 ) 】已知點(diǎn) 滿足不等式 ，設(shè)，則 的最小值與最大值之和等于 _【答案】【解析】作出不等式 所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分（含邊界） ，則點(diǎn) 為正方形 及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)由題意得 的幾何意義為動(dòng)點(diǎn) 到定點(diǎn) 距離的平方過 作 于 ，由圖知 為 的中點(diǎn)，而點(diǎn) 到直線 ： 的距離 ，故 ；，由圖分析可知 ，2. 【某某省蘇北四市 2019 屆高三第一學(xué)期期末】已知等差數(shù)列在區(qū)間 內(nèi)，則公差 d 的取值 X 圍是_【答案】【解析】 設(shè)落在 內(nèi)的最小項(xiàng)為 ， 則有 ，（ n-1 ） d ，（n+5） d0，9 / 19的首項(xiàng) ，若數(shù)列 恰有 6 項(xiàng)落， ， 同時(shí)成立， 即有 nd ，有 n ， n-1

15、， n+5 ， n+6 ，令 =y，wordn=x，則有 （x ），畫出可行域如圖：可行域是一個(gè)平行四邊形內(nèi)部及部分邊界線， A(1,1) ， C（ ），所以 1x取 2，此時(shí) y ，所以 0，且滿足約束條件 的圖象為14 / 19212word由圖可知當(dāng) y log 2 x 與 y 3 x 交于點(diǎn) B(2,1) ，當(dāng)直線 y m過 B 點(diǎn)時(shí)， m取得最大值為 1.11 【 2018 屆高三某某市聯(lián)合體學(xué)校調(diào)研測試】若不等式組 所表示的平面區(qū)域被直線y kx【答案】4 分為面積相等的兩部分，則 k 的值為 _72【解析】 不等式組 所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?ABC 由又因?yàn)槠矫鎱^(qū)域被直線故點(diǎn)，

16、點(diǎn) A 0,2y kx 4 分為面積相等的兩部分，且 y kx 4 過定點(diǎn) 0,4由此可得點(diǎn) A 與點(diǎn) C 到直線 y kx 4 的距離相等，即 解得 k 7 或k（舍）7即答案為215 / 19word12 【某某省某某市普通高中 2018 屆高三上學(xué)期期中】若變量 x , y滿足 ，且 x 2y a恒成立，則 a 的最大值為 _.【答案】 4【解析】所以過 0, 2 時(shí)， x 2y 的最小值為 -4 ，所以 a 的最大值為 -4.13【某某省橫林高級中學(xué) 2018 屆高三】 已知 x, y滿足不等式組的最小值為 _ .【答案】 2【解析】 畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域， 目標(biāo)函數(shù)表

17、示可行域內(nèi)一點(diǎn)到點(diǎn) 1,1 的距離的平方，根據(jù)圖象可以看出，點(diǎn)，則1,1 到可行域內(nèi)一點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn) 1,1 到直線 x y 0 的距離， ， 則 d 2 2， 則 的最小值為 2.16 / 19xx yy x1word14. 【 某 某 省 某 某 中 學(xué) 2017 屆 高 三 摸 底 考 試 】 已 知 實(shí) 數(shù) x 、 y 滿 足 若 不 等 式恒成立，則實(shí)數(shù) a 的最小值是9【答案】5【解析】試題分析： 可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形 ABC及其內(nèi)部， 其中 ，因此 ,因?yàn)?在 2,4 上單調(diào)遞增，所以 ，不等式 恒成立等價(jià)于15設(shè)點(diǎn)（ a , b ）是區(qū)域 內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，函數(shù) 在區(qū)間 1, ）上

18、是增函數(shù)的概率為 _.【答案】3【解析】 表示的區(qū)域的面積為 函數(shù) 在區(qū)間 1, ）上是增函數(shù)，則 ，概率 16 若實(shí)數(shù) x , y滿足等于 _.【答案】 2【解析】表達(dá)式y(tǒng) 1 x其中 k 0， 若使得 y 1 取得最小值的解 x , y 有無窮多個(gè)， 則 k可看成是定點(diǎn) Q 0 , 1 與動(dòng)點(diǎn) P x , y 連線斜率（ P點(diǎn)在所給不等式組表示的平面17 / 19word區(qū)域內(nèi)） ，如圖，動(dòng)直線 過定點(diǎn) 2 , 0 ，為使?jié)M足題意的 P 點(diǎn)有無窮多個(gè)，此時(shí)直線應(yīng)過Q 0 , 1 ，從而17 變量 x, y滿足約束條件 ， 若使 z ax y取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù) a 的取值集合是 _.【答案】 3, 1【解析】 作出不等式組 表示的區(qū)域如下圖所示 由 z ax y得： y ax z 當(dāng) a 0 時(shí)，平行直線的傾斜角為銳角，從第一個(gè)圖可看出， a 1時(shí)，線段 AC上的所有點(diǎn)都是