第18章專項.階段強化專訓(xùn)

1、專訓(xùn) 1.巧用勾股定理求最短路徑的長名師點金：求最短距離的問題，第一種是通過計算比較解最短問題；第二種是平面圖形，將分散的條件通過幾何變換 平移或軸對稱 進(jìn)行集中，然后借助勾股定理解決；第三種是圖形，將圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程 距離 用計算法求平面中最短問題1如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人從A 走到B，為了避免拐角C 走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了步路(假設(shè) 2 步為 1 m)，卻踩傷了花草(第 1 題)城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計了如下問題：如圖，以往2聽說“從黃石 A 坐客車到武昌客運站

2、 B，現(xiàn)在可以在黃石 A 坐“城際列車”到武漢青山站C，再從青山站 C 坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運站 B.設(shè) AB80 km，BC20 km，ABC120.請你幫助解決以下問題：求A，C 之間的距離(參考數(shù)據(jù) 214.6)若客車的平均速度是 60 km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為 40 km/h， “城際列車”的平均速度為 180 km/h，為了在最短時間內(nèi)到達(dá)武昌客運站，應(yīng)選擇哪種乘車方案？請說明理由(不計候車時間)(第 2 題)用平移法求平面中最短問題3如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別是 50 cm，30 cm，10 cm，A 和B 是這個臺階的兩個相對的端點，A 點上有一

3、只壁虎，它想到B 點去吃可口的食物，請你想，這只壁虎從 A 點出發(fā)，沿著臺階面爬到 B 點，至少需爬()A13 cmB40 cmC130 cmD169 cm(第 3 題)(第 4 題)4如圖，已知BCDE90，且 ABCD3，BC4，DEEF2，則 AF 的長是用對稱法求平面中最短問題5如圖，在正方形 ABCD 中，AB 邊上有一點 E，AE3，EB1，在 AC上有一點P，使EPBP 最短，求EPBP 的最短長度(第 5 題)6高速公路的同一側(cè)有 A、B 兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線 MN的距離分別為 AA2 km，BB4 km，AB8 km.要在高速公A、B之間建一個出口P，使A、B

4、 兩城鎮(zhèn)到P 的距離之和最小求這個最短距離(第 6 題)用展開法求圖形中最短問題類型 1圓柱中的最短問題(第 7 題)27如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為 2，AB，CD 分別是兩底面的直徑若一只小蟲從 A 點出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到 C 點，則小蟲爬行的最短路線的長度是(結(jié)果保留根號)類型 2圓錐中的最短問題8已知：如圖，觀察圖形回答下面的問題：此圖形的名稱為請你與同伴一起做一個這樣的物體，并把它沿 AS 剪開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開圖是一個如果點 C 是 SA 的中點，在 A 處有一只蝸牛，在 C 處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿 AC 爬到 C 處，只能沿此側(cè)面展開圖中畫出

5、蝸牛爬行的最短路線嗎？圖形的表面爬行，你能在(4)SA 的長為 10，側(cè)面展開圖的圓心角為 90，請你求出蝸牛爬行的最短路程(第 8 題)類型 3正方體中的最短問題9如圖，一個正方體木柜放在墻角處(與螞蟻從柜角A 處沿著木柜表面爬到柜角 C1 處和地面均沒有縫隙)，有一只請你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；當(dāng)正方體木柜的棱長為 4 時，求螞蟻爬過的最短路徑的長(第 9 題)類型 4長方體中的最短問題10如圖，長方體盒子的長、寬、高分別是 12 cm，8 cm，30 cm，在 AB 的中點 C 處有一滴蜜糖，一只小蟲從 E 處沿盒子表面爬到 C 處去吃，求小蟲爬行

6、的最短路程(第 10 題)專訓(xùn) 2.巧用勾股定理解折疊問題名師點金：折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個圖形繞著折線翻折能夠完全重合，解答折疊問題就是巧用軸對稱及全等的性質(zhì)解答折疊中的變化規(guī)律利用勾股定理解答折疊問題的一般步驟：(1)運用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；(2)在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長為x，將此直角三角形的三邊長用數(shù)或含有x 的代數(shù)式表示出來；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)進(jìn)行相關(guān)計算解決問題巧用全等法求折疊中線段的長1(中考泰安)如圖是一直角三角形紙片，A30，BC4 cm，將其折疊，使點C 落在斜邊上的點 C處，折痕為 BD，如圖，再將圖沿

7、 DE 折疊，使點A 落在DC的延長線上的點 A處，如圖，則折痕 DE 的長為()(第 1 題)8A.3 cmC2B23 cm2 cmD3 cm巧用對稱法求折疊中圖形的面積，將長方形 ABCD 沿直線 BD 折疊，使點 C 落在點 C處，BC2交 AD 于E，AD8，AB4，求BED 的面積(第 2 題)巧用方程求折疊中線段的長3(中考東莞)如圖，在邊長為 6 的正方形 ABCD 中，E 是邊 CD 的中點，將ADE 沿 AE 對折至AFE，延長 EF 交BC 于點G，連接 AG.求證：ABGAFG；求 BG 的長(第 3 題)巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系4如圖，將長方形 ABCD 沿直線

8、EF 折疊，使點 C 與點 A 重合，折痕交AD 于點E，交 BC 于點F，連接 CE. (1)求證：AEAFCECF；(2)設(shè) AEa，EDb，DCc，請寫出一個 a，b，c 三者之間的數(shù)量關(guān)系式(第 4 題)專訓(xùn) 3.利用勾股定理解題的 6 種常見題型名師點金：勾股定理建立起了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，應(yīng)用勾股定理可以解與直角三角形有關(guān)的計算問題，證明含有平方關(guān)系的幾何問題，作長為 n(n 為正整數(shù) 的線段，解決實際應(yīng)用問題及專訓(xùn)一、專訓(xùn)二中的最短問題、折疊問題等，在解決過程中往往利用勾股定理列方程 組 ，有時需要通過作輔助線來構(gòu)造直角三角形，化斜為直來解決問題利用勾股定理求線段長1，在等

9、腰直角三角形ABC 中，ABC90，點 D 為AC 邊的中點，過D 點作 DEDF，交 AB 于E，交 BC 于F，若 AE4，F(xiàn)C3，求 EF的長(第 1 題)利用勾股定理作長為 n的線段2已知線段a，作長為 13a 的線段時，只要分別以長為和的線段為直角邊作直角三角形，則這個直角三角形的斜邊長就為 13a.利用勾股定理證明線段相等D22AB2CD2.3如圖，在四邊形ABFC 中，ABC90，C求證：ABBC.(第 3 題)利用勾股定理直角三角形問題4如圖，在ABC 中，C60，AB14，AC10.求 BC 的長(第 4 題)利用勾股定理解實際生活中的應(yīng)用5在某段限速公路 BC 上(公路視為

10、直線)，交通管理部門規(guī)定汽車的最高行50過 60 km/h即 3 m/s，并在離該公路 100 m 處設(shè)置了一個監(jiān)測點駛速度A.在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，點 A 位于 y 軸上，測速路段 BC 在x 軸上，點 B在點A 的北偏西 60方向上，點 C 在點A 的北偏東 45方向上另外一條公路在 y 軸上，AO 為其中的一段求點B 和點 C 的坐標(biāo)；一輛汽車從點B 勻速行駛到點 C 所用的時間是 15 s，通過計算，判斷該汽車在這段限速是否超速(參考數(shù)據(jù)： 31.7)(第 5 題)利用勾股定理探究動點問題6如圖，在 RtABC 中，ACB90，AB5 cm，AC3 cm，動點 P從點B 出發(fā)沿射線

11、BC 以 1 cm/s 的速度移動，設(shè)運動的時間為t 秒求 BC 邊的長；當(dāng)ABP 為直角三角形時，借助圖求t 的值；當(dāng)ABP 為等腰三角形時，借助圖求t 的值(第 6 題)專訓(xùn)114(第 2 題)2解：(1)如圖，過點C 作AB 的垂線，交 AB 的延長線于點E.ABC120，BCE30.在 RtCBE 中，BC20 km，BE10 km.CE103 km.由勾股定理在 RtACE 中，AC2AE2CE2(ABBE)2CE28 1003008 400，AC2021204.692(km)t18011(h)，乘(2)選擇乘“城際列車”理由如下：乘客車需時間603201城際列車”需時間t2 92

12、1(h)“18040901113190，選擇乘“城際列車”3C點撥：將臺階面展開，連接 AB，如圖，線段 AB 即為壁虎所爬的最短路線因為 BC303103120(cm)，AC50 cm，在 RtABC 中，根據(jù)勾股定理，得 AB2AC2BC216 900，所以 AB130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.(第 3 題)(第 5 題)410解：如圖，連接 BD 交AC 于O，連接ED 與 AC 交于點P，連接 BP.BDAC，且 BOOD，BPPD，則 BPEPED，此時最短AE3，AD134，由勾股定理得ED2AE2AD232422552，EDBPEP5.解：作點 B 關(guān)于 MN 的對稱

13、點 C，連接 AC 交 MN 于點 P，則點P 即為所建的出口此時 A、B 兩城鎮(zhèn)到出口P 的距離之和最小，最短距離為 AC 的長作 ADBB于點 D，在 RtADC 中，ADAB8 km，DC6 km.ACAD2DC210 km，這個最短距離為 10 km.(第 6 題)(第 7 題)722點撥：將圓柱體的側(cè)面沿 AD 剪開并鋪平得長方形 AADD，連21接 AC，如圖線段 AC 就是小蟲爬行的最短路線根據(jù)題意得 AB222.在 RtABC 中，由勾股定理，得 AC2AB2BC222228，AC 822.8解：(1)圓錐(2)扇形(3)把此圖形的側(cè)面展開，AC 為蝸牛爬行的最短路線(4)在

14、RtASC 中，由勾股定理，得 AC210252125，AC 12555.故蝸牛爬行的最短路程為 55.(第 8 題)(第 9 題)9解：(1)螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AC1 和AC1.42（44）24(2)如圖，AC15.（44）2424AC15.所以螞蟻爬過的最短路徑的長是 45.10解：分為三種情況：1(1)如圖，連接 EC，在 RtEBC 中，EB12820(cm)，BC23015(cm)(第 10 題)由勾股定理，得EC 20215225(cm) (2)如圖，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求 CE 673 cm25 cm.(3)如圖，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求 CE

15、 122（30815）2 2 953(cm)25 cm.綜上可知，小蟲爬行的最短路程是 25 cm.專訓(xùn)21A2解：由題意ADBC，23.BCD 與BCD 關(guān)于直線BD 對稱，12.13.EBED.設(shè)EBx，則EDx，AEADED8x.在 RtABE 中，AB2AE2BE2，42(8x)2x2.x5.1DEAB1DE5.SBED225410.3(1)證明：在正方形ABCD 中，ADAB，DB90.將ADE 沿 AE 對折至AFE，ADAF，DEEF，DAFE90.ABAF，BAFG90.又AGAG，RtABGRtAFG(HL)(2)解：ABGAFG，BGFG.設(shè) BGFGx，則 GC6x，E

16、為 CD 的中點，CEDEEF3，EG3x.在 RtCEG 中，32(6x)2(3x)2，解得x2.BG2.4(1)證明：由題意知，AFCF，AECE，AFECFE，又四邊形 ABCD是長方形，故 ADBC，AEFCFE.AFEAEF.AEAFECCF.(2)解：由題意知，AEECa，EDb，DCc，由D90知，ED2DC2CE2，即b2c2a2.專訓(xùn)3(第 1 題)1解：如圖，連接 BD.等腰直角三角形 ABC 中，點 D 為AC 邊的中點，BDAC，BD 平分ABC(等腰三角形三線合一)，ABDCBD45，又C45，ABDCBDC.BDCD.DEDF，BDAC，F(xiàn)DCBDFEDBBDF.F

17、DCEDB.在EDB 與FDC 中，EBDC，BDCD，EDBFDC(ASA)，EDBFDC，BEFC3.AB7，則 BC7.BF4.在 RtEBF 中，EF2BE2BF2324225，EF5.22a；3a證明：CDAD，ADC90，即ADC 是直角三角形由勾股定理，得 AD2CD2AC2.又AD22AB2CD2，AD2CD22AB2.AC22AB2.ABC90，ABC 是直角三角形由勾股定理，得 AB2BC2AC2，AB2BC22AB2，故 BC2AB2，即 ABBC.方法總結(jié)：當(dāng)已知條件中有線段的平方關(guān)系時，應(yīng)選擇用勾股定理證明，應(yīng)用勾股定理證明兩條線段相等的一般步驟：找出圖中證明結(jié)論所要

18、用到的直角三角形；根據(jù)勾股定理寫出三邊長的平方關(guān)系；聯(lián)系已知，等量代換，求之即可解：如圖，過點A 作 ADBC 于點 D.ADC90.又C60，CAD90C30，(第 4 題)1AC5.CD2在 RtACD 中，AD AC2CD2 1025253.在 RtABD 中，BD AB2AD211.BCBDCD11516.方法總結(jié)：利用勾股定理求非直角三角形中線段的長的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合條件，采用推理或列方程的方法解決問題5解：(1)在 RtAOB 中，BAO60，ABO30，OA12AB.OA100 m，AB200 m.由勾股定理，得 OB AB2OA2 200210021003(m)在 RtAOC 中，CAO45，OCAOAC45.OCOA100 mB(1003，0)，C(100，0)100310050(2)BCBOCO(1003100)m，18 3 ，15這輛汽車超速了6解：(1)在 RtABC 中，BC2AB2AC2523216，BC4 cm.(2)由題意知 BPt cm，如圖，當(dāng)APB 為直角時，點 P 與點C 重合，BPBC4 cm，即 t4；